Thurston 微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一

来源: 于 2011-12-11 10:22:47 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

 

noncommutativity of the covariant derivative"

你所说的是从高维流形的度规来“诱导”出低维上的度规，但事实上后者是可以内秉存在的。
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嗯嗯，是的，我的意思正是觉着，如果第二形式（切向量）是诱导的，那与之匹配的度规也应当是诱导的，而度规确实可以有内禀的，那就不需要嵌入，但切向量也是内禀的，那样，可能无法几何化，也可能无法与外曲率的形式相匹配，但这样好像没有什么不自然的吧？

至于各种奇异的非黎曼或者病态的流形，我就真完全不了解了，呵呵。

32楼

酱油的，太多了，没细看。

说2个有趣的事情，几何的定义用纯几何的意思是什么？不明白，难道我流形的微分结构定义还都不能用映射来定义么？你也许说既然代数定义和几何定义等价，为什么不采用几何方法了，事实上流形本身，据说在代数几何里也有另外的定义，看你研究问题的角度了。

我也可以选择标架让“黎曼曲率”为0了，只要扭量不为0所谓的T理论，之前好多宇宙学家灌水算f（T）微扰..虽然我认为f(T)是错的，T当然是对的。
所以建议说曲率，不要顺便召唤黎曼大人

33楼

回复：32楼
黎曼大人的几何是chern大人的子群。

GL（n.R)={A属于R（n） detA不等于0}
话说一个简单的线性代数基本理论知道，任意非奇异举证A可分解为正交矩阵B属于O（n）与正定对称矩阵C的积。

而0（n）就是黎曼几何所需要的局部群。

我很奇怪的是，这是线性代数的基本理论么?怎么没印象学线性代数看到过这个基本定理了...

34楼

似乎被岔楼歪得太过分了……………………

度规是一个流形的内秉性质，保角映射则保持流形的度规并将其嵌入到高维中，所以应当是对嵌入方式给出了一个限制。而流形在高维中才能谈起它的切矢量这么个东西吧，所以在谈论内秉性质的时候不存在这个东西吧。就好比如果没有嵌入的话，谈论第二形式是没有意义的。
所以，并不能说应为度规是内秉的，所以外曲率张量也是内秉的。
事实上，平面也可以嵌入成一个外曲率张量非零的子流形啊，难道你能说平面的内秉曲率就因为外曲率非零而非零了吗？

还是别岔楼了，风神明显被岔得在说和主题无关的话了……

35楼

流形在高维中才能谈起它的切矢量这么个东西吧
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我觉着也可以不用吧？切矢量不是可以生活在它（抽象的）TM空间里么……

36楼

回复：34楼

如果回复的没关，就当成帮你顶贴了嘛～ 不过我觉着楼上几个回复的还是有点关系的。

37楼

你说的切矢量就和嵌入后的切矢量没关系了，所以也就和第二形式没关系了。

38楼

回复：37楼

哦，那我明白你指的意思了。

39楼

回复：34楼
和插楼没关系.....我好象看错了....总之我觉得直观的曲率而且是内禀的就应该是高斯曲率了吧....毕竟用黎曼联络算的黎曼曲率在二维下就得到二维高斯曲率.

回复：35楼
他的意思应该是说法矢.

40楼

39楼：
黎曼情形下的话，我所说的几何意义上的适配和代数意义上的适配就是等价的，所以无法体现出区别了啊。
但我想，既然描述曲面弯曲情况的第一形式是度规，从而是度量，那用几何意义的适配（在一些非黎曼情况下才有区别）应该才能更加直接和自然地描述出曲面的弯曲情况，而不是代数意义上的那个适配。

41楼

另：的确是法矢量。我前面一直忘记这个东西应该怎么叫了，所以只能称呼它为外曲率张量了。就是那个K_ij

42楼

回复：40楼
问题就是非黎曼下什么叫做几何意义.曲率的几何意义可能是曲线切矢对参数的导数.Finsler下有些东西做得完全没意义．大多数东西都要抽象化的，比如说欧拉示性类，原来是纯拓扑的凸凹顶点之类，后来进化到代数拓扑的同调群维数乃至微分几何的G-B定理．但都是一样的．

43楼

K_ij的确是外曲率，对n求导得到他，n是法矢．

44楼

那种纯粹内秉的所谓“真正”几何意义恐怕在一个非黎曼的纯粹抽象的微分流形上看来可能的确很不明显，但并不能因此就说代数意义上的适配比几何意义上的适配更明显或者更合理啊。

45楼

回复：34楼
微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。
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微分几何中，流形的曲率是由联络给出的。里面包括riemann张量。

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事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一给出的，并不需要度规的参与——这里先不做联络与度规的适配。
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我在某楼已经举了一个有趣的例子了，T理论，你难道不愿意看看么?您这里的的还能叫做普通意义上的Ricci张量吗？

那么，是否可以说，流形的局部“弯曲”性质和“平移”性质只由联络唯一确定？
那样的话，就有一个很有意思的问题了：为什么要做联络与度规的适配？
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联络与度规适配是选择“某”一种联络的方式，或者结构要求。这种选择可以描述所有几何的量，当然我举得例子也说了，我也可以选择另外一种等价描述方式。
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我们是否可以给出一个流形，只有联络而没有度规，但一样可以描述这个流形的所有整体和局部弯曲性质？
另，联络与度规的适配为何要是现在这种形式？
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可能，只是在没有附加度规的结构时候，你必须知道另一个附加结构是什么才可以描述
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联络给出了局部“平移”的性质，或者，更准确地可以说是流形上平移与流形所给参照系的平移之间的“偏差”。而度规给出的是局部的“度量”性质或者说“内积”性质。虽然说度量和“平移”都是几何量，但为什么要用现在这种形式将两者联系起来？
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我更倾向联络，是截面之间的映射关系。
我把内积当成标量场来看，你认为这是几何的吗？“为什么这种形式联系起来”
我感觉我很难回答，至少我认为我回答的你肯定不满意。
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从形式上看，现在的适配条件更多的是一种“代数规则”：缩并与微分是可交换的。但这种形式是如此地代数，以至于不能很直观地看出其中的几何联系。
相比来说，从测地线来给出适配似乎更加“几何”一点：
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对于黎曼几何，如你所说测地线也许更“几何”一点，也如你所说，对于抽象来说，测地线很难推广到一般几何的，不是所有的力都像引力那样解释成时空的弯曲。

46楼

分拆得真散……
能否简要说说重点？分拆得太散了，而且感觉逻辑链条不是很明显……

至于最后一天，我想和我们所讨论的问题一点关系都没有。
我没有讨论物理，一点物理都没讨论，所以我不知道你为什么要牵扯到引力的问题上。

47楼

嗯，到现在为止，一点物理都没有，干嘛扯到引力？
以前LA发过篇《如果只有微分结构》，对照起来看挺有意思

48楼

回复：46楼
没有义务这么做，你愿意看就看，不愿意看就不看。
回复34楼的目的，不是要说服你，我只针对1楼的话回复,免得你的贴还不能插楼似地，后面的太多讨论，我没仔细看，也没具体可以说的，更不知道你的重点在哪里。

至于最后一条，很明显我想强调的黎曼几何是特殊的几何而已。这和谈物理不物理有什么关系？

period

49楼

是你先说“不是所有的力都像引力那样解释成时空的弯曲”。
这是一个纯数学问题，所以我不知道你为什么要扯到物理上去。
当然，更不理解你为什么现在反过来说“这和谈物理不物理有什么关系”，因为是你开始谈物理的。

50楼

咖啡你无视最后一句不就行了？“一直想思考”主要是想说你那种“几何方法”很难推广到一般几何

51楼

回复：49楼
你说我“为什么牵扯到引力上去了”
我只是拿这个做个背景比喻，说明重点，所以又说：“这和谈物理不物理有什么关系?"是用疑问的方式回答你问我“为什么牵扯到引力上去了”。

你得主题是你需要的。纠结这些对你我都没必要。所以你对重点的回复才是你想要的。

52楼

大家都别激动。
可能我说的话让思考朋友感到不爽了，不过我很想知道这个问题的答案，所以很在意别人岔楼。
如果我说的话让你不爽，我这里道歉了。

53楼

其实呢我从头到尾都觉得咖啡说的代数方法好些，原因是简单、直接、好用，觉得非要捣鼓出另外一种定义没什么意思。
我的意见和咖啡的一直有分歧。分歧在于咖啡认为用“几何方法”来定义适配才是最自然的，而我一直认为“代数方法”已经足够好了，然后咖啡就追问我“代数方法”比“几何方法”好在哪里，我答不上来，因为我根本不知道怎么用几何方法定义适配。还有前面提到，咖啡想出在黎曼几何里怎么用几何方法定义适配，但很难在一般的几何里这么做。我觉得我们要想得出个结论，就要对为什么要做适配达成共识。
一个纯粹的流形，没定义度规也没选定联络的流形，只有微分结构和拓扑结构。要对流形上的张量做协变微分会有五花八门的做法。如果想排除各种各样的协变微分只留下一种，就要求我们引入联络这么一种附加物。还有，引入度规我们就可以谈论矢量的内积。现在这个流形上有两种附加物，一个是联络，另一个是度规。适配条件可以使我们不把联络当成附加物，就是说我们给流形指定了度规后，联络可以通过度规给出。
到这里，我们知道，适配条件是用来给指定度规后的流形算联络用的。
让我们想想没有度规，但指派了联络的流形可以得到什么。它可以定义曲率张量，可以做两种缩并的（1，3）型张量。可是我们没有度规，做不了指标的上升和下降，不能得到曲率标量，很多有用的东西做不了。

54楼

一般几何里是可以做的啊，为什么不能做？
事实上，你之所以感觉代数方法简单，是因为对易的东西容易处理。
但是，从我所说的几何角度入手来构造适配其实操作很简单。先做极值曲线方程，然后就能得到一个东西，这个东西是度规的一阶导数和矢量的乘积。然后要求协变微分对张量满足莱布尼茨，就可以将上述乘积限制到只差一个扰率的形式。最后要求扰率为零，协变微分的形式就能被唯一确定。

55楼

两个方法从实际操作来说，其实简单程度是一样的，而且，都只能精确到差一个扰率的程度。

56楼

~_~其实我一开始看levi-civita联络貌似就是像楼主那么想的
Finsler,没看过不评论

57楼

~_~
117.136.19.*

58楼

怎么我的数学书里都没有这样东西呢？是数学系才有的吗？还是要硕士以后才有？

 

微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一给出的，并不需要度规的参与——这里先不做联络与度规的适配。
那么，是否可以说，流形的局部“弯曲”性质和“平移”性质只由联络唯一确定？
那样的话，就有一个很有意思的问题了：为什么要做联络与度规的适配？
我们是否可以给出一个流形，只有联络而没有度规，但一样可以描述这个流形的所有整体和局部弯曲性质？
另，联络与度规的适配为何要是现在这种形式？
联络给出了局部“平移”的性质，或者，更准确地可以说是流形上平移与流形所给参照系的平移之间的“偏差”。而度规给出的是局部的“度量”性质或者说“内积”性质。虽然说度量和“平移”都是几何量，但为什么要用现在这种形式将两者联系起来？
从形式上看，现在的适配条件更多的是一种“代数规则”：缩并与微分是可交换的。但这种形式是如此地代数，以至于不能很直观地看出其中的几何联系。
相比来说，从测地线来给出适配似乎更加“几何”一点：
有度量性质给出的最值线必须和由平移性质给出的自平行线（或者说“直线”）保持一致，也就是一条最直线必须是自平行的，而一条自平行线也必须是最值的。
但是，听说Finsler下两者不一致了？那就完全无法理解度量和联络之间的适配的，因为这种适配感觉更多是一种几何上算符的代数性质，而不是几何本身的几何要求。
顶

1

 

 

2楼

呃……
难道是问题不能问太细么……这个……
这问题是当年学微分几何的适配联络的时候想到的。
当时以为是度规能平移，所以是适配。但后来想想似乎这么个说法很不几何啊。用自平行与极值线的等价性来理解适配的几何来源似乎更直观。
大家以前学微分几何（如果学过的话）的时候没想过么？

 

3楼

本吧研究微分几何的人最近都在打工。

 

4楼

我一直以为搞学术就是打工，没想到现在搞学术能催生打工…………
还好我不搞学术，哇哈哈哈哈哈哈～～～～～
看来我还要杯咖啡……

 

5楼

通货膨胀，没办法。

 

6楼

我现在连多味花生和麻油馓子都吃不起了……
以前小时候的零嘴啊，现在只能封嘴呢……

 

7楼

金融危机以来，学物理的都失业回家（这直接造成了本吧人气的提升），学数学的都得外出打工赚钱糊口（导致这个帖子没人相应）。这样的反差是很有意思的。

 

8楼

在一个局域紧的流形上,一个仿射联络的定义是为了定义向量的平行运输,实际上,定义与度规配适,是为了保证向量的长度和角度.或者说按照Levi-Civata的定义，是所谓”绝对微分”，把本身并非常向量的标架一并微分，得到有意义的量．不过没必要把他看得这么重，纤维丛中可以没有度规不过取而代之的是一个规范群，实际上使用的联络只有两种定义，一种是和度规配适的，一种是和群配适的，当然后者包括前者，因为前者的所谓克氏符只不过是标架丛的例子而已．如果构造一个流形，实际上如果得到他的所有性质就已经得到了度规，因为几何就是如此，一个没有度规的流形比如说前边说的丛流形，可以说他是没有”型”的，不过可以定义规范群来让他有联络，数学和物理上经常研究他的拓扑性质，但说白了，一个U(1)纤维丛，就是电磁场的丛，它的某一联络是-iqdx，它来自于保定域相位变换，实际上就是一个S1线丛，所谓拓扑性质就类似与S1线丛的性质，比如说他第一陈类的次级示性类q/2piedx代表拓扑不平庸，就是量子力学AB效应，这和分析S1是一样的．一般这样的流形都可以选和乐群为规范群的度规的，总之很多都是浮云而已．．．

 

9楼

这问题当初学的时候就没怎么管啊！觉得要和度规适配很自然啊！
不过看了LZ的问题之后发现自己给不出个很好的回答。
仔细想想，给定了度规，就是给定了切矢的长度，两切矢间的角度。
而联络呢？给定联络，就是给定了平移，可以用另外一种方式求导。
按照欧氏空间的习惯，什么叫矢量平移？矢量平移是保证长度和方向不变，把矢量从一个点移动另一个点。
想想看，在流形上纯粹地定义种“平移”，好像没什么意思，这种空洞的“平移”能干什么？所以我们要想像欧氏空间那样运用“平移”，就要给定度规定义矢量的长度方向，然后在定好了的平移下，这种度规定义的长度啊！方向啊！是个不变量。要做到这点，就是让“平移”对应的求导算符作用到度规上为0.
好吧，我是不清楚这些事实上对不对，不过我相信我没错。

 

10楼

先谢谢8楼的精彩回复！

然后，先回复9楼：
我想，你这里所说的理解，最终还是归结到了我所说的“代数性质”上。
你看，我问的不是为什么要“适配”，我问的是到底是从“极值曲线与自平行曲线等价”来适配，还是从“缩并与协变微分可对易”来适配。因而，我问的不是Why，是How。

然后是8楼。
老实说，很多内容没看明白，还要细细去想。
不过，这里有两个问题还没说明白。
1，我知道适配是要做的，但为什么是现在这个做法？
比如，你说要么和度规适配，要么和群适配。我们现在如考虑纤维丛而只考虑一个微分流形的话，应该不存在和群适配的问题——当然，往远了说，按照彭家来的说法任何几何流形都表征了某个或者某些群的特性，所以群是跑不了的，当然，这个现在不用往细了考虑，我们现在就约定不考虑纤维丛。那么，在这个时候不存在纤维结构，那应该就谈不上和群适配这么个问题了吧？那就是说要和度规适配，或者说就是和度量函数适配。
而我的问题就是：为什么和度量适配是现在这个做法？
比如，我让自平行曲线和极值曲线等价，这也可以看作是一种联络和度量的适配啊。而现在为什么要用的是保证度规张量在协变微分下不变呢？因为度规张量在这里的作用那个可以看作是对一个二指标张量做缩并，所以度规张量在协变微分下保持不变就等价于说缩并与协变微分可对易。这是一个从代数角度给出的适配啊。而让自平行曲线和极值曲线等价则更显得几何。
而我的问题就是：为什么要用一个代数方法给出适配而不是几何方法？
当然，在黎曼几何的情况下，这两者等价，这个很容易证明。但是，据说在Finsler下是不同的（这个我也只是听说，我没怎么研究过Finsler），那么到底要用什么方法？
这才是我问题的关键部分。
另一个，是小问题了。你说不用度规也可以，那么如果没有度规，Riemann张量怎么缩并到Ricci张量呢？当然，这个可能明显一点，因为Riemann张量有一个上标三个下标，所以可以做缩并。那如何得到Ricci标量呢？这个就得不到了吧。
当然，这部分我可以太执念于这些标量了。
但，纤维丛中从Riemann张量到Ricci张量的缩并方法恐怕是不存在的吧，因为这里一个上标和第一个下标是群指标，或者说内秉空间坐标，而另外两个下标才是空间指标，所以一个上标和一个空间指标是没法缩并的。
当然，这是题外话。

 

11楼

“如考虑纤维丛”打错了，应该是“不考虑纤维丛”……

 

12楼

哦！对不起，我看错了！不过我也觉得我也答了你的问题。我是说，要让平移和度规适配，就是要让任意矢量做无穷小平移后，由度规给出的模在这个平移下不变。
等等，你是说在Finsler几何下做？这我不会，我现在还跟纤维丛死磕呢。
好吧！还是睡醒后再看风神的精彩解答吧！

 

13楼

你似乎还是没看对啊……
我知道要怎么做，我说的是为什么要用这种方法来定义适配。

 

14楼

没有睡意啊！
我懂你的意思，你是说为什么不用一种几何的方法去定义度规，而要用一种代数方法，是不是？
我给个意见喔，你提到的那个让自平行线同短程线等价，定义适配。自平行线是用联络定义的，短程线是用度规得到的，你在这里才让它们等价定义适配，还不如老早就把适配定为联络和度规的关系，然后得出自平行线等价于短程线的结论。反问你一个问题，为什么不用这种方法定义度规？这简洁多啦

 

15楼

大S你就不能回答下吗？我相信你会的

 

16楼

按照你这里的方法来定义度规的话，度规的意义是什么？
要知道，度规和联络本来是分属于两个完全不同的系统的。
度规给出的是流形上的度量性质与内积性质，而联络给出的是流形上的“平移”性质。
按照你的方法来“定义”度规的话，这样给出的度规还有度量性质吗？
你看，从概念或者说从本体论来说，度量（度规）是和联络处于平等位置的两个基础几何对象，他们都是各自所隶属的几何属性的基本构成元素。而适配条件是将这两个所谓“一级”本体建立联系的桥梁。
而如果按照你的说法，用联络来构造度规，那就是说度规是一个次级本体，那么就是说流形的度量结构必须依赖于联络结构来确定？这是不合理的啊。
事实上，我们可以构造一个流形只有度量结构而没有仿射等别的联络结构，但同时也可以构造一个流形只有仿射或者别的联络结构而不具有度量结构——当然只要给出了坐标，度量结构可以看作是一个很自然的附加属性。
所以，从本体论的角度来看，你用联络来构造度规是不合适的。

当然，我的问题就是你所说的：为什么用一种看上去看代数的方法来定义适配条件而不是用一个看上去更几何的方法来构造适配条件。
当然，这个问题在黎曼流形上是不存在歧义性的，因为这两个条件是等价的。
但是，如果从另外一个更加宽泛的角度出发，那问题就复杂了。
从一个纯概念角度出发，度规是什么？度规是从流形的度量性质来导出内积性质的一个关键部分。如果说度量是一个函数而不考虑这个函数的具体形式的话（比如Finsler，打个比方而已），那度规就不是一个张量，而是一个双槽函数——度量是一个单槽函数。而度规这个双槽函数就可以给出流形上矢量的内积结构。
这里是但村从度量作为一个函数的角度出发所得到的结论。度规是一个对称二阶张量这个结果只是当我们把度量函数取定为特殊形式的二次函数的时候才有的一个结果。从纯粹的度量函数作为函数这个角度出发的话，度规也只是一个函数罢了。
而联络，从另一个流形附属结构这个本体出发，则是一个与平移方向相关的二阶张量函数——或者，更加普遍地数来，联络是一个栓槽的矢量值函数，一个槽是平移方向矢量，另一个槽是被平移矢量。
这样的话，适配条件在这个抽象角度出发来看，就是将上述两个函数——描述内积的度规函数与描述平移的联络函数——之间的桥梁。
在这个意义上，度规的平移不变是一个无意义的东西，取而代之的是由度规给出的内积结构，也就是从N+2指标张量到N指标张来那个的缩并。所以，度规的平移不变在这个语境下事实上就变成关于缩并运算的“平移不变”。
你看，在这个纯函数语境下，适配的代数特性很明显，但却一点都不几何。
尤其是，现在度规是一个双槽函数，而不再是一个二阶张量，所以对张量的平移在这里是一个无意义的操作，因为张量不再是一个张量了。
所以，在一个纯函数范畴中来讨论的话，除非我们将函数与张量彻底等同起来，否则所谓的“度规张量的平移不变”是一点都不几何的。
而，在一个纯函数范畴中来考虑几何上的度规，并且还要保持这个度规的“二阶张量”这个特性，这个做法在我看来是做不到的，至少我想了半天都发现这是不可能的。
当然，从Finsler看来，这个度规依然是张量，但这个张量还和某个“方向切矢量”相关，是切矢量的函数——你看，依然保留了函数特性，所以我相信度规的函数性质是无法消除的，取而代之，其张量性质能在多大程度上保留则不一定。此外对于曲线而言，这个切矢量很实在很显然，但如果对于整个场来说，这个切矢量就显得无从定义了。尤其对于张量场，张量场的切矢量并没有很好的定义。
当然，对于Finsler我也不是很了解，我只能从纯函数范畴的语境去理解这个问题。

 

17楼

不好意思，我打错字了。我当然知道度规和联络是同级概念，14楼打错字了，需要定义的是适配，我从来就没打算过用联络定义度规。一个流形，只带度规不带联络，或者相反，没问题，不会说用其中一个去构造另外一个。
我14楼的意思是反问你为什么不用代数方法定义适配（这会没打错了），为什么不用这种简单的办法呢？定义，只要合理就行了。难道用代数方法定义不合理？
老实说，如果你问我怎么用几何方法定义适配，这个问题明显在我水平之外了，而且我看不出这样做有什么意义。
以下请你耐心看完：
在16楼，你说得没错，度规实际上就是为流形里的一点的矢量空间给出度量，当然，它自然是个双槽函数：输入向量空间里的两个矢量，度规会输出个数。
联络呢？老实说，我学的是梁灿斌的那本，他是先引入协变微分算符，然后把联络定义为协变微分和普通微分的差。实际上没关系，通过矢量的无穷小平移也能引入联络
然后，适配是“联络与度规之间的桥梁”，我们到这里的意见还是一致的对不对？

 

18楼

然后，你说的:"现在度规是一个双槽函数，而不再是一个二阶张量，所以对张量的平移在这里是一个无意义的操作，因为张量不再是一个张量了。"
首先，张量就是用多重线性映射的方法定义的，任何一个张量都是函数啊！是从若干个对偶矢量空间和若干个矢量空间做完直积之后到实数的映射啊！
然后，再看:"度规的平移不变是一个无意义的东西，取而代之的是由度规给出的内积结构，也就是从N+2指标张量到N指标张来那个的缩并。所以，度规的平移不变在这个语境下事实上就变成关于缩并运算的“平移不变”。"度规可以做n+2阶反变tensor(以后打英文少打些字)到n阶反变tensor的缩并，而且与协变微分可交换，没错，但这些应该算是推论，而不是当做定义。梁老书里弄这个更简单，直接让度规场的协变微分为0就是了。还要注意度规场是流形上每个点给定度规，之前说的流形上给个度规是定个度规场。
最后，看看之前我说到的，长度方向不变之类的，是什么意思呢？我其实是说，在A点随便给两个矢量，通过A点的度规就得到它们的内积。
再把这两个矢量平移到离A无限近的B点，再用B处的度规得出平移后那两个矢量的内积。两个地方得到的数是相等的，这才是我的意思。

 

19楼

我明白你想知道什么了.我还以为你纠结于纤维丛呢.....其实也有不用测地线长度的办法，比如说可以通过外微分标架得到联络，用他可以计算高斯曲率，这就是选用配适联络的价值之一，对Finsler几何这也不一定适用，不过这并不成问题，因为Finsler几何中一般不用配适的联络，而是所谓陈联络．这种联络只是所谓与度规”几乎配适”，就是说他在没有cartan形式的时候配适，所谓Deicke定理是说Cartan形式为０时就是黎曼度规，也就是说，陈联络是与黎曼部分相容的联络．其实Finsler中导数都分为竖直导数和水平导数，曲率分为黎曼－陈曲率和Minkowski－陈曲率，这些都是黎曼部分和”奇异”部分分开的表征，我觉得更多数学家研究Finsler是为了更好地来研究黎曼，就想物理中Gupta在拉氏量中填加项以避免约束，Witten为了研究４维性质而拓沿到５维以避免拓扑障碍一样．

 

20楼

我要去补补课了，一堆东西不熟悉

 

21楼

17楼：
我没说不能用代数关系来定义啊，我只是问为什么大家采用的是代数方法而不是几何方法。
而且，你看，我们研究的是几何，至少纯粹的微分几何学是一门结合学而不是代数学，当然几何是和群相关联的从而也必然和某些代数关系相关联，但至少我认为微分几何的主体还是一门几何学——如果说的是代数几何，那这个问题再议。不过我们所谈论的是微分几何。
既然是一门几何学，那把两个几何量关联起来的东西如果是几何的，不是很自然吗？
就好比我们要比较数字A和数字B，用两个数字的相等来关联是最好的，而如果我们用这两个数字满足某个复杂函数来表征数字A和数字B的等价，这不是很麻烦很绕圈子的事情么？

18楼：
任何张量都是函数，这点没问题。但反之则不对——任何函数不一定都是张量。
我这里强调的是函数的本体性质，也就是说，作为一个双槽函数，度规在纯函数的语境下可以完全不是一个张量。
这才是一个主体问题，反之只是一个特例。
而你所说的“度规张量协变为零”，不还是在说度规张量的联络平移不变么？这不过是把我所说的话用另外一组词汇重述罢了。
而“长度方向不变”则是自平行在又一个语境下的重述罢了。
所以，你17楼的叙述在本质上是在重申我所说的代数意义下的适配条件定义，但并不能作为只能用代数意义下适配的理由，因为你没有说出不能用几何意义做适配的原因。
这个就好比申请一场活动，你叙述了你作为承办方的合理性，但没有说出你相对于我这个申请者的优越性，以及我作为承办方的不合理性。
此外，还有一点，那就是在黎曼几何中两个方面入手的适配是完全等价的，所以从黎曼几何的情况中我们也不能看出这两个方面的适配条件孰优孰劣。

19楼：
Finsler下的Chern联络的确如此，它既不满足我所说的代数意义上的适配，也不满足我所说的几何意义上的适配。
但是，这里就出现这么一个问题了：如果联络与度量不用完全适配的话，我们有什么合理的理由可以说用联络刻画的曲率真是描述了流行的弯曲情况呢？
事实上，如果联络与度量不适配，那么由于曲率是由联络给出的，那我们只能说现在的曲率给出了流形的联络结构的弯曲程度，但对于流形的度量结构的弯曲程度就无从说明了。
因而，这里就有一个问题了：描述一个流形几何性质的到底是其度量结构还是其联络结构呢？而流形的弯曲情况自然也是流形几何性质之一了。如果说流形的弯曲情况只与联络结构相关，那流形的度量结构不就成了独立于这些之外的一个独立的流形几何性质了吗？这是不可思议的，因为两者完全分离了。
同样，在Finsler的Chern联络下，由于是“几乎适配”，所以我总感觉此时由他给出的曲率并不能完全地描述流形的弯曲。
事实上，我之所以提出这个问题，另一个原因也就在于：如果度量与联络是在我所想的几何意义下适配的，那此时的曲率自然是完全地描述了流形的联络结构与度量结构的弯曲情况。而如果度量与联络是在我所想的代数意义下适配的，那曲率就职描述了流形的联络结构的弯曲，而度量结构的弯曲则只在一个代数意义上与联络结构的弯曲相关，那此时流形的真实弯曲情况到底是看联络的还是度量的？虽然两者在某个代数意义上是相关的。
总之，这样看来的两个结构的相关是很不直接很不自然的。

 

22楼

我弱问一下，什么是“流形的真实弯曲情况”呢？

 

23楼

这个东西要从一个高维来看了。
比如从三维中看二维曲面，那么真实弯曲情况就是实际上所看到的曲面形态。
一般而言，可以用第一形式、第二形式来描述。
其中第一形式是曲面（或者N维流形）的度规（从而是度量性质），而第二形式是嵌入在高维中的外曲率张量（和所嵌入高维中的协变微分在流形上的限制相关，从而是的联络性质）。
所以，一个曲面的真实弯曲情况分为内秉的——度量性质，也就是第一形式——和外在的——联络性质，也就是第二形式。而且，对于同一个流形，这两个形式必须是不矛盾的。
当然，由于第二形式与嵌入方式有关，所以事实上当不从高维看的时候，原则上主要看的是第一形式，也就是度规。因而，在我看来流形的真实弯曲情况反应的是内秉弯曲情况，从而应该是由度量来决定的。而如果联络与度量不在几何意义下适配，那用联络给出的曲率就不能很直观地表达流形的这种内秉的真实弯曲情况——相差一个或许很复杂的代数关系。

 

24楼

所以，一个曲面的真实弯曲情况分为内秉的——度量性质，也就是第一形式——和外在的——联络性质，也就是第二形式。而且，对于同一个流形，这两个形式必须是不矛盾的。
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多谢解释。 我想，对于R^N下，嵌入的R^(N-1)子流形，那个第一形式需要不与第二形式矛盾，这个第一形式或许是指R^N引导上去的度量吧？ 那么，切向量，也就是R^N中的向量，这两者都具有明确而直观的几何意义，所以那个度量也并不是“内禀”的，而是根据嵌入的方式，从高一维的流行中“继承”下来的，与外曲率的形式相匹配

 

25楼

对了，还有一个比较合适的方法来描述高维中低维曲面的“真实弯曲情况”，那就是做一个高维椭球，使这个椭球与给定曲面在给定点相切。
由于是高维椭球，所以这里相切的要求事实上还是挺高的，不能只在一个方向上相切，是所有方向。
从而，现在这个与曲面在给定位置相切的椭球就可以用一组参数来描述（不考虑椭球N个轴的转动带来的变化）。这组参数就唯一给定了曲面的真实弯曲情况。
当然，这个参数事实上是和第二形式相关联的，而且，自然也与嵌入方式相关。
低维的平坦曲面嵌入到高维中是可以引出一个非零曲率的，这个可以通过别的嵌入方式来消除或者改变。
所以我还是坚持用第一形式，虽然第二形式非常“直观”。

 

26楼

你所说的是从高维流形的度规来“诱导”出低维上的度规，但事实上后者是可以内秉存在的。
而且，作为将低维嵌入到高维的一个要求，就要求这样嵌入以后低维度规可以作为高维度规的诱导。也就是“保角映射”。
所以，你所说的是对嵌入操作的限制，而不是对低维度规的约束。

 

27楼

R^(N-1)维的子流型虽然是嵌入进R^N的，但是它上面的切矢量却可以用他自己的坐标完全描述。因此也可以看成是内禀的。用dirac的方法

 

28楼

和所嵌入高维中的协变微分在流形上的限制相关，从而是的联络性质－－－－－－－－这是外在的流形的联络，不是曲面本身联络．曲面联络可由第一基本形式得出．现代方法就是用这个来证高斯大定理的．曲率有两种，内禀的和外加的，Weingarten变换的两个特征值之积是内禀的主曲率（高斯大定理），之和的一半的中曲率是外加的．对一个现代意义上的流形，知道度规求的黎曼张量和高斯曲率是有关的，比如二维面的唯一不为０黎曼张量就是高斯曲率，我们可以用古典方法求，我想这就是所谓直观曲率，也可用相容的联络去求．这就是他的意义．

 

29楼

另外，n维流形必然是R2n+1的子流形．
曲率没必要非在高维看，可以用jacobi方程来直观看黎曼张量的意义．

 

30楼

回复：28楼
善，是我搞错了。嵌入与协变微分的限制有关，是与联络相关的。。。。因此是第二种形式