qm01 qed01 算上delta函數就不是Hilbert 空间了，而是Frechet空间了

来源: marketreflections 于 2011-11-17 15:42:11 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (23743 bytes)

求助】如何理解量子力学的背景空间

作者: 211031947 (站内联系TA) 收录: 2009-08-27 发布: 2009-08-27

 

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我们知道，量子力学的背景空间是希尔伯特空间，不过这部分内容在大学物理教材上介绍的很少，只是简单的说只有利用一定的背景空间，物理理论才能用数学来进行完备的表述。
想请高手指点下，这个空间是否有具体的含义，该如何理解和运用？
应该有的 这个在教材量子场论里面有所论述 可以参考这方面的教材
http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=1479650
貌似学数学系的高等代数（线性代数全是计算，对希尔伯特空间的额学习作用不大）就能初窥门径了……
据小虫所知，今天成熟的量子力学是平直时空中的，而如果背景时空是弯曲时空，量子场论变成弯曲时空量子场论:D
谢谢大家的回复，高手真是多啊。
这里所谓的空间不过是一种数学抽象，希尔伯特空间是指以连续完备的函数
作为基矢所构成的空间。

Last edited by mchenyltan on 2009-8-28 at 10:37 ]
简单的讲，可以理解成多维空间，基矢，类比成坐标轴
高等量子力学有讲，我正在看 呵呵
希尔伯特空间的定义是：满足内积条件和外积条件的线性空间称为希尔伯特空间。
数学上的希尔伯特空间与量子力学中的不完全一样，参考狄拉克的《量子力学原理》
Originally posted by mlcen at 2009-10-4 22
希尔伯特空间的定义是：满足内积条件和外积条件的线性空间称为希尔伯特空间。
再补充一句：内积条件是为了保证基矢的正交，外积条件是为了保证基矢的完备。空间线性是态叠加原理的要求。

Last edited by mlcen on 2009-10-5 at 07:04 ]
薛定谔方程的解构成了无穷维希尔伯特空间，体系的物理状态都由这个空间的函数来描述，类似三维空间的矢量都可以用三个基矢的线性组合表示
Originally posted by mlcen at 2009-10-4 22
希尔伯特空间的定义是：满足内积条件和外积条件的线性空间称为希尔伯特空间。
完备的内积空间就是Hilbert空间，外积只有在李代数中才有。
Originally posted by lpszk at 2009-10-4 22
数学上的希尔伯特空间与量子力学中的不完全一样，参考狄拉克的《量子力学原理》
一样的。
Originally posted by mlcen at 2009-10-4 22

再补充一句：内积条件是为了保证基矢的正交，外积条件是为了保证基矢的完备。空间线性是态叠加原理的要求。

Last edited by mlcen on 2009-10-5 at 07:04 ]
完备和外积没有关系。
Originally posted by forumts at 2009-10-5 15
薛定谔方程的解构成了无穷维希尔伯特空间，体系的物理状态都由这个空间的函数来描述，类似三维空间的矢量都可以用三个基矢的线性组合表示
Hilbert空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
有限维的Hilbert空间按照域的不同，可以分为欧氏空间（实数域）和酉空间（复数域）两种。
Originally posted by mchenyltan at 2009-8-28 10
这里所谓的空间不过是一种数学抽象，希尔伯特空间是指以连续完备的函数
作为基矢所构成的空间。
未必需要“连续”这个条件。

Last edited by lxd_bruce on 2009-10-5 at 16:01 ]
完备和外积没有关系。
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楼上高手，学习了。
1、量子力学教科书中的Hilbert基的完备性就是用基的外积的和式等于1表示的，称为基的完备性条件（我把它叫外积条件），见喀兴林高等量子力学39页3.2式。
2、关于希尔伯特空间的定义（满足内积条件和外积条件的线性空间称为希尔伯特空间），是我根据对量子力学的理解写出来的，其实和你的定义（完备的内积空间就是Hilbert空间）本质上是一样的，但我的定义更物理一些。
3、我印象里李代数中没有“外积”一说，只有张量积，张量积是为了保证李代数的封闭性。李代数是李群的群上子空间，群论也是量子力学的基础之一，我想我应该没有记错。

Last edited by mlcen on 2009-10-5 at 16:40 ]
Hilbert空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
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量子力学教科书确实把Hilbert空间定义成无限维的，虽然自旋空间只有两维，但它只是一个真实系统的子空间而已，其总空间仍然是无限维的。在具体计算中我们可能取有限维Hilbert空间，管它完备不完备，但那只是一种近似处理技巧而已。
Originally posted by lxd_bruce at 2009-10-5 15

完备的内积空间就是Hilbert空间，外积只有在李代数中才有。



一样的。



完备和外积没有关系。



Hilbert空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
有限维的Hilbert空间按照域的不同，可以分为 ...
谢谢，学习了。
Originally posted by lxd_bruce at 2009-10-5 15


数学上的希尔伯特空间与量子力学中的不完全一样，参考狄拉克的《量子力学原理》
一样的。

這個普遍認為是有微小區別的，量子力學里頭的Hilbert space包括了delta函數等不是平方可積的函數，所以比泛函分析里頭的Hilbert space稍微大了一些。
Originally posted by mlcen at 2009-10-5 16

楼上高手，学习了。
1、量子力学教科书中的Hilbert基的完备性就是用基的外积的和式等于1表示的，称为基的完备性条件（我把它叫外积条件），见喀兴林高等量子力学39页3.2式。
2、关于希尔伯特空间的定义（满足内积条件和外积条件的线性空间称为希尔伯特空间），是我根据对量子力学的理解写出来的，其实和你的定义（完备的内积空间就是Hilbert空间）本质上是一样的，但我的定义更物理一些。
3、我印象里李代数中没有“外积”一说，只有张量积，张量积是为了保证李代数的封闭性。李代数是李群的群上子空间，群论也是量子力学的基础之一，我想我应该没有记错。
看来你我的看法应该是一致的，可能是表述方式不同。
1.你说的外积条件应该就是Hilbert空间的帕赛伐等式，这个和完备性等价
2.李代数上的李括号一般可以叫外积。你说的保持李代数封闭性的运算应该是外积的线性扩张。李代数是李群的左不变切矢量场。
Originally posted by iamsad at 2009-10-5 19


這個普遍認為是有微小區別的，量子力學里頭的Hilbert space包括了delta函數等不是平方可積的函數，所以比泛函分析里頭的Hilbert space稍微大了一些。
算上delta函數就不是Hilbert 空间了，而是Frechet空间了。

Last edited by lxd_bruce on 2009-10-5 at 19:46 ]
Originally posted by mlcen at 2009-10-5 17

量子力学教科书确实把Hilbert空间定义成无限维的，虽然自旋空间只有两维，但它只是一个真实系统的子空间而已，其总空间仍然是无限维的。在具体计算中我们可能取有限维Hilbert空间，管它完备不完备，但那只是一种近似处理技巧而已。
量子力学教科书应该没把Hilbert空间定义成无限维的。
有限维的内积空间必然是完备的。
Originally posted by lxd_bruce at 2009-10-5 19
量子力学教科书应该没把Hilbert空间定义成无限维的。
有限维的内积空间必然是完备的。
有限维的内积空间必然是完备的这在数学上讲是没问题的，比如自旋空间就是两维的，它也是完备的。但量子力学常用的表象都是无限维的，比如坐标表象、动量表象、能量表象、角动量表象、粒子数表象都是无限维的，只有自旋表象是有限维的，但自旋空间只是量子系统的一个子空间。
lxd_bruce先生，我还要对您在一篇帖子里说“群论只是量子力学的工具而不是量子力学的基础”提出批评，这句话将误导广大青年学子懒得去学群论。
我们知道量子系统有两个基本属性，一个是态的叠加性，还有一个是量子系统对称性。态的叠加性（加上算符的不对易性）要求我们必须在希尔伯特数学空间描述量子系统，因此线性返函分析作为量子力学的数学基础是必须的。但别忘了自然界的量子系统都是自治系统，必然存在另一个基本属性对称性，对称性的定量描述只能是群论。除非你放弃描述量子系统的对称性，否则你必须学群论。其次，量子系统希尔伯特空间的确定有两种途径，一种是大家熟悉的本征函数法，还有一种就是知道量子系统所属对称群后，通过找寻对称群的不可约表示的基就是Hilbert基，难道这仅仅是一种巧合。再次，如果一个量子系统的哈密算符我们事先不知道，但通过对称性分析我们知道量子系统所属的对称群，我们可以通过对称群生成元的嘉当算子和开西米尔算子来构造量子系统的哈密顿算符，如果还认为有这种高超本事的群论只是一种工具的话，那是对群论的侮辱。第四、量子力学中常用的两种群变换酉群和置换群变换，都能保持Hilbert空间的广义距离不变，用数学的语言称为保范，范数是拓扑的东西，因此量子力学的群论应该属于拓扑群论。第五、如果要进一步研究量子系统的拓扑性质，拓扑学也应该作为量子力学的第三个数学基础，比如我们熟悉的量子系统的贝里相位就是纤维丛空间的和乐，而纤维丛空间的联络就是量子场论中的规范场，纤维丛理论是拓扑学的一个分支，纤维丛空间的底空间就是Hilbert空间，难道这仅仅又是另外一个巧合吗。

Last edited by mlcen on 2009-10-6 at 08:52 ]
Originally posted by mlcen at 2009-10-6 07
lxd_bruce先生，我还要对您在一篇帖子里说“群论只是量子力学的工具而不是量子力学的基础”提出批评，这句话将误导广大青年学子懒得去学群论。
你太高看我的影响力了。
再说，我说的这句话，可没有叫其他人都不去学群论的意思。
只不过，相对于“非相对论量子力学”，群论可能没有线性泛函分析那么基础。
规范场论，不懂李群的理论恐怕不能理解。
Originally posted by lxd_bruce at 2009-10-6 09
你太高看我的影响力了。
再说，我说的这句话，可没有叫其他人都不去学群论的意思。
只不过，相对于“非相对论量子力学”，群论可能没有线性泛函分析那么基础。
规范场论，不懂李群的理论恐怕不能理解。
看看那篇帖子的点击率，你就知道你的影响有多高，你是大家心目中的楷模，虽然你没有直说，但你的话对大家是有暗示作用的。
Originally posted by mlcen at 2009-10-6 09

看看那篇帖子的点击率，你就知道你的影响有多高，你是大家心目中的楷模，虽然你没有直说，但你的话对大家是有暗示作用的。
楷模是绝对当不起的，这里藏龙卧虎，能人甚多。包括兄台你，知识也相当广博。让我敬佩。
我其实没有暗示大家忽视群论的意思，在那个帖子里，有几个细节你可能忽视了，其实我一开始就说群论很重要的。

Last edited by lxd_bruce on 2009-10-6 at 10:07 ]
Originally posted by mlcen at 2009-10-6 07
lxd_bruce先生，我还要对您在一篇帖子里说“群论只是量子力学的工具而不是量子力学的基础”提出批评，这句话将误导广大青年学子懒得去学群论。
我们知道量子系统有两个基本属性，一个是态的叠加性，还有一 ...
佩服。书背的比较熟，优秀的教学型人才。:)
Originally posted by putian at 2009-10-6 12
佩服。书背的比较熟，优秀的教学型人才。:)
谢谢夸奖，我确实在高校教书，偶尔也搞点所谓的科研，呵呵，不过我真的很喜欢物理，因为喜欢，什么都想涉及一下，反而深度不够，这是我最大的缺点。

Last edited by mlcen on 2009-10-6 at 16:09 ]
Originally posted by mlcen at 2009-10-6 07
第四、量子力学中常用的两种群变换酉群和置换群变换，都能保持Hilbert空间的广义距离不变，用数学的语言称为保范，范数是拓扑的东西，因此量子力学的群论应该属于拓扑群论。第五、如果要进一步研究量子系统的拓扑性质，拓扑学也应该作为量子力学的第三个数学基础，比如我们熟悉的量子系统的贝里相位就是纤维丛空间的和乐，而纤维丛空间的联络就是量子场论中的规范场，纤维丛理论是拓扑学的一个分支，纤维丛空间的底空间就是Hilbert空间，难道这仅仅又是另外一个巧合吗。
mlcen兄能展开讲讲不？？不过很难想象懂这些的人会不懂泛函分析。。。
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