phymath01 哈密顿主函数"(Hamilton's principal function), 是 q 与 t 的函数.如果

注意是经典的质点力学，所以此问题以S=∫Ldt为定义式，与泛函什么的无关。 我现在想搞明白的是，如果我将S写成S=∫pdq-Hdt的形式，我是否可以说S是以所有正则坐标加上时间为自变量的函数？
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2011-04-20 17:16 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	2楼 大丈夫，没问题~~ 既然写出了H，也就是真实轨迹的运动了（满足拉格朗日方程）。。因此q和dq/dt也就不是独立的变量了。。。 顺带一提，朗道的《力学》中就是这么处理，而得出\partial S/\partial t = -H的。。
2011-04-20 17:43 回复

navilluso 165位粉丝 QGP 6	3楼 在位形空间看，作用量是q(t)的泛函；扩展到相空间，作用量是q(t)、p(t)的泛函。
2011-04-20 17:50 回复

台湾PiPi 246位粉丝 GZK 8	4楼 S 在变分得到运动方程之前是泛函, 在其它情况则不一定是什麼函数, 视目的而定.
2011-04-20 19:54 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	5楼 说来说去到底还是泛函呵。。。= =
2011-04-20 21:40 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	6楼 其实问这个问题，主要是想知道如果将作用量进行全微分，总共应该有几项。 如果本身把这东西全微分就没有意义，或者说有什么别的问题，那么也就不存在这个问题了。。。
2011-04-20 21:42 回复

tyj518 115位粉丝 GZK 8	7楼 我个人认为S=∫Ldt和S=S(p,q,t)只是在轨迹为真实轨迹时的值相等。从来源上来说实际上有一些区别，S=∫Ldt是最小作用量原理里面的泛函，而S=S(p,q,t)实际上是正则变换的母函数，二者在q=q(t)及p=p(t)取真实轨迹时相等。
2011-04-20 21:53 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	8楼 泛函的定义不就是向量空间到数域的映射么。。。作用量就是\int L dt，是L到数域的一个映射。。泛函是不管怎么回避不掉的。。。 不过我感觉和这个问题没什么太大关系。。。 如果是一个物体的真实轨迹的作用量（满足拉格朗日方程），那么就可以将他看成坐标和时间的函数，全微分之后会有两个大项， 一项是坐标的微分，一项是时间的微分。。 坐标的微分是S的梯度，也就是动量。对时间的偏导得到的是负的哈密顿函数。。
2011-04-20 21:56 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	9楼 嗯，我有时候也在想，运动轨迹都确定了，p、q(或q，q·)还能有作为自变量的意义吗？ 不过我并不打算去啃泛函分析，所以我在想可不可以无视专门的泛函分析，单把作用量这东西搞明白就行。
2011-04-20 21:58 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	10楼 回复：9楼 有啊，轨迹虽然确定了。。 但是在不同的位置或者不同时间的时候S的值不一样啊。。所以S仍然是位置和时间的函数。。。
2011-04-20 22:00 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	11楼 回复：10楼 问题就在这了，既然轨迹确定了，那么一个时刻就对应一个位置，所以真正的自变量未必有两个吧。。。
2011-04-20 22:03 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	12楼 回复：11楼 不一定。。。假如轨迹确定了，是(0,0)到(1,1)的一条直线。。。 但是这上面完全没有时间的事情。。。物体可以花5秒钟过，也可以1秒中，可以匀速，也可以非匀速。。。时间仍然是另一个变量。。。
2011-04-20 22:06 回复

弦疯K MorrowindK 116位粉丝 Higgs 7	13楼 作用量本来就是泛函，这是它的定义...所以它只有变分的份，没有微分的份~~
2011-04-20 22:06 回复

inempty 201位粉丝 SUSY 9	14楼 这是根据需要而定的，不一定。
2011-04-20 22:07 回复

navilluso 165位粉丝 QGP 6	15楼 回复：4楼 也许PIPI老师的意思是，一旦完成变分问题的求解，就可以求出实际运动过程的作用量泛函值。不过，个人觉得那个实际作用量值作为泛函的极值（严格说是驻定值）没有任何力学价值；况且，在路径积分量子化时，涉及各种路径传播的贡献，最终有意义的还是作为泛函的作用量。
2011-04-20 22:12 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	16楼 回复：13楼 话说那个变分的长相和微分的差不多。。。假如不引进泛函的概念，只是简单的看成函数的函数的话。。。其实也就差不多啦~~方便理解（不严格，大家表拍俺啊~~）
2011-04-20 22:12 回复

弦疯K MorrowindK 116位粉丝 Higgs 7	17楼 回复：16楼 你要是作为一种理解方式，当然你可以这么理解，但是如果定量计算的话，作用量只能取变分，不能算微分。变分和微分还是有很大差别的~~
2011-04-20 22:21 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	18楼 变分和微分的区别我大致能理解一些。。。不过到具体的数学操作上我容易糊涂= =
2011-04-20 22:24 回复

the_comer 21位粉丝 Higgs 7	19楼 回复：17楼 恩哈~了解了~~ 回复：18楼 再想了下，在引进了（q一点）=dq/dt之后，确实就只剩下了一个变量了。。 不过现在就当做只有拉格朗日方程这个条件来看吧~~
2011-04-20 22:29 回复

弦疯K MorrowindK 116位粉丝 Higgs 7	20楼 回复：18楼 这个只有定量算一下才会理解，比如一个场量，它变化的时候不但自变量要变，场量本身也要变。场量的变化贡献的是变分，自变量的变化贡献的是微分~~
2011-04-20 22:29 回复

台湾PiPi 246位粉丝 GZK 8	21楼 符号 S 在 "最小作用原理" 里叫 "作用量"(action), 是路径的泛函; 在 Hamilton-Jacobi 方程里叫 "哈密顿主函数"(Hamilton's principal function), 是 q 与 t 的函数.
2011-04-20 22:46 回复

风行者 坂上中微子 399位粉丝 GZK 8	22楼 哈密顿主函数。。。明白了，谢谢~
2011-04-21 10:47 回复

品淼斋主 173位粉丝 GZK 8

23楼 回复：21楼 嗯 两者的意义不一样~

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• 單擺運動並不是簡諧運動(simple harmonic motion)。若擺動的角度 很小,  ≪ 1 , 單擺 -marketreflections- ♂ (3171 bytes) () 12/01/2011 postreply 16:33:09