Vector01 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。 空间某点的势能Ep在数值上等于

功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J

（焦耳）。空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

• 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取
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  第 3 章 机械能和功

  
  
  
  
  

  一、功

  功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。

  

  变力的功：

  恒力的功：

  §3.1 功 质点动能定理

  
  
  
  
  

  直角坐标系：

  自然坐标系：

  • 与参考系无关，位移与参考系有关，故

  W与参考系有关。

  1. 一般情况下，功与力和路程有关

  说明

  
  
  
  
  

  [S]

  [S]

  W与参考系有关。

  一辆汽车在水平道路上以 速度沿直线匀速行驶, 汽车内水平地板上有一只盒子,乘客用水平推力 推着盒子相对地板以 速度向前移动，求在 t 时间内人做的功

  小车坐标系[S’]

  地面坐标系[S]

  力与盒子相对于汽车的位移的点乘

  力与盒子相对于地面的位移的点乘

  
  
  
  
  

  4. 平均功率

  瞬时功率

  单位 W(瓦特)=J/s

  3. 合力的功等于各分力的功的代数和。

  
  
  
  
  

  解：

  变力

  恒力 曲线运动

  [例3-1] 小球在水平变力  作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。

  m

  l

  
  
  
  
  

  二、质点的动能定理

  设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点

  总功：

  

  b

  a

  元功：

  切线方向的分力

  
  
  
  
  

  质点的动能定理：

  合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

  说明

  3. 应用：

  1. 合外力的功是动能变化的量度。

  与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。

  2.

  4. 微分形式：

  
  
  
  
  

  [例3-2] 质量 m 长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上, 另一部分从桌面边缘下垂, 下垂部分长 b ，假定开始时链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。

  [解法一]

  建立如图坐标系Ox，设x为某时刻下垂链条长度。由动能定理

  x

  O

  dx

  
  
  
  
  

  设T为链条下垂部分和在桌面上的链条部分间的相互作用力，由牛顿定律得

  a

  [解法二]

  a

  
  
  
  
  

  [解法三] 也可由机械能守恒定律计算。

  b

  O

  l-b

  
  
  
  
  

  L

  x

  o

  L

  s

  x

  传送机滑道

  水平平台

  [例3-3] 一根均匀的柔软的物体（长度为L）以初速v⁰ 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为μ ，且 s ＞Ｌ，求初速度v⁰ 。

  解：

  
  
  
  
  

  由动能定理：

  
  
  
  
  

  [例3-4] 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为 h 和 l ，与物体的摩擦系数均为μ。 试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大?

  (1)

  解：

  (1)

  (2)

  (3)

  元功

  N

  mg

  
  
  
  
  

  (2)

  (3)

  最大

  (1)

  (1)

  (2)

  (3)

  END

  N

  mg

  最小

  N

  mg

  N

  mg

  
  
  
  
  

  (3)

  在自然坐标系中：

  N

  mg

  它由与瞬间速度矢相切的t轴和垂直于速度矢指向曲线的凹侧的n轴构成

  
  
  
  
  

  一、力场

  x

  y

  力矢量在空间的分布形象反映了力场。

  §3.2 保守力 非保守力 耗散力

  x

  y

  z

  m

  o

  一般地，

  当质点所受的力仅与位置有关时， 即

  代表质点受力的空间分布，称为力场。

  
  
  
  
  

  二、几种常见力的功

  1. 重力的功

  • 重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路程无关。

  
  

  dz

  dx

  z

  

  z¹

  z²

  a

  b

  m

  x

  O

  
  
  
  
  

  2. 万有引力的功

  设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。

  dr

  

  • 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路程无关。

  
  

  r^b

  r^a

  a

  b

  M

  m

  
  
  
  
  

  3. 弹性力的功

  • 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的路程无关。

  
  

  x

  m

  x²

  x¹

  b

  a

  O

  x

  
  
  
  
  

  a

  b

  O

  r

  4. 回旋力的功

  O

  ：为横向单位矢量

  路程1： 圆弧ab

  W= 0

  • 回旋力做功与路程有关！

  
  

  路程2：

  回旋力：

  
  
  
  
  

  *圆周运动*

  R

  s

  o

  角速度

  角加速度

  回旋力

  离心力

  
  
  
  
  

  5. 摩擦力的功

  a

  b

  • 摩擦力做功与路程有关！

  
  

  桌面俯视图

  
  
  
  
  

  三、保守力 非保守力 和耗散力

  a

  b

  c

  d

  保守力：

  作功与路程无关，只与始末位置有关的力。

  • 保守力沿任何闭合路程作功等于零。

  
  

  作功不仅与始末位置有关，还与路程有关的。

  如：重力，引力，弹性力等。

  如：摩擦力，回旋力等。

  非保守力：

  而(一对)摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力。

  
  
  
  
  

  有心力：

  • 有心力一定是保守力。

  
  

  判据

  如： 引力

  静电力

  是非保守力。(<0， 则为耗散力)

  是保守力。
  
  

  任意闭

  合路程

  
  
  
  
  

  解：

  [例3-5] 已知 , C点坐标为(2，1)。 求：

  (1) 的功  

  a. 沿路程 OAC

  b. 沿路程 OBC

  c. 沿路程 OC

  (2) 是否为保守力?

  (1)

  x

  O

  A

  B

  C(2, 1)

  y

  ＝0

  ＝0

  ＝0

  
  
  
  
  

  (2) 非保守力，因为做功与路程有关。

  x

  O

  A

  B

  C(2, 1)

  y

  
  
  
  
  

  取任意路程ABCDA

  为保守力。

  为非保守力。

  [例3-5] 设以下两个力场：

  , 画出力矢图， 并判断是保守力还是非保守力。

  解：

  取矩形路程EFGHE

  x

  y

  A

  B

  C

  D

  x

  y

  E

  F

  G

  H

  END

  
  
  
  
  

  一、势能的引入

  与物体的位置相联系的系统能量称为势能（E^p）。

  保守力的功是势能变化的量度：

  物体在保守力场中a，b两点的势能E^pa， E^pb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功W^ab。

  • 保守力的功等于系统势能的减少。

  
  

  §3.3 质点在保守力场中的势能

  
  
  
  
  

  弹性势能

  重力势能

  引力势能

  如：

  
  
  
  
  

  • 空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

  
  

  • 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。

  
  

  • 势能是相互作用有保守力的系统的属性。

  
  

  说明

  设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：

  
  
  
  
  

  [例3-6] 轻弹簧原长l⁰ ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x⁰ ，现取x 轴向下为正，如果原点分别位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。

  解：

  (1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：

  x

  m

  O

  O

  P

  x⁰

  x

  
  
  
  
  

  (2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：

  任意位置 x 处的系统总势能：

  x

  m

  O

  O

  P

  x⁰

  x

  
  
  
  
  

  二、保守力与势能的关系

  1. 积分关系

  2. 微分关系

  偏导数

  
  
  
  
  

  矢量式：

  称梯度算符。

  
  
  
  
  

  [例3-7] 已知势能函数， 求保守力。

  解：

  利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：

  
  
  
  
  

  三、势能曲线

  o

  z

  重力势能曲线

  双原子分子的势能曲线：

  O

  r

  o

  r

  引力势能曲线

  o

  x

  弹性势能曲线

  
  
  
  
  

  [例3-8] 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。

  解：

  空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

  
  
  
  
  

  一、质点系 内力与外力

  内力

  外力

  §3.4 质点系的势能

  势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，称相互作用势能。与系统内的一对保守内力做功有关。

  系统内，内力是成对出现的。

  
  
  
  
  

  二、内力的功

  相对元位移

  O

  i

  j

  一对内力的功：

  相对位矢

  
  
  
  
  

  1. 系统内一对内力的功一般不为零

  说明

  i

  j

  考虑斜面和滑块间的一对摩擦力的作功情况。

  说明：“系统内一对内力的功不一定为零”。

  
  
  
  
  

  2. 一对内力做功之和与所选的参考系无关

  与参考系无关，

  一对摩擦力做功: W^f = - f l

  (地面系，木块系，子弹系)

  s

  l

  子弹

  木块

  一对内力做功之和与所选的参考系无关！

  例如：

  
  
  
  
  

  三、相互作用势能

  一对保守内力

  i

  j

  因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。

  如： 重力势能

  属于地球和物体组成的系统。

  一对内力作功：

  O

  
  
  
  
  

  四、多质点系统的势能

  保守内力

  END

  其中 为质点 i 和 j 之间的相互作用势能。

  
  
  
  
  

  一、质点系的动能定理

  §3.5 功能原理 能量守恒定律

  设第 i 个质点所受外力的功为 ，内力的功为 , 初速度为 , 末速度为 。

  外力对质点系做的总功。

  内力对质点系做的总功。

  
  
  
  
  

  质点系的动能定理： 所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。

  质点系的末态总动能。

  质点系的初态总动能。

  
  
  
  
  

  [例3-11] 光滑水平面上放有质量为m¹的沙箱， 由左方飞来质量为m²的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱中前进 l 距离后停止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻力F；(2) 弹丸初速v⁰ ；(3) 沙箱--弹丸系统损失的机械能。

  (2) 对弹丸，应用动能定理：

  (1) 对沙箱, 应用动能定理：

  解：

  s+l

  s

  
  
  
  
  

  (3) 机械能变化：

  一对非保守内力(耗散力)做负功，使系统动能减少。

  s+l

  s

  
  
  
  
  

  二、功能原理

  保守内力的总功

  非保守内力的总功

  内力的总功

  质点系的功能原理： 质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。

  
  
  
  
  

  1. 明确系统及初、末状态。

  2. 适用于惯性系。

  3.

  机械能守恒定律

  与参考系无关, 而

  与参考系有关。

  • 在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。

  
  

  • 系统中的动能和势能可以转换, 各质点间的机械能也可以互换, 但保持系统的总机械能不变。

  
  

  说明

  若

  
  
  
  
  

  4. 对孤立系统

  若

  能量转换和守恒定律

  其他形式的能量转化为机械能。

  机械能转化为其他形式的能量。

  则：

  
  
  
  
  

  [例3-13] 已知铁链质量m，长 l ，与桌面摩擦系数为 。问： (1) a 为多少时铁链开始下滑? (2) 金属链全部离开桌面时 v 为多少?

  解：

  (1)

  (2) 摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点

  下垂部分重力 等于摩擦力时

  O

  x

  dx

  a

  
  
  
  
  

  利用功能原理，以桌面为零势能点：

  O

  x

  dx

  a

  
  
  
  
  

  [例3-14] 计算第一、第二宇宙速度。

  一、第一宇宙速度

  物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度

  已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。

  解：

  设发射速度为v¹，绕地球的运动速度为v。

  机械能守恒：

  万有引力提供向心力：

  R

  M

  m

  
  
  
  
  

  得：

  第一宇宙速度

  
  
  
  
  

  二、第二宇宙速度

  地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度

  (1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。

  (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。

  由机械能守恒：

  得：

  
  
  
  
  

  第三章作业

  • 4，10，12，29，34，35