diffgeom01 对偶曲率瞬息差 2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处

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微分几何杂谈（相对论科普）

时间:2011-05-05 17:54来源:未知 作者:admin 点击: 174 次
最外行的人看到 "测地线 "一词,就猜想几何学起源于丈量大地，正如文身业起源于岳飞的母亲，说法有点牵强，但大地与几何学的关系，肯定是非比寻常。

第七章 微分几何杂谈
（1）
最外行的人看到 "测地线 "一词,就猜想几何学起源于丈量大地，正如文身业起源于岳飞的母亲，说法有点牵强，但大地与几何学的关系，肯定是非比寻常。当人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。真正研究极小曲面的人，才能在这个问题上有发言权。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理上，人们把这个相关的问题称为“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机。
古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他可能知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相是这样的：我们居住在一个球面之上。
事后诸葛，人类的武断让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，于是我们得到chern示性类。
杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。
"天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话: "我死了 "。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情*，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。
高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫 "高斯绝妙定理 ",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。
黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。
嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。
陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。
（2）
陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。
他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻：
“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。 ”
早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962 年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose )用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面。penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的认识来说，dirac方程的解就是一种旋量。但在4维，最小的旋量是2维的,这就是中微子。如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方。如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方。没有问题,在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量，却要考虑到它的整体拓扑性质。
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