音乐快递：chen01 一维的结构稳定性问题：是一个一维的闭圆。定义这个闭圆每一点的切向量有两个方向，设为正向和负向。于是，一个上的向量场 - 由marketreflections发表

我目前在学习动力系统的基础知识。为了学习动力系统的基本知识，应当先有一门常微分方程课的基础，了解微分流形的基本概念，以及点集拓扑学基本概念。如果要从大学程度的常微分方程的课程开始学起的话，我推荐MIT的Arthur Mattuck教授主讲的公开课:”Ordinary Differential Equation“。微分方程的中文教材，我使用丁同仁和李承志的“常微分方程教程”。微分动力系统的教材，中文的我主要参考“微分动力系统原理”，作者是张筑生。英文的书，是我重点阅读的部分，包括下面几本书，V.I.Arnold的书”Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”，Jacob Palis和Welington de Melo的书“Dynamical Systems”,Welington de Melo 和 Sebastian van Strien的书”One-Dimensional Dynamics”，以及Michael Shub的书”Global Stability of Dynamical Systems”.这些将是我短期内投入学习的最重要内容，有相同学习计划的朋友可以与我联系。

结构稳定性是我一开始就比较感兴趣的话题，我用这个帖子写关于这方面的内容。希望作为初学，不会犯严重的错误。

拓扑等价：如果存在流形 $M$ 上的两个向量场 $X_1$ 和 $X_2$ 和从 $M$ 到 $M$ 的同胚 $h$ ,满足 $h$ 将 $X_1$ 上的每一个轨道都保方向的映到 $X_2$ 上的一个轨道，则我们称这两个系统拓扑等价。

结构稳定性：流形 $M$ 以及其上的一个向量场 $X$ 组成的系统 $(M,X)$ 被称作结构稳定的，是指当存在 $X$ 的一个在 $C^1$ 空间中的邻域，使得邻域中每一个向量场都与 $X$ 拓扑等价。

一维的结构稳定性问题： $M$ 是一个一维的闭圆。定义这个闭圆每一点的切向量有两个方向，设为正向和负向。于是，一个 $M$ 上的向量场 $X$ 可以表示为 $M$ 上的周期函数 $f$ 。当 $f$ 取值为正时， $X$ 的方向是正向；当 $f$ 取值为负时， $X$ 的方向是负向；而 $f$ 取值为 $0$ 的点，就对应 $X$ 的奇点。在函数 $f$ 取值为 $0$ 的点上，如果 $f'$ 取值不为 $0$ ，则我们称该点是非退化的奇点。于是我们有一维结构稳定性的充要条件如下(参见[1])：

定理1：上述 $M$ 上的一个向量场X是结构稳定的，当且仅当该向量场所有奇点都是非退化的。

证明.首先，假设向量场 $X$ 的所有奇点都是非退化的。那么，这样的奇点一定只有有限个（只要使用连续函数的性质即可看出）。由于在这些奇点上，向量场的二次导数非正即负，所以在奇点的两侧，向量场的方向不同。因此，我们看出，对于任何一个这样的奇点，它不是稳定点就是不稳定点。比如，当在某个奇点 $x_0$ 点， $f'(x_0)>0$ 时，我们有向量场在两侧都是指向远离 $x_0$ 的方向。因此，我们说 $f$ 在 $x_0$ 点是不稳定的。这样的向量场经过微小的扰动之后，显然拥有相同的奇点数量以及稳定性质，所以一定与原场X拓扑等价。

另一个方向，如果存在一个退化的奇点 $x_0$ ，我们有 $f(x_0)=f'(x_0)=0$ ,f在该点至少有两阶零点。因此取 $x_1$ 和 $x_2$ 足够接近 $x_0$ ，构造 $g(x)=\frac{f(x)}{(x-x_0)^2}(x-x_1)(x-x_2)$ ,使其在 $f$ 的任意一个 $C^1$ 邻域当中。对应于 $g$ 的新的向量场在 $x_1$ 和 $x_2$ 两处各有一个非退化的奇点。这样，奇点总数的增加造成轨道等价被破坏。因此，有退化奇点的向量场一定不是结构稳定的。方面，设所有的奇点都是非退化的，由于这样的奇点都是孤立的，所以它们一共至多有限。 $f$ 在这些奇点处，视 $f'$ 的正负，分别是稳定和不稳定的。

观察上面定理证明的第二部分，我们还可以继续得到，

定理2：在整个闭圆上的全体向量场组成的集合，配备以 $C^1$ 拓扑。则全体结构稳定的向量场在这个集合中形成开的稠密集。

我们先证明一个一维情况下的sard定理。

sard定理：（一维）在[0,1]区间的一个光滑函数 $f(x)$ ,所有 $f'(x)=0$ 的点组成的集合的像集合是零测集。

证明： 将[0,1]区间平均分成 $N$ 等分。标记上所有包含有 $f'=0$ 的点的那些部分。由于f光滑，我们可以设定 $f''$ 在整个[0,1]区间中不超过 $M$ .于是，在上面选定的那些部分上， $f'$ 不会超过 $\frac{M}{N}$ .这样， $f$ 的像不会超出长为 $\frac{M}{N^2}$ .于是，我们显然可以在[0,1]区间选取测度不大于 $\frac{M}{N}$ 的开集包含所有 $f'(x)=0$ 的点。由于N时一开始任意选取的大整数，我们的结论成立。

定理2的证明：我们的系统由向量场 $X$ 表示，如果 $X_0$ 表示所有的方向是模都是1的向量场，则我们可以用 $X=f X_0$ 来表示向量场 $X$ .上述系统受到了一点点扰动后的新系统的向量场可以用 $f(x)-\epsilon$ 表示。sard定理保证了，我们可以选取任意小的 $\epsilon$ 使得不会有 $x_0$ 使 $f'(x_0)=0$ 并且 $f(x_0)=\epsilon$ .这样，在新系统中，零点是非退化的。用这个方法对所有的奇点进行分析，我们可以选取恰当的足够小的 $\varepsilon$ ，使得新系统在所有的奇点处都是非退化的，于是定理2的结论得到了证明。

关于结构稳定性，概念比较多，需要仔细区分。比如，与拓扑等价很类似的还有下面这个定义。

拓扑共轭：两个向量场 $X$ 和 $Y$ 拓扑共轭是指，存在一个拓扑等价 $h:X\to Y$ (由拓扑等价的定义，这是一个同胚),使得， $hX_t(p)=Y_th(p)$ 对所有的 $p\in M$ 以及 $t\in \Bbb R$ 成立.

如果 $f:X\to X$ 和 $g:Y\to Y$ 是两个同胚（或者要求更高， $C^r$ 微分同胚）.它们被称作拓扑共轭，如果存在空间 $X$ 到空间 $Y$ 的同胚 $h$ ，使得 $h\circ f=g\circ h$ 。

结构稳定性（注意，这是另一组对象的结构稳定性）： $Diff^r(M)$ 是指所有 $M$ 到其自身的 $C^r$ 微分同胚组成的集合，配备以 $C^r$ 拓扑。 $f\in Diff^r(M)$ 被称为结构稳定的，如果存在 $f$ 在 $C^r$ 中的某个邻域 $\mathfrak{U}$ ,使得对任意的 $g\in \mathfrak{U}$ ,都有 $g$ 和 $f$ 是拓扑共轭的。

为了区分和理解众多概念，有很多的例子可供阅读。一个比较有趣的例子是存在两个系统，他们互相拓扑等价，可是一个是结构稳定的，另一个却不是。这个现象的本质其实就是上述定理中提到的有退化奇点的状况发生。

这个例子涉及到下面两个系统，都是在 $R^3$ 中单位球面 $S^2$ 上的向量场.它们都来自[2].为了描述这两个系统，我们先标注 $p_N=(0,0,1)$ 和 $p_S=(0,0,-1)$ 为球面的北极点和南极点。

系统1.向量场 $X_1$ 定义在 $S^2$ 上： $X_1(x,y.z)=(-xz,-yz,x^2+y^2)$ .这个系统是结构稳定的。注意，通过计算，我们可以知道在两极点处 $DX_1$ 作为一个极点处的切空间到自身的线性变换是满秩的。

系统2.系统2是一个很造作的系统，它的构造的人为色彩比较重。

首先定义一个过渡的,在 $\Bbb R^2$ 上的向量场 $\tilde{X}$ 。先定义函数 $f:\Bbb R\to \Bbb R$ 是一个 $C^\infty$ 的函数。它还同时满足几个条件：当 $t\neq 0$ 时， $f(t)>0$ ； $t>1$ 时， $f(t)=1/t$ ; $f(0)=df/dt(0)=\cdots=d^rf/d^rt(0)=\cdots=0$ .注意，这样的函数一般都由基本函数 $g(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, when x\neq 0,g(0)=0$ 变化而来。因为 $g(x)$ 在零点既满足任意次导数为零，同时它又不是解析函数。

向量场 $\tilde{X}$ 定义为

$\tilde{X}: (\cos x,\sin x)\to (rf(r)\cos x,rf(r)\sin x)$ .

令 $\pi:S^2-\{p_\Bbb N\}\to \Bbb R^2$ 为球极平面投影。我们定义 $S^2$ 上的向量场 $X(p)$ ,当 $p\neq p_N$ 的时候， $X(p)=d\pi^{-1}_{\pi(p)}\tilde{X}(\pi(p))$ ； $X(p_N)=0$ .我们看到， $X$ 与 $X_1$ 是拓扑等价的，单位映射就可以作为相应的同胚 $h$ .

我们最后需要证明的是， $X$ 是不满足结构稳定性的。为此，我们将要构造一个与 $X$ 在 $C^r$ 拓扑下足够接近的向量场 $Y$ .在 $Y$ 中，因为拥有闭轨而不与 $X$ 拓扑等价。

类似的，我们先来定义 $\Bbb R^2$ 上的向量场，

$\tilde{Y}(r\cos x,r\sin x)=(rl(r)\cos x+rg(r)\sin x,-rg(r)\cos x+rl(r)\sin x)$ ,

其中的两个实值函数 $l(x)$ 和 $g(x)$ 的定义如下：

$l(0)=l(a)=0;l(t)=1/t, \text{ if } t\geq 1;l(t)<0, \text{ if } 0<t<a;l(t)>0, \text{ if } t>a$

$g(0)=g(t)=0,\text{ if } t\geq c;g(t)>0,\text{ if } 0<t<c;g'(a)=0,g(a)=b$

$S_a$ 表示以原点为圆心，半径为 $a$ 的圆周。它显然是$latex\tilde{Y}$的一个闭轨。因为在这个圆周上， $\tilde{Y}$ 一直与它相切。在半径为1的圆周意外，则有 $\tilde{Y}=\tilde{X}$ .利用同样的球极平面投影，我们定义出 $S^2$ 的向量场 $Y$ .于是，我们通过控制 $a$ 的大小可以让 $Y$ 与 $X$ 在 $C^r$ 拓扑的意义下足够接近。但是，他们显然不是拓扑等价的。

[1] V.I.Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations.

[2] J.Palis and W. de Melo, Geometric Theory of Dynamical Systems

chen01 一维的结构稳定性问题：是一个一维的闭圆。定义这个闭圆每一点的切向量有两个方向，设为正向和负向。于是，一个上的向量场

http://www.liuxiaochuan.org/2011/10/structuralstability.htm

动力系统基本概念：结构稳定性