qm01 波函数 Ψ( r ,t) 是粒子的量子态在坐标表象中的描述 ;而 C( p , t) 则是量子态在动量表象中的描述.

波函数 Ψ( r ,t) 是粒子的量子态在坐标表象中的描述 ;

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2010 年 2 月

吉林师范大学学报(自然科学版)

№. 1

第 1 期

Journal of Jilin Normal University (Natural Science Edition)

Feb. 2010

收稿日期 :2009212205 基金项目 :山东省自然科学基金项目( Y2008A16) ,菏泽学院自然科学基金项目(XY09WL01)

第一作者简介 :王保松(19792) ,男 ,山东曹县人 ,现为菏泽学院物理系讲师 ,硕士. 研究方向 :理论分析计算.

量子力学中的傅立叶变换算符

王保松 ,张丙云

(菏泽学院　物理系 ,山东　菏泽 274015)

摘　要 :利用坐标、动量本征态和相干态构造了三种不对称投影算符 ,并利用 IWOP 技术证明了这三种投影算

符就是量子力学中的傅立叶变换算符. 该算符可以实现坐标与动量本征态之间的傅立叶变换 ,以及坐标与动量

算符之间的幺正变换.

关键词 :傅立叶变换算符 ;量子力学表象 ; IWOP 技术

中图分类号 :O413. 1 文献标识码 :A 文章编号 :1674238732(2010) 0120083203

坐标、动量表象和相干态表象是非常重要的量子力学表象 ,在量子力学领域有着重要应用[123] . 基于坐

标与动量本征态之间的傅立叶变换 ,本文利用坐标、动量本征态和相干态构造如下三种不对称投影算符

F^= ∫

∞

- ∞

dx| x〉〈p| p = x , F^= ∫

∞

- ∞

dp| p〉〈x| x = - p , F^= ∫d2

z

π

| - iz〉〈z|

(1)

对于式(1) 中的第一式 ,文献[4]利用有序算符内的积分技术( IWOP) 给出了该算符的显式. IWOP 技术[5]在

构建新的量子力学表象以及不对称积分型投影算符的量子计算方面 ,有着重要应用[628] . 受此启发 ,本文利

用 IWOP 技术进而对式(1) 中的第二和第三式进行积分 ,给出它们的显式. 然后讨论式(1) 所给出算符的量

子性质及其幺正变换 ,并与坐标和动量本征态之间的傅立叶变换进行比较.

1 坐标与动量本征态构造傅立叶变换算符

在量子力学中 ,粒子的量子态用波函数描述. 波函数 Ψ( r ,t) 是粒子的量子态在坐标表象中的描述 ;

而 C( p , t) 则是量子态在动量表象中的描述. 波函数 Ψ( r , t) 和 C( p , t) 是同一量子态在两种不同表象中

的不同表示 ,完全等价[1] . 它们以傅立叶变换相联系

Ψ( r , t) =

1

(2πh

—) 1/ 2 ∫

∞

- ∞

C( p , t) e

i

h—pxd p

(2)

其逆傅立叶变换为

C( p , t)

1

(2πh

—) 1/ 2 ∫

∞

- ∞

Ψ( r , t) e

-

i

h—pxd r

(3)

根据 Dirac 符号法[9] ,由以上两式可得坐标与动量本征态之间的傅立叶变换为[2]

| x〉=

1

2πh

— ∫

∞

- ∞

e

-

i

h—px| p〉dp

(4)

| p〉=

1

2πh

— ∫

∞

- ∞

e

-

i

h—px| x〉dx

(5)

基于坐标与动量本征态之间的傅立叶变换 ,引入量子力学中的一个傅立叶变换算符 F

^

,可以把式(4) 和(5)

写成更为简捷的形式. 坐标、动量本征态在 Fock 表象中的展开式为

| x〉= (

1

π

) 1/ 4exp ( -

1

2

x

2 + 2 x a^+ -

a^+

2

2

) | 0〉

(6)

| P〉=π- 1/ 4exp ( -

1

2

p

2 + 2 ip a^+ +

a^+

2

2

) | 0〉

(7)

・

38

・

---

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上式中已取自然单位 m =ω= h

— = 1. 由式(6) 和(7) 代入式(1) ,并利用 IWOP 技术和真空投影算符的正规

乘积形式| 0〉〈0| = :e

- a^+

a^

: ,得

F

^

= ∫

∞

- ∞

dx| x〉〈p| p = x =

1

π∫

∞

- ∞

dx :exp[ - x

2 + 2 ( a^+ - i a^) x +

a^2 - a^+

2

2

- a^+

a^ :]

= :exp ( - [ i + 1) a^+

a^] : = exp ( - i

π

2

N

^

)

(8)

式中 N^= a^+

a^为粒子数算符 ,以上还利用的公式 e

λa^+

a^= :exp[(e

λ

- 1) a^+

a^] :. 式 (8) 就是文献[4]利用坐

标、动量本征态构造的式(1) 中第一个不对称投影算符的显式.

我们也可以构造如式(1) 中所示的第二种形式 ,来表示傅立叶变换算符 F

^

. 利用 IWOP 技术 ,把式 (6)

和(7) 代入式(1) 的第二式 ,可得

∫

∞

- ∞

dp| p〉〈x| x = - p =

1

π∫

∞

- ∞

dp :exp[ - p

2 + 2 (ia^+ - a^) p +

a^+

2

- a^2

2

- a^+

a^ :]

= :exp ( - [ i + 1) a^+

a^] : = exp ( - i

π

2

N

^

) = F

^

(9)

可见 ,由坐标和动量本征态所构造的这两种不对称投影算符的显式完全一致. 下面 ,我们证明这一算符也

可以由相干态表象来表示.

2 相干态构造傅立叶变换算符

相干态也是量子力学中的一个重要量子态 ,尤其在量子光学领域中有着重要的应用. 在很多情况下 ,

相干态常采用以下正则形式

| z〉= | p,x〉= e

i(p^x^- x^p^)

| 0〉= exp[ -

1

4

( p2 + x

2) +

1

2

( x + ip) a^+

]| 0〉

(10)

式中 z =

x + ip

2

. 基于相干态正则表示 ,构造另如下量子态

| - iz〉= exp[ -

1

4

( p2 + x

2) +

1

2

( p - ix) a^+

]| 0〉

(11)

把式(10) 和(11) 代入式(1) ,并利用 IWOP 技术 ,得

∫d2

z

π

| - iz〉〈z| = ∫∫dxdp

2π :exp[ -

1

2

( p2 + x

2) +

1

2

( p - ix) a^+ +

1

2

( x + ip) a^ - a^+

a^] :

= :exp ( - [ i + 1) a^+

a^] : = exp ( - i

π

2

N

^

) = F

^

(12)

与式(8) 和(9) 比较可知 ,傅立叶变换算符也可以相干态表象来表示. 下面 ,具体讨论傅立叶变换算符的量

子性质.

3 傅立叶变换算符的量子性质

以上结果表明 ,利用 IWOP 技术所得不对称积分型投影算符的显式 ,自然满足关系 F

^

F

^+ = F

^ +

F^= 1 ,

故 F^是一量子幺正算符. 下面以一个量子谐振子系统为例 ,研究它的量子性质及其幺正变换关系. 在量子

谐振子系统中 ,坐标算符、动量算符与产生算符、湮灭算符的关系分别为

x^= a^+ + a^

2

, p^ =

i(a^+ - a^)

2

(13)

式中产生算符与湮灭算符满足对易关系[ a^+

, a^] = 1. 利用 Baker2Hausdorf 算符恒等式

e

A^

Be

- A^

= B^+ [ A

^

, B

^

] +

1

2

[ A

^

,[A

^

, B

^

]] + …

(14)

可得傅立叶变换算符 F

^

对产生算符与湮灭算符幺正变换为

F

^

a^F

^- 1 = ia^ , F

^

a^+

F

^ - 1 = - ia^ +

(15)

利用式(13) 2(15) ,可得算符 F^对坐标和动量算符幺正变换为

・

48

・

---

Page 3

F

^

x

^

F

^- 1 = - p

^

, F

^

p

^

F

^- 1 = x

^

(16)

所以 ,傅立叶变换算符 F^就是导出 x^ ∴p^变换的量子幺正变换算符. 当 F^作用于坐标和动量本征态时 ,有以

下幺正变换

F

^ - 1| q〉= e

i

π

2

a^+

a^| q〉= | p〉p = q

(17)

F^| p〉= e

- i

π

2

a^+

a^| p〉= | q〉p = q

(18)

即 ,当傅立叶变换算符 F^作用于坐标本征态 ,可得数值相同的动量本征态;当 F

^ - 1作用于动量本征态 ,可得

可得数值相同的坐标本征态. 这一结果与式(4) 和(5) 比较发现 ,算符 F

^

确实就是坐标与动量本征态之间的

傅立叶变换算符 ,它是一量子幺正算符.

另外 ,当傅立叶变换算符 F^作用于相干态时 ,可得

F^| z〉= e

- i

π

2

a^+

a^exp[ -

1

4

( p2 + x

2) +

1

2

( x + ip) a^+

]| 0〉

(19)

利用式(15) ,对式(19) 进行化简 ,得

F^| z〉= exp[ -

1

4

( p2 + x

2) +

1

2

( p - ix) a^+

]| 0〉= | iz〉

(20)

可见 ,傅立叶变换算符 F^作用于相干态所得量子态就是式(11) .

4 结论

基于量子力学中的坐标与动量本征态之间的傅立叶变换 ,本文利用坐标、动量本征态和相干态构造了

三种不对称投影算符 ,并由 IWOP 技术给出了的这三种不对称投影算符的显式. 结果表明 :由坐标、动量本

征态和相干态构造的这三种不对称投影算符是一个量子幺正算符 ,可以实现坐标与动量算符之间的幺正

变换. 并且与坐标和动量本征态之间的傅立叶变换比较发现 ,这一算符就是量子力学中的傅立叶变换算

符 ,可以实现坐标与动量本征态之间的傅立叶变换. 另外 ,本文推导过程简捷易懂 ,对量子力学的教学研究

具有一定的参考价值.

参　考　文　献

[1]周世勋. 量子力学教程[M]. 北京 :高等教育出版社 ,1979.

[2]曾谨言. 量子力学(卷 Ⅰ) [M]. 北京 :科学出版社 ,2000.

[3]喀兴林. 高等量子力学[M]. 北京 :高等教育出版社 ,1999.

[4]范洪义. 量子力学表象与变换论[M]. 上海 :上海科学技术出版社 ,1997.

[5]张丙云 ,夏继周 ,刘红艳. 不变本征算符法求解三模坐标2动量耦合量子谐振子的能级间隔[J ] . 吉林师范大学学报 ,2009 ,30(1) :41～42.

[6]范洪义. 量子力学纠缠态表象[J ] . 大学物理 ,2003 ,22(5) :13～14.

[7]王　帅. 利用 IWOP 积分技术证明粒子数平移态的过完备性[J ] . 大学物理 ,2008 ,27(7) :1～2.

[8]范洪义. 量子力学数理基础进展[M]. 合肥 :中国科学技术大学出版社 ,2008.

[9]Dirac P. A. M. Recollections of an exciting area :History of 20th Century Physics[M]. New York :Academic Press ,1977.

Fourier Transform Operator between the Coordinate and Momentum Eigenstates

WANG Bao2song , ZHANG Bing2yun

(Department of Physics ,Heze University ,Heze 274015 ,China)

Abstract :Three non2symmetric projective operators were made by coordinate ,momentum eigenstates and coherent

states.By IWOP technology ,three non2symmetric projective operators were the same Fourier transform operator. This

operator could realize the Fourier transform between the coordinate and momentum eigenstates ,and the unitary transfor2

mation between the coordinate and momentum operators.

Key words :Fourier transform operator ;quantum mechanics representations ; IWOP technology

・

58

・

而 C( p , t) 则是量子态在动量表象中的描述.