应用数学 曲线坐标系01 李文雄 有限元,有条件，还不能考虑翘曲;矩阵 ,谱分析,冯·诺伊曼1928年证明的对策论基本定理——极

第四节 应用数学   数学并不是一门自然科学，它不讨论外在世界的实体与现象以及它们之间的相互关系．但是，长期以来，数学的成果却是与天文学、地理学、物理学(包括力学)乃至其他自然科学的研究联系在一起的．在这种背景之下，纯粹数学家、应用数学家、计算数学家往往三者集于一身，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、高斯就是这方面的突出代表．19世纪中期以后，随着专业化的发展，除了最优秀的大数学家之外，只能在一个狭窄专业里取得一定成就，而且纯粹数学家以搞纯正的数学问题(如数论问题)为荣，对于应用数学不屑一顾，甚至一些应用数学家也以进行数值计算为耻，认为这些是下手活．这种分化对于整个数学乃至自然科学的发展是不利的．尽管如此，最优秀的一些数学家仍然在理论数学、应用数学甚至数值方法诸方面均作出一定的贡献．其中有法国的傅里叶、柯西、刘维尔·厄米特一直到庞加莱，德国的雅可比、狄里克雷、黎曼一直到克莱因、希尔伯特及闵科夫斯基．19世纪末开始编纂的德国《数学科学百科全书》公平地把数学一分为二：前半分为数论和代数、分析及几何学三部分，后半分为力学、物理学、天文学及测地学三部分．在克莱因的倡导下，应用数学受到一定的重视并且取得巨大的成绩．但同时国际上也越来越兴起越无用越纯粹的数学越好的说法：德国的数论专家朗道等讥讽普兰托(L．Prandtl，1875—1953)等搞的应用数学为“润滑油技师”，英国的哈代说自己搞的数学都是没用的，而法国的两代数学家，20世纪初的函数论学派以及30年代兴起的布尔巴基学派都是以抽象为荣．直到第二次世界大战前后，纯粹数学、应用数学及计算数学和它们之间的关系有了巨大的变化，这表现在： 1．应用数学的领域大大扩展了，它不仅把以微分方程为主的数学物理学扩展到化学、生物学、地学乃至社会科学，而且所用的数学工具也扩张到群论、微分几何学、拓扑学． 2．随着电子计算机的出现，数值方法必需要适应机器的需要，从而使应用数学取得越来越多的成果． 3．反过来，应用数学的发展及计算机上的数值试验也推动了一系列纯粹数学问题的提出及解决，如唐纳逊由规范场理论出发导致四维拓扑学的突破，计算机试验导致KdV方程的解．   一、数学物理学   第二次世界大战之前，物理学的各项重大成就都与数学及数学家的贡献分不开．在爱因斯坦于1905年发表狭义相对论之前，对该理论贡献最大的有荷兰物理学家洛伦兹(H．A．Lorentz，1853—1928)与法国大数学家庞加莱，而且有人认为庞加莱有不亚于爱因斯坦的功绩．为了对它给出数学表述，1907年闵科夫斯基第一个提出四维时空(即闵科夫斯基空间)概念，他的思想后来还引导爱因斯坦走向广义相对论．1912年爱因斯坦在他的同学格罗斯曼(M．Grossmann，1878—1936)的帮助下，发现数学家早已发展起来的黎曼几何学及张量分析是广义相对论的适用工具．他于1915年11月25日最后得出对坐标变换协变的引力方程，稍早一些，希尔伯特也独立地得出该方程．1918年，外尔在他的《时间、空间和物质》(Raum， Zeit， Materie)中首次进行统一引力场及电磁场的尝试，虽然没有成功，但他提出的“规范不变性”的概念在二次大战后直接导致规范理论的发展． 同时，克莱因、希尔伯特及E·诺特利用不变式理论得出物理原理，特别是诺特原理，它把对称变换的不变性与物理量的守恒性联系在一起．   1900年，德国数学家普朗克(M．Planck，1858—1947)提出量子概念，到1925年发展成海森伯(W.Heisenberg，1901—1976)的矩 ，这标志着量子力学的诞生．而1924年出版的库朗—希尔伯特《数学物理方法》(Methodender Mathematischen Physik)I似乎早就为物理学准备好数学工具．矩阵力学及波动力学的等价性早在20多年前已在希尔伯特的掌握之中．海森伯写道“希尔伯特对哥廷根量子力学的发展的影响最为巨大．……现已表明，量子力学的数学方法原来是希尔伯特积分方程理论的直接应用”．希尔伯特说“无穷多个变量的理论研究，完全出于纯数学的兴趣，我甚至管这个理论叫‘谱分析’，当时也没有预料到它后来在实际的物理学光谱理论中获得应用”．希尔伯特同诺德海姆(Nord-heim，)及冯·诺伊曼合写了《量子力学的公理基础》．冯·诺伊曼发展了希尔伯特空间及其算子理论，他推广希尔伯特的自伴算子成为量子力学适用的厄米特算子并发展其谱理论从而给量子力学建立了完整的数学基础．他的《量子力学的数学基础》(1932)成为这方面的经典著作．   第二次世界大战后，基本粒子的分类及规范场理论深刻地影响物理及数学的发展，由于李群表示论及代数几何学的进步，超弦理论成为当前最广泛的大统一场论．   二、计算数学   长期以来，数学一直以数值计算为其最主要的任务，大量数学研究的目的无非是建立算法并不断加以改进，使之算得准、算得快、算得容易、方便，得出令人满意的结果．20世纪计算机的出现，根本改变了计算数学这一分支，对数学及其他科学也产生革命性的影响．1947年冯·诺伊曼等人发表的“高阶矩阵的数值求逆”标志着数值分析这门学科的诞生．其目的不仅要建立优秀的算法，特别是适用于计算机的程序，而且要对算法进行比较和分析，特别是对误差分析稳定性收敛速度以及计算量、存贮量等要进行细致的研究，其后产生一系列的有效方法，如乌拉姆(S．Ulam， 1909—1984)等创造的蒙特卡罗法以及有限元法、稀疏矩阵、样条函数法、快速傅里叶变换(1965)等一系列行之有效的方法．各种数值代数、数值积分以及解各种方程的方法也有许多改进及研究．针对具体问题也产生了计算力学、计算流体力学、计算物理学、计算化学等等新兴分支，成为与实验互补的科研手段．60年代初在基础研究方面还产生了计算复杂性理论，提出一系列基本的与计算有关的理论问题． 数学物理学的问题大都化成微分方程，对于这些方程的分析方法及数值方法的发展简述如下： 1．常微分方程 从天体力学的三体问题到各种非线性自由振动及受迫振动问题，许多实际问题都转化为解常微分方程的问题．一般来讲，常微分方程，特别是非线性常微分方程，找不到精确的解析解，甚至在有解析解时，也不能由常用的函数表出，因此，从19世纪晚期，人们就致力于寻找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大战以后，更促进各种数值方法的改进及发展． 最早的近似方法是庞加莱所发展起来的摄动方法，现在已成为数学的一分支——摄动理论．最早它是瑞典天文学家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年为解天体力学一个复杂问题提出来的．为了避免长期项的出现，庞加莱在1892年对于方程   严格证明存在定理，从而使该方法合法化．而对于非线性振动中常见的方程   (其中f是t的周期函数，ω是小参数)，则由弗瑞德利克斯等人(1942—1943)及斯托克(J．J．Stoker， 1905—)于1950年所解决．同时苏联克雷洛夫(H．M．Крылов，1879—1955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，1909—1991)在1943年发展了范德波(Van der Pol)于1926年首创的方法，发展了一套平均法，后来在研究非线性振动时常用．另外一种所谓调和均衡法首先由达芬(G．Duffing)在1918年提出，应用也很广泛．从20年代起，问题更集中于奇异摄动问题(如小参数ε出现于高阶导数项和大参数问题)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys， 1891—)从1924年起发表四篇论文研究马丢方程解法，其后温采尔(G．Wentzel，1898—)、克拉默斯(H．Kramers，1894—1952)、布理鲁因(L.Brillouin，1889—1969)独立发展成解薛定谔方程的W—K—B方法．另外还有兰格(R.E.Langer，1894—)在1931年提出并由奥立佛(Oliver)发展起的LO方法，对于空气动力学许多问题中产生的强奇异性，1949年由莱特希尔(M．S．Lighthill，1924—)引进自变量的非线性变换，使得庞加莱正则摄动方法也能产生有效渐近解，这方法于1953年由郭永怀，(1909—1968)发展后被命名为PLK方法1955年华沙(W．Wasow，1909—)把这个经验方法加以系统化． 解常微分方程的数值方法还有不少，应用最广泛的是差分方法．最早可追溯到18世纪，其后有相当大的改进． 2．偏微分方程 偏微分方程是由物理学、几何学、函数论等提出来要求求解的问题，从18世纪中叶起，二百多年来对于各种类型的方程进行大量的研究，只有到第二次世界大战之后，才有比较系统的研究．但应用问题，特别是非线性问题，仍然是具体问题具体分析，缺乏统一的方法，许多问题发展了有效的数值解法． 19世纪以来，研究最多的有波动方程、热传导方程及位势方程，对于弹性力学方程及麦克斯韦方程组也有许多进展，而流体力学方程，特别是有粘性的不可压缩流体纳维尔——斯托克斯方程则有许多困难．进入20世纪以后，一系列新的方程出现了：如边界层方程、薛定谔方程、反应扩散方程等等． 求解偏微分方程的过程推动了分析的发展：如傅里叶分析及各种积分变换、复变函数论、变分法、正交函数论、渐近展开、位势理论等等． 在求解偏微分方程的近似方法及数值方法当中，较常用的有变分方法、有限差分方法及有限元方法等．变分方法来源于黎曼为解决狄利克雷问题所提出的狄利克雷原理，该原理虽遭魏尔斯特拉斯的批判，但在1900年被希尔伯特恢复其合法性．他的做法是直接求出泛函极值的最小系列，从而解对应的边值问题．希尔伯特的学生黎兹(W．Ritz，1878—1909)在1908年应用希尔伯特的思想提出黎兹方法，他首先把解展成完小序列来逼近解．对于本征值问题Au＝λu，可以用瑞利商为泛函来通过黎兹方法解决．苏联数学家伽辽金(Б．Г．Галёркин，1871—1945)改变决定系数的方法，可用于更为一般的问题，包括初值问题，这类方法统称黎兹——伽辽金方法．最常用的数值方法是有限差分方法，其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．它适用于各种类型方程．关键问题是收敛性及稳定性问题．1928年，库朗、弗瑞德里克斯及卢伊征明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础，第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展．1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．在论文中他引进稳定性这个十分重要的概念，并给出稳定性的必要条件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926—)及里希特迈尔(R．D． Richtmyer，1910—)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义． 在战后的数值方法中，有限元方法是另一个最常用的方法．它可以看成是变分方法及差分方法有机的结合，其思想可追溯到库朗1943年的论文．1956年起一些工程人员在处理结构工程问题时又独立发现，60年代开始引进连续体的单元剖分，逐步明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想并建立数值分析的理论基础．   三、统计数学   高尔顿(F．Galton， 1822—1911)在1889年出版的《自然遗传》(Natural In heritance)一书中，首次提出“相关的概念以及其定量表征——相关系数．大约同时，他在一系列观察及测定的基础上，提出了“回归”的概念，他观察到父代与子代的性状虽然有一定的相关性，但连续观察下去，则特征逐步减退，而“回归”到平均值上，从而开创了回归分析． 英国科学家卡尔·皮尔逊(Karl Pearson 1857—1936)是高尔顿的学生，从1894年到1916年发表一系列有关进化论的数学研究，其间发展了相关及回归理论，成功建立了生物统计学，他区别“总体”与“样本”，1898年提出多重相关理论，指出由样本估计总体参数时要采用似然函数．1900年提出拟合优度检验，为此引进χ2分布(在此之前，德国物理学家阿贝(E．Abbe， 1840—1905)在1863年发表的论文中及德国测地学家海尔穆特(F． R．Helmert，1843—1917)在1875年都曾独立地发现χ2分布)．这奠定了大样本理论的基础．数理统计学至此时处于描述统计学阶段，其后则是费舍尔(R． A． Fisher，1890—1962)之后的推断统计学阶段． 推断统计学的先驱是英国医生哥塞特(W．Gosset， 1876—1937)，他使用笔名“学生”—student)，他在1908年发现了大分布，开创了小样本理论，也即根据小样本来进行推断，这使得统计学由研究集体现象转变为随机现象，对于其后的统计学的发展有决定性的意义．但他们推导极不完整，一直到费舍尔加以严格证明并在1925年《研究人员用统计方法》一书中加以系统阐述之后，这种统计方法才得到广泛的传播． 费舍尔把统计学变成为数学的一个分支，他强调统计方法的统一性，对近代数理统计的形式及发展做出巨大的贡献．他提出许多重要的方法，建立了一些分支．他引进解消假设和显著性检验的概念，成为假设检验理论的先驱．他列举一致性、有效性及充分性作为参数的估计量应有的性质．他还提出“信息量”的概念．从1912年起，建立了以最大似然估计为中心的点估计理论． 1925年费舍尔与叶茨(F．Yates，1902—)合作创立实验设计这一分支，提出区组平方设计与拉丁方．他的工作总结在1925年出版的《实验设计》一书中，他还在1923年发展了与实验设计相适应的方差分析法．费舍尔另一项重要贡献是引进“可信分布”的概念，对于一些困难的问题如贝伦斯(W．U．Behren-s)——费舍尔问题，提供简单解法．不过，费舍尔的思想方法偏于直观，数学方法也欠严格，这有待于奈曼等人的工作加以发展． 原籍波兰的美国数学家奈曼(J．Neyman，1894—1981)在1925年9月到达伦敦，结识了英国统计学界的人物，与卡尔·皮尔逊的儿子小皮尔逊(E．S．Pearson，1895—1980)建立起终生友谊．他们合作(1928—1938)的头一篇在1928年6月发表的论文中就提出“备择假设”的概念，指出存在两类错误，他们把假设H真确时而拒绝H所犯的错误称为第一类错误、把备择假设A真确时而接受H所犯的错误称为第二类错误，从而开始使统计推断理论建立在新的数学基础上．他们引进检验功效函数的概念，以此做为判断检验方法优劣的标准．奈曼还在1924年到1937年间建立置信区间概念，它建立在概率的频率解释之上，奠定了区间估计理论的数学基础． 原籍罗马尼亚的美国数学家瓦尔德(A．Wald，1902—1950)1939年发展了统计判决函数理论，在这个理论中，把推断程序全体作为一个整体来考虑，被命名为判决函数空间．它定义了其上的风险函数，作为推断程序好坏的准则．他与费舍尔及奈曼不同的是把先验概率也考虑进去，对第二次世界大战以后的统计数学影响极大．他的结果收入1950年出版的《统计决策函数》(statistical decision functions)一书中．他把估计理论及假设检验理论相结合，形成“决策理论”这一新的应用数学分支．1943年起瓦尔德还发展了序贯分析，1947年他的《序贯分析》(Sequential analysis)的发表标志这一新分支的诞生． 1946年瑞典统计学家克拉美(H．Cramer，1893—)的《统计学的数学方法》(Mathematical Methods of St-atistics)把统计数学建立在现代测度论的严密基础上，标志着作为数学的重要分支——数理统计学最终形成自己的科学体系．   四、运筹数学   运筹学的产生是第二次世界大战前后的事．1933年希特勒在德国掌权，英国就开始进行适当的准备来防御可能发生的空袭．结果在1937年末研制出雷达和飓风式战斗机．但是1938年7月进行的空战演习中，雷达和战斗机临时凑和，不能形成一个有效的空防体系．因此，当时英国在海岸的雷达研制工作的领导人罗维(A．P．Rowe)建议进行关于雷达战斗机系统的运用方面(与纯技术方面相对立)的研究工作，他还创造出“运用的研究”(operational research)一即运筹学这个词来称呼这种研究工作，这可以说运筹学正式诞生．他和威廉斯(E．C． Willia-ms)发展了发现和预防空袭的方法，并且在布莱开特(P．M．S．Blackett 1897—1974)直接领导下，成立了运筹小组．这些直接导致英国防空体系根本上的改进，在1940年8、9月间经受住了决定性的考验．美国参战之后，在1942年底，美国也进行类似的研究工作．由于从事战时工作的科学家在战后大力倡导，而使运筹学的理论和应用在战后得到了蓬勃的发展，并由军用扩大到民用许多领域，产生许多分支学科．主要学科是数学规划(包含线性规划、非线性规划、整数规划、组合最优化乃至动态规划等)、对策论、排队论、库存论、搜索论、决策分析等． 规划问题从数学上讲是具有约束的最优化问题．如线性规划是考虑在线性等式及不等式组的条件下求线性目标函数的极值问题．它在经济上的应用，来源于冯·诺伊曼1928年证明的对策论基本定理——极大极小定理．后来列昂节夫(W．Leontiev，1906—)关于投入产出分析在1941年提出的模型及1944年冯·诺伊曼及摩根施坦(Morgenstern，1902—1977)在他们的名著《对策论及经济行为》(Theory of Games and Economic Be-havior)中更提出竞争模型．库普曼斯(T．C．Koopmans，1910—1985)在1951年出版《生产与配置的活动分析》中独立地对线性规划的创建及发展作出贡献，并因此获1975年诺贝尔经济学奖．其中把线性规划问题化为数学上凸集或凸体的理论，其中线性不等式及凸体的对偶性起着关键的作用．这方面的理论可追溯到蒙日(1781)及傅里叶(1823)关于n维欧氏空间内凸锥、凸多面体理论，匈牙利数学家法卡斯(J．Farkas，1847—1930)给出特殊线性规划问题有解的充分必要条件，1956年塔克尔(A．W．Tucker，1915—)给出一般解的存在条件．这些理论在数学上已成为独立的学科，并由欧氏空间推广到函数空间及一般的拓扑线性空间．对于应用问题，更重要的是实用的计算方法：在这方面苏联的数学家康托洛维奇(Л.В.Канторвич，1912—1986)在1939年已做了先驱性工作，著有《生产组织与计划工作中的数学方法》，并因此获1976年诺贝尔经济学奖，由于当时环境，长期未受到注意．现代实用的方法主要是丹齐格(G．B．Dantzig， 1917—)在1947年提出的单形法，其后有一系列变形及改进，这种方法可以编成程序在计算机上运用，1977年苏联的哈奇洋(Л.Г.Хачиян)、1983年印度的卡马卡(A．Karmarkar)作出许多改进． 当线性规划的条件有各种变化时，得出各种规划，它们的解法基础大都仍基于线性规划的研究结果．当限定一部分为全部变元取整数值时，称为整数规划．求解整数规划，首先由戈莫瑞(R．E．Gomory，1929—)于1959年提出来．如果目标函数或约束条件中包括非线性函数，就称为非线性规划．在极值在边界上达到的简单条件下，库恩(H．W．Kuhn)及塔克尔早在1951年就发展了拉格朗日乘子法予以解决，而一般情形唯一性的讨论十分困难，只有当凸函数或凸区域的情形可以通过推广线性规划而解决，这发展成凸规划．在目标函数为正定二次函数(因而是凸函数)这种特殊二次规划情形下，还可以得出更有效的算法，毕利(E．M．L．Beale)于1959年提出的方法可以说是单形法的直接推广，其后还有各种各样方法的混合及改进．六十年代发展出另一种应用很广的几何规划，其目标函数变元的幂次不一定是整数．运筹学处理另一大类随机性模型，此外还有无约束的最优化问题． 1957年美国数学家贝尔曼(R．Bellman，1920—1984)提出另一种最优化技术——动态规划．它把问题分为一串子问题，它与变分法及邦德里亚金极大原理有关，更适于用微分方程来表述，却应用于离散的组合问题．它在运筹学及控制理论中都有着广泛的应用． 在第二次世界大战前就开始研究的随机模型的运筹学理论有排队论和对策论．战后还有价值论、决策论、搜索论、模拟论等等．排队论的问题随着公用服务事业的发展而提出来，特别是售票窗口的设置及电话线路设计等问题．最早1907年约翰森(Jo-hannsen)及1909年厄朗(A．K．Erlang)开始研究特殊情形，至1953年肯达尔(D．G．Kendall，1918—)引进标准记号，并应用马尔科夫链理论，正式建立了系统的排队论．基弗(J．Kiefer， 1924—1981)及沃尔弗维兹(J．Wolfowitz，1910—1981)在1955年更建立了多窗口排队系统理论．