三个坐标轴都反演了，一个“真正”的矢量（就比如三个单位矢量）当然也会跟着变了。不变的必然是“赝”的。或者这么说，真矢量一定要跟着

来源: marketreflections 于 2011-12-13 21:22:18 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

真矢量和赝矢量

真矢量和赝矢量

这是我一篇文章中的原始内容。

有一个根本性的问题需要解决：电场和磁场在镜像反射下的行为如何？物理量在平移和转动操作下的变换行为人所共知，但在镜像反射下的行为并不象一般所认为的那样简单。例如，考虑无限长均匀带电线和无限长直电流。二者都对过轴线的平面具有反射不变性。然而前者产生的电场沿径向，而后者产生的磁场沿角向。是磁场不具有反射不变性了吗？不是。如果这样，就将违反对称性原理。原来，这是由于在镜像反射下磁场与电场本来就具有不同的行为。

图1上部为一个旋转的圆盘及其通过镜面M的镜像。很明显，角速度矢量在镜像下的行为与通常的矢量（如矢径、速度，见图1下部）很不相同，由 $\vec{\omega}$ 变为 $\vec{\omega}'$ 。象角速度这样的矢量，在镜像下垂直分量不变，平行分量反向，称为赝矢量（或轴矢量）；而象矢径这样的矢量，在镜像下垂直分量反向，平行分量不变，称为真矢量（或极矢量）。
通常的真矢量还有：加速度、力、电场强度、电流密度、电偶极矩、矢势等。容易证明：两个真矢量的叉积是赝矢量，例如力矩 $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{p}\times\vec{E}$ 、角动量 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ 等都是赝矢量。由于在毕奥－萨伐尔定律中，磁场 $\vec{B}$ 决定于各点的 $\vec{J}\times \vec{r}$ ，而 $\vec{J}$ 和 $\vec{r}$ 都是真矢量，故磁场 $\vec{B}$ 是赝矢量。
由于真矢量和赝矢量在镜像下的不同变换行为，如果体系对于某面是镜像对称的，那么镜面上的真矢量只能有平行分量，而镜面上的赝矢量只能有垂直分量（见图中红色箭头）。因此，在前面所举的例子中，场源的反射不变性必然导致电场和磁场都具有反射不变性，但二者的表现不同：前者是真矢量，故不能有角向分量（垂直分量）；而后者是赝矢量，故只能有角向分量。
这里再谈一下物理量的“真赝性”。“真赝性”完全取决于在镜像反射（或空间反射，即三个坐标轴都反向）下物理量的变换行为。赝的物理量不仅可以是矢量，也可以是标量，称为赝标量。例如，电磁理论中仅有的两个不变量中， $B^2-E^2/c^2$ 是真标量，而 $\vec{B}\cdot\vec{E}$ 是赝标量。在镜像反射下，赝矢量的变换行为如前已述，而赝标量的行为就是反号。（赝矢量的变换行为也可以用类似“反号”的语言来叙述。以角速度 $\vec{\omega}$ 为例，先将其当成真矢量变换，然后再反向成为 $\vec{\omega}'$ 。见图1上部。）例如三个真矢量 $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ 的混合积 $\vec{A}\cdot\vec{B}\times\vec{C}$ 就是赝标量，因为在镜像反射下它们会由右手系变为左手系（或者反过来），从而混合积反号。在几何中，三个矢量 $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ 所构成的平行六面体的体积由 $V=|\vec{A}\cdot\vec{B}\times\vec{C}|$ 给出。但若去掉绝对值符号，体积就成了一个赝标量。（计算体积分时的体积元通常取为真标量。）矢量 $\vec{A},\vec{B}$ 会构成一个平行四边形，若定义其面积矢量为 $\vec{S}=\vec{A}\times\vec{B}$ ，则它是赝矢量。（计算通量时的面元矢量通常取为真矢量。例如，对于闭合曲面一般取外法线方向为面元的方向，而外法线方向在镜像反射下的结果仍然是外法线方向。）
关于“真赝性”的判断是有规可循的：（1）每一个叉乘都会引入一个“赝因素”（点乘不会）；（2）一个乘积表达式的“真赝性”由其中“赝因素”（包括叉乘、赝矢量和赝标量）的个数的奇偶性决定，即有奇数个“赝因素”的乘积是“赝量”，有偶数个“赝因素”的乘积是“真量”；（3）等式两边的“真赝性”必须相同。例如，在表达式 $\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$ 中， $\vec{v}$ 和 $\vec{r}$ 都是真矢量，而右边有叉乘和角速度两个“赝因素”，故右边的量是“真量”，与左边相同。而在表达式 $\vec{M}=\vec{p}_m\times\vec{B}$ 中， $\vec{M}$ 和 $\vec{B}$ 都是赝矢量，它又含有一个叉乘，故磁矩 $\vec{p}_m$ 必为赝矢量。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2009-9-27 20:54 编辑 ]

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shanqin威望 +3原创内容2008-3-19 23:11

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qiuryaq

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2^#大中小发表于 2008-3-17 13:52 只看该作者

引用:

一个乘积表达式的“真赝性”由其中“赝因素”（包括叉乘、赝矢量和赝标量）的个数的奇偶性决定，即有奇数个“赝因素”的乘积是“赝量”，有偶数个“赝因素”的乘积是“真量”；（3）等式两边的“真赝性”必须相同。

感觉有点像逆序数的味道。

我一直不太明白叉乘的含义。第一次接触是高中时学力矩，。那时就想不明白，为什么力矩的方向垂直于力和位置矢量所确定的面。

可以解释一下吗？

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blackhole

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3^#大中小发表于 2008-3-17 19:02 只看该作者

引用:

原帖由 qiuryaq 于 2008-3-17 13:52 发表
为什么力矩的方向垂直于力和位置矢量所确定的面。

就想象一个圆盘吧。力在圆盘平面内，使圆盘加速转动。如果力矩可以定义为一个矢量的话，它的方向该是什么方向？显然这个方向不能在这个面内，因为这个系统具有旋转不变性：如果选为面内的这个方向，那为什么不选为转过一定角度之后的另一方向？因此，唯一的可能是把力矩的方向选取为与盘面垂直的方向。至于取这个垂直方向的哪一头，就全看人为定义了。
另外，力在盘面内的作用点也没有特殊性，因为将力臂和力在盘面内一起旋转一个角度，效果完全相同。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-3-17 21:23 编辑 ]

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季候风

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4^#大中小发表于 2008-3-17 21:57 只看该作者

空间反演是对三个坐标平面各反射一次。我觉得这里真赝的名称比较奇怪。在空间反演下不变的数量叫标量，而在空间反演下不变的矢量却叫赝矢量。

按照在空间反演下的变换规律，因为 -1 的奇数次是 -1, 反而应该有这样的奇偶性（宇称）：真矢量和赝标量是奇量，真标量和赝矢量是偶量，而几个量不管以什么方式组合，其结果是奇是偶由完全由奇偶性的一般常识决定。

叉积跟奇偶性有关的是其反交换性，而同空间反演不相关。我非常困惑的是，如果 “真赝” 是一种同空间反演相关的奇偶性，叉积怎么能作为改变这种奇偶性的因素？

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fantadox

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5^#大中小发表于 2008-3-17 22:38 只看该作者

季候风兄，好像物理学里面说的空间反演就是指反射，相当于仅仅对一个维度反演，所有与之正交的维度保持不变，并不是对三个坐标平面各反射一次。

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季候风

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6^#大中小发表于 2008-3-17 23:24 只看该作者

回复 5# 的帖子

Weinberg 的书上空间反演就是把所有空间坐标轴都反向啊。Blackhole 的文章里也是这样的。

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qiuryaq

新手上路

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7^#大中小发表于 2008-3-18 10:55 只看该作者

回复 3# 的帖子

引用:

就想象一个圆盘吧。力在圆盘平面内，使圆盘加速转动。如果力矩可以定义为一个矢量的话，它的方向该是什么方向？显然这个方向不能在这个面内，因为这个系统具有旋转不变性：如果选为面内的这个方向，那为什么不选为转过一定角度之后的另一方向？因此，唯一的可能是把力矩的方向选取为与盘面垂直的方向。至于取这个垂直方向的哪一头，就全看人为定义了。

力矩可以定义为一个矢量的话，为什么这个矢量一定要在三维空间内呢？

如果力矩是三维空间内一个普通的矢量，而且与盘面垂直，那么它和这个力的叉积应该在盘面内，和这个力的作用点的方向矢量一致才对啊？

在微分形式里，我觉得 dx^dy 是有正负的面积，但想像不出dx^dy垂直于dx和dy定义的平面。

还有，dx^dy 是一个赝矢量，dz 是一个真矢量，那么dx^dy 和 dz 的叉积是什么？其方向有是什么？

[ 本帖最后由 qiuryaq 于 2008-3-18 11:08 编辑 ]

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blackhole

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8^#大中小发表于 2008-3-18 17:38 只看该作者

引用:

原帖由 季候风 于 2008-3-17 21:57 发表
我觉得这里真赝的名称比较奇怪。在空间反演下不变的数量叫标量，而在空间反演下不变的矢量却叫赝矢量。

这样想：三个坐标轴都反演了，一个“真正”的矢量（就比如三个单位矢量）当然也会跟着变了。不变的必然是“赝”的。或者这么说，真矢量一定要跟着坐标轴一起变。当然，这种定义的前提似乎是：先认定三个单位矢量是真矢量。

引用:

叉积跟奇偶性有关的是其反交换性，而同空间反演不相关。我非常困惑的是，如果 “真赝” 是一种同空间反演相关的奇偶性，叉积怎么能作为改变这种奇偶性的因素？

很显然，叉积依赖于手征性。而手征性在空间反演或镜像反射下必然改变。

引用:

原帖由 fantadox 于 2008-3-17 22:38 发表
好像物理学里面说的空间反演就是指反射，相当于仅仅对一个维度反演.

关于反演有三种操作：一维反演（即镜像反射），二维反演，三维反演（即空间反演）。其中二维反演没有通俗说法，这应该是由于：即使是赝矢量，它在二维反演下的性质也跟真矢量一样。

引用:

原帖由 qiuryaq 于 2008-3-18 10:55 发表
力矩可以定义为一个矢量的话，为什么这个矢量一定要在三维空间内呢？

都不在三维空间内那还谈什么矢量？我们谈的可是牛顿力学啊。

引用:

如果力矩是三维空间内一个普通的矢量，而且与盘面垂直，那么它和这个力的叉积应该在盘面内，和这个力的作用点的方向矢量一致才对啊？

力矩和力的叉积有什么意义吗？“这个叉积和作用点矢量一致”就更谈不上了。而且一般来说也不会一致。

引用:

在微分形式里，我觉得 dx^dy 是有正负的面积，但想像不出dx^dy垂直于dx和dy定义的平面。

能够把dx^dy视为垂直于dx和dy定义的平面的原因就在于我们的空间是三维的。3－2＝1，故dx^dy的Hodge Star是一维的，可视为矢量，只不过是赝矢量而已。
我想过如何在四维时空中定义叉积，最后的结论是不可能，即不能定义一种类似以前叉积的叉积，把四维时空中的两个矢量变为第三个矢量。其原因就是4－2＝2而不是1，与两个“方向”垂直的方向不止一个。
实际上，四维时空中的“叉积”应该就是对偶，是要用到Levi-Civita符号的。

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qiuryaq

新手上路

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9^#大中小发表于 2008-3-19 00:57 只看该作者

引用:

能够把dx^dy视为垂直于dx和dy定义的平面的原因就在于我们的空间是三维的。3－2＝1，故dx^dy的Hodge Star是一维的，可视为矢量，只不过是赝矢量而已。

叉积是不是外积的Hodge Star? 还是就是外积?

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blackhole

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10^#大中小发表于 2008-3-19 06:36 只看该作者

引用:

原帖由 qiuryaq 于 2008-3-19 00:57 发表
叉积是不是外积的Hodge Star? 还是就是外积?

我的理解是前者，季候风的理解是后者。我也不清楚了。