qm01 用动量为变量描述波函数

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第四章 态和力学量的表象

• 量子态的不同表象
• 力学量算符的矩阵表示
• 量子力学公式的矩阵表示

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表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象

4.1 态的表象

一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r, t)来描述， 将ψ(r, t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。

c(p, t)为展开系数， ψ_^p(x )是动量的本征函数

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c(p, t)和(r, t)描述的是粒子态同一个状态，(r, t) 是这个状态在坐标表象中的波函数，而c(p, t)为同一状态在动量表象中的波函数。

表示在

所描写的态中测量粒子动量所

结果在 范围内的几率

如果(x,t)描述的状态是具有动量p的自由粒子的状态

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在动量表象中，具有确定动量p 的粒子波函数是 函数。

同样，在坐标表象中，具有确定坐标x 的粒子波函数也是 函数。

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解：首先对波函数进行归一化

例题：一维粒子运动的状态是

求：（1）粒子动量的几率分布；

（2）粒子的平均动量

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动量的几率分布为

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动量的平均值为

另一种解法

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考虑任意力学量Q本征值为_¹,  _²,…,  _ⁿ…,对应的本征函数 u_¹(x), u _² (x),… u _ⁿ (x) …, 则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为

如果（x）和u_ⁿ (x) 都是归一化的，则

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所以

在（x）所描写的量子态中测量力学量Q所得的结果为Q_ⁿ的几率

数列

就是（x）所描写的量子态中在Q表象中的表示

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共轭转置矩阵

波函数的归一化表示成

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如果力学量Q除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则

其中

归一化可表示为

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直角坐标系中，矢量A的方向由i, j, k三个单位矢量基矢决定，大小由A_^x, A_^y, A_^z三个分量（基矢的系数）决定。

在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u_¹(x), u_²(x),… u_ⁿ(x),…看作一组基矢，有无限多个，大小由a_¹(t), a_²(t), …a_ⁿ(t),…系数决定。

常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.

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例 质量为m的粒子在均匀力场V(x)＝Fx (F>0)中运动，试在动量表象中粒子的波函数。

解：

在动量表象中，坐标x的算符表示为

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定态的薛定谔方程

动量表象中粒子的函数

变到坐标表象中，则波函数为

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其中

（Ariy 函数）

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4. 2 算符的矩阵表示

在Q表象中，Q的本征值分别为Q_¹，Q_²，Q_³，…Q_ⁿ…, 对应的本征函数分别为u_¹(x), u_²(x),… u_ⁿ(x),….

将(x,t)和 (x,t)分别在Q表象中按Q的本征函数展开

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两边同乘以 ,并在整个空间积分

利用本征函数u_ⁿ(x)的正交性

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引进记号

这就是

在Q表项中的表述方式

表示成矩阵的形式：

得

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矩阵F_^nm的共轭矩阵表示为

因为量子力学中的算符都是厄米算符，

即

将满足该式的矩阵称为厄密矩阵

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若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵

F_^nm的转置矩阵为

根据厄密矩阵的定义

所以

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例 求一维无限深势阱中（宽度为a）粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元

解：在能量表象中

能量的本征值及本征函数为

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Q在自身表象中的矩阵元

Q_^m为Q在自身空间中的的本征值

结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

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如x在坐标空间中可表示为

动量p在动量空间中表示为

一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

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如果Q只具有连续分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一个矩阵：

这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示

在动量表象中，算符F的矩阵元为：

其中ψ_^p(x )是动量的本征函数

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4.3 量子力学公式的矩阵表述

1. 平均值公式

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写成矩阵形式

简写为

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2. 本征值方程

在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。

首先，算符F的本征函数满足

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有非零解的条件是其系数行列式为零

这是一个线性齐次代数方程组

这是一个久期（secular）方程。将有_¹， _² …. _ⁿ n个解，就是F的本征值。

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3. 矩阵形式的薛定谔方程

薛定谔方程

不显含时间的波函数的能量表象

波函数根据哈密顿本征函数展开

代入薛定谔方程

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两边同乘以

并积分

简写为

H,  均为矩阵元。

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例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

线性谐振子的总能量为

解法一：在动量表象中，x的算符表示为：

则H算符表示为

定态的薛定谔方程写为

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c(p)是动量表象中的本征函数

仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。

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例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为：

求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化

解：设 的本征态为

其本征方程为：

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即

分别有

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欲求 的非零解，其系数行列式为零：

得

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是 的本征值

把解得的值代入本征方程，可以得到a_¹，a_²，a_³值

本征态为

本征态为

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本征态为

矩阵 对角化矩阵为

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习题：第130页

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