qm01 坐标算符在自身表象中就是自身

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第3卷第4期

 

1994年l2月

 

 

常熟高专学报

 

 

Journal of Changshu College

 

 

Vo1．3 No．4

 

 

Dec．1994

 

 

量子力学表象理论之浅见

 

 

凌瑞良

 

 

{

 

 

摘要 本文在普通量子力学表gnt~ ,9基础上，分别以一维谐振子的基态波函数和

 

哈密顿算符 为例，进一步讨论了波函数和力学量算符的形式与表象的关系。得出的结论是：

 

 

①波函数的具体形式跟表象有关，而与表象的基矢表述方式无关．@任何力学量算符￡在F

 

 

表象中的表示(L )与基矢的表述方式无关。

 

 

关键词 表象，希尔伯特空间，期望值，基态，哈密顿算符 号 -力 汞l皖

 

 

表象理论是量子力学中极为重要的内容。本人在学习、研究该部分理论中，看到了一些有

 

意义的问题，现结合自己的浅见把它们写上，以求得同志们的指教。

 

 

表象的基本概念

 

 

在普通的几何空间中，如果我们选定一个笛卡儿坐标系，则空间任一矢量就可以用它在该

 

坐标系中的三个分量，即该矢量与坐标系的三个正交完备基矢(i、j、k)的标积来表示，并可写

 

成

 

 

A — A， + ^，J+ A k (1一1)

 

 

其中

 

 

A 一A ·i1

 

 

一 一

 

l

A = A ·J (1— 2)

 

一 ．

 

J

形式上与此相似，在量子力学中，体系的任何一量子态 亦可以看成抽象的线性态空间的一个

 

矢量—— 态矢量(这实为量子力学公理性假设之一)[”。由力学量算符的线性厄米特征可知，体

 

系的任一组力学量完全集F的共同本征态 或l张> (简写成l k> ， 表示一组量子数，为明确

 

起见，这里仅以分立谱为倒，连续谱是一种自然推广)就可以用来构成上述态空间的一组正

 

交，归一完备的基矢，即

 

< 毋l张>一 (1—3)

 

丫

 

1、、J

 

● J r J c

 

18 常熟高专学报(自然科学版) 1994拄

 

Σ I竹>< I=1 (1—4)

 

^

 

量子力学中把描述态矢量的基矢(坐标系)称为表象，以力学量的完全集F的共同本征态I >

 

为基矢的表象就称作为F表象。于是．按态的叠加原理．体系的任一状态 就可以用这种表象

 

的基矢来展开

 

一

 

Σ 体 (1—5)

^

 

如采用文献中常用的狄拉克符号．上式可写成

 

I >=Σ I >一ΣC Ik> (1—5 )

 

I I

 

由基矢的正交归一性易知

 

=

 

< kI > (1—6)

表示态I > 在基矢Ik> 方向上的分量．而按上式所决定的数列(c 、C：、⋯⋯ ⋯就称为

 

态矢量I > 在F表象的表示。之所以这样讲，是因为IC·I 表示在I > 态中测量力学量F时

 

能得到n 值的几率，知道了(c．、C ⋯⋯ ⋯就等于知道了在I > 态中测量力学量F得到

 

各种可能值的几率分布。这点，正是我们研究渡函数时最感 趣的。 ‘

 

象三维空间矢量一样，有时我们亦可把态I >衽F表象中的表示直接写成一列矩阵形

 

式，并用 标记：

 

=

 

C1

 

C：

 

●

 

：

 

C

 

●

 

：

 

(1— 7)

 

的共轭矩阵是一个行矩阵，用 标记：

 

一

 

(C 、C ⋯C ⋯) (1— 8)

归一化条件为

 

= 1 (1— 9)

 

这里有几点必须注意：① “态矢量 一般是复量，而普通几何空问中的矢量一般是实量。②普通

 

几何中所论空问是三维的．而这里的态空问可以是无穷维函数空间，有时维数甚至是不可数的

 

(如连续谱情况)．这种空间在移学中称为希尔伯特(Hilbert)空间。③ 所谓体系的任一状态可

 

用组成体系的某一力学量完全集 的本征笋表示，仅是指体系的任一状态由I >在Hilbert空

 

间中的方向决定．而与它的值无关。体系任一状态的值还得有通常的归一化条件< I > = 1

 

限定伽。

 

二．波函数形式与表象的关系

 

1．波函数形式与表象的选取有关

 

根据量子力学态的表象概念，体系的任一状态可以表示为组成体系的某一力学量完全集

 

的正交、完备、归一的本征态(基矢)所张的希尔伯特空间中的一个矢量。然而．我们知道．组成

 

第4期 凌瑞良：量子力学表象理论之浅见 19

 

体系的力学量完全集不是唯一的，故与此相应，表象的选择也不是唯一的。常用的表象除坐标

 

表象外。还有动量表象、能量表象和角动量表象。

 

例如·一维谐振子基态波函数(n一0) 既可以采用坐标表象，也可以采用动量表象或自

 

身(能量)表象。

 

在坐标表象中 ，

 

{ (一∞ < lT< 。。) (2～l1

 

其中a一／ ，这是一个定态，渡函数中没有写上时间因子 — 。其实，这是我们所熟知的形

 

式。

 

在动量表象

 

C(户)一广 。) )出

 

一

 

／詈 。

一— 一 (2- 2)

 

意 2口

 

(详解过程请见附录r)。

 

在自身(能量)表象中

 

C 一l (x)C,o(x)dx—d (2—3)

 

故一维谐振子基态渡函数在自身表象中可以表示为

 

1

 

0

 

O

 

(2— 3 )

 

【i J

 

由此可见，同一状态的波函数确实可用不同的表象来表示，然而，由于表象选取不同．渡函

 

数的形式将是不同的 一句话，波函数的具体形式跟表象有关。

 

2．波函数的形式与表象基矢的表述方式无关

 

以上我们以一维谐振子基态波函数为饲讨论了其在坐标、动量、能量三表象中的具体形

 

式。有一点必须明确指出，讨论时我们尽管采用了三种不同的表象，但三种表象仍保持着一个

 

共同点．即三种不同表象的基矢都采用了坐标(-T)表象。事实上，就是选定了具体表象，表象其

 

基矢本身还有一个表象问题，即表象的基矢本身仍可以有许多种表述方式。既然如此，自然就

 

产生一个问题：体系任一状态的波函数形式与表象基矢的表述方式有没有关系呢?这个问题有

 

待进一步探讨、研究。

 

当我们说及F表象时，我们着重指出的只是把任一态矢J > 用F的戈同本征矢J > 为

 

基矢来展开

 

l >一Σ l > (2～4)

 

常熟高专学报(自然科学敝)

 

如前所述，其中展开系数C。一< J > 是态J > 在基矢J > 方向上的分量，分量的全体

 

(c．、C ，⋯⋯ ⋯称为态矢I > 在F表象的表示。要注意的是(2—4)式中基矢只是以矢量

 

形式表述，并未对基矢使用表象， 基矢确实亦可以在某一特定的表象中表述，然而，可以证明，

 

用哪种方式来表述基矢是无关紧要的。

 

倒如，前述一维谐振子基态，当选定动量表象时，则

 

J >= Ic( )J > dp (2—5)

 

J

 

若以< J左乘等式两边，则有

 

< J >= ( )一Ic( ) (x)dp (2—6)

 

这就相当于动量表象的基矢J > 选取坐标表象表述。于是有

 

C(户)一l ( ) ( ) ’

 

一— · e一

 

南(2-7)

亢 ／2

 

(详见附录I)。

 

若以< P 】左乘(2—5)式两边，则有

 

<P，l 一 ( )=l C(户)<P l户>dp

 

一

 

{C(户) ( 一p)dp (2-8)

这就相当于动量表象的基矢lP> 选取自身(动量)表象表述。于是有

 

C(户)=1 (户 一户) (户 )dp

 

．

 

一

 

(户)一—兰·P一南(2-9)

危

 

比较(2-7)-~(2—9)两式，可知，不管动量表象的基矢采用何种表述，一维谐振子基态波函数

 

形式是相同的，也就是说，渡函数形式只与具体的表象有关，而与表象的基矢表述方式无关。此

 

结论虽从特倒推出，但是普遍正确的。

 

三．力学量算符的形式与表象的关系

 

1．坐标表象中X==x，P一一i h 是怎样来的

 

考虑到力学量算符的表象变换一般都要涉及到坐标和动量这两个基本算符，故我们有必

 

要先对它们作一认识。

 

如体系的状态渡函数用坐标表象表示，则根据波函数的统计解释可知，J ( )f 就表

 

示体系的坐标出现在x——x+dx范围内的几率。如再联系概率统计中期望值的概念-体系

 

坐标的统计平均值就可表为

 

第4期 凌瑞良：量子力学表象理论之浅见 21

 

X — IXI妒(x)l X

 

一

 

1 ’(x)x (x)dx (3—1)

可见，坐标算符在自身表象中就是自身，即

 

^

 

X — X

 

同理，体系的动量统计平均值可表为

 

户一l户I妒(户)I d户

 

一

 

l妒 (户)p (户)dp (3—2)

不过要注意，上式中体系波函数是采用动量表象。如同样采用坐标表象，则上式应改写成

 

；一 ；d d ’( ) ， ( 暑

 

一

 

d ( Ci Ve拼 妒(曼)

对x进行分部积分，并利用 (x)在边界上(+oo)为0的条件，可得

 

；= d ei—p．x'l~[一f^ 妒( 莉

 

=

 

ldX，dx妒 (x，)C-’ V妒(x))a(x-X )

=

 

JdX 妒 (x，)(一i^ )妒(x )

去掉擞，有

 

户一J ‘( )(一i^xY]@(X)dX (3—3)

 

(3—3)式表明；如体系波函数仍保持坐标表象形式，则求动量统计平均值时，动量p就得换成

 

^

 

“

 

-

 

i h 的形式。这就是坐标表象中算符P一-i h 的由来

采用同样的方式，不难证得在动量表象中有x— i hV ，p— p。

 

可见，在不同的表象，力学量的算符表示是不一样的，一般来说，力学量在自身表象是一个

 

“C”数，在其他表象则是一个“Q 数。

 

2． 在，表象中的表示(工 )与基矢的表述方式无关

 

不失一般性，根据表象变换理论，任何力学量算符L在F表象中可用一方阵来表示：

 

L 一(工 ) (3— 4)

 

式中矩阵元I 一< fLf鼽>亦是由F表象的基矢所完全决定的，与基矢是否采用表象或采

 

用何种表象无关。

 

例如

 

22 常熟高专学报(自然科学版) 1994年

 

=

 

f (x)x (x)d

： —

 

I t f hP t} d ‘

2 J

 

一

 

孚 如

一一

 

f 嘶一p) (3—5)

x 。一J ( 一 )( 赤 ( 一 )咖

 

一一

 

( — P )

= 一

 

( 一 (3- 6)

其中用到公式』 (勘一 )f(x~)dxo=一等 。 、

 

(3-5)~(3-6)两式都代表x在动量表象中的矩阵无．所不同的仅仅是(3-5)式中动量表象

 

的基矢是在坐标表象中表示I(3—6)式中的动量基矢是在自身表象中表示，计算的结果表得很

 

明确，两者是等价的。

 

又比如

 

， =

 

』 ( )￡。一f嚷) 。)dx (3-7)

与

 

—

 

(p一 2( )坳～ )dp (3—8)

都代表任何算符￡在动量表象中的矩阵无，所不同的仅是(3—7)式中动量表象基矢是在坐标

 

表象表示，而(3—8)式中动量表象基矢是在自身表象表示。同样可以证明两者是等价的 下面

 

让我们以谐振子哈密顿算符 来说明之。

 

揩振子哈密顿算符 在坐标和动量表象中的表示分别为

 

☆=一笔 +吉 cs一。

 

☆一 一号 要 (s一 o)

 

现将(3—7)、(3—8)两式中的￡均换成☆，即将(3—9)、(3一lo)分别代入(3—7)、(3—8)式，

 

并注意到筇( ) 士 一 ，讳( =— 一e ，则通过计算。两式均可得到

 

2 氕 ~／2 意

 

日 = ( 一 ) 一 1

 

a- ~o‘(p 一 ) (3一l1)

 

可 ．．(3-7)、(3-8)两式确是等价的(详见附录I)。

 

第4期 凌瑞良：量子力学表象理论之浅见

 

于是

 

附录I

 

一维i旨振子基太渡函 - 0) = e斗 。按动量本征态展开有

 

=

 

』 ⋯一 ( )一

c(p)=』： r)~o dx

 

V 2

 

V 2 一

 

f曲 一号 一

 

r J e一 。(c0s丝一i sin丝)出

 

一∞

 

意

一

 

／2a I 一} ，cos塑dx

V 惠一 0J o 意

 

(第二项被积函数为奇函．故结果为零)利用积分公式

 

e-~Z~cos 出一 cn> 。

 

L

 

今n：=专 ．6=譬．则

 

故最后得

 

e一{ c。s等^ 出=vV ／号z ·丢。 · 一

 

c c 愿

 

=

 

』 ～ 未 1 。

=

 

f e-iFx／~(一篆导 1⋯一

+』 号

 

一

 

f 饥+

+专 』 一⋯出

 

妻

 

1 一

 

志

24 常熟高专学报(自然科学版) 1994年

 

=

 

pi 2 一

 

户卜{ 』岳 e-,tt,-／)z／~d

—

 

P

 

2-

 

~jd(p 一户)一专 铲d(p 一p)

H 一 ( 一 1 岳 叫)dp

 

=

 

( )篆 p )dp”一 )吉 —p’')dp

=

 

( 一p)一吉 ^ 』 (p—p ) (户 一户 )却

=

 

d(p 一p)．吉 d(p 一p)

其中用到公式

 

』[ ( 一 )]f(xo)dxo=(一 髫”。

 

参考文献

 

[13林仁明．物理．1982~4f250—253

 

[2】华东师范大学物理系．高等量子力学．1985

 

[3]曾谨言．量子力学(／-册)．北京；科学出版社，1982t 625

 

A Superficial View on the Theory of Quantum

 

M echanics Representatj0n

 

Ling Ruiliang

 

Abstract 0n the 目 0f the the。ry o geⅡeraI quantom mechanics presentation．the author

 

in this paper further discusses the relationships between forms and representations of wBVe function and me—

 

ehan~al quanity ope rator in the light of ground state wave Kmetion of 1——harmonic oscillator and I-hmilton

 

operator H respectively．And the author has reached the following eonclusions．Firstly，the concrete form of

 

Wfive f~netion ha8 something to do with {epreBentatlon while it has gothing to do-~ith the de8crtpt ve way of

 

base vector representation．And secondly，(L )of~epresentat[on F of any mechanical qua]ity ope rator L has

 

nothing to do with the descriptive way of base vector·

 

Key words representat[on，Hilhert space，expectat nⅧ_lue，ground state，Hamihonian op—

 

erator

 

(责任编辑 忡嘉霖)