谈论这个话题之前，先申明两点：
1）凡是跟季兄有真正分歧的地方，均以季兄说的为准。
2）由于我编辑公式比较麻烦，许多分歧其实是表面上的，没有说清楚。
3）我发此贴的目的，是试图在物理的角度与数学的角度搭建一座理解的桥梁。我的论述，跟一些物理学中的微分几何教材是一致的。

一、预备
直接说协变矢量、逆变矢量，似乎不太合适，因为同一个矢量R，既可以用基向量e_i展开，也可以用对偶基向量e^i（对偶基又叫作共轭基）展开：
R＝R^ie_i=R_ie^i （重复指标按照爱因斯坦求和指标求和）
其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。因此下面只谈论逆变分量和协变分量。对于N维欧几里德空间，在笛卡尔直角坐标系中，无需区分基向量和对偶基向量，此时矢量的逆变分量和协变分量没有分别。从另一个角度看，此时用来升降指标的度规张量，即是Dirac的δ_ij函数（i,j=1,2,3,...N）
我们通常说的高阶张量，其实也是张量的某一个分量，而张量的完整形式，也是用张量基展开，一个(m, n)型的张量（m个逆变分量指标，n个协变分量指标），用来展开它的张量基对应m个基向量e_i和n个对偶基向量e^j的张量积。用d表示偏微分符号，现在微分几何中，通常分别用e_i＝d/dx^i和e^j＝dx^j来表示基向量和对偶基向量。

关于协变和逆变分量这种称呼的来源：设M是变换矩阵，N是M的逆矩阵，在基矢变换e→f=Me下
矢量分量r变换为：r→r'=Mr
而矢量分量s变换为：s→s'=Ns
则矢量分量r和矢量分量s分别是“协变”和“逆变”的矢量分量。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-30 18:38 编辑 ]

二、对偶的相互性
在“协变矢量与逆变矢量”那栋楼里面，我直接接着季兄的6楼来说事儿：
对于线性泛函f(v)=f_iv^i，利用基向量e_i和对偶基向量ω^i（对偶基表达符号跟季兄的不同）之间满足的关系：ω^j(e_i)=δ_ij，有
f(v)=f_i v^i＝(f_jω^j)(v^ie_i)
这样，对于向量空间V中的矢量v=v^ie_i，我们可以把f=f_jω^j看作是V的对偶空间V*中的向量。数学书上喜欢把线性函数（泛函）f(v)看作是对偶空间V*中的向量，因为全体线性泛函f,g等等在运算
(f+g)(v)=f(v)+g(v)
(αf)(v)=αf(v)
仍然构成体K上的向量空间，其中α∈K。但是在实际应用中，一旦f(v)=(v, f)代表内积运算，扮演对偶空间V*中向量角色的，更是f(v)=f_i v^i＝(f_jω^j)(v^ie_i)中的f=f_jω^j。

对于线性泛函f(v)=(v, f)，对于每个固定的f∈V*，f(v)=(v, f)是向量空间V上的线性泛函；对于每个固定的v∈V，f(v)=(v, f)是向量空间V*上的线性泛函。因此，对偶是相互的。然而，我们是把v=v^ie_i，而不是f(v)=(v, f)，看作是向量空间V中的矢量。同理，一种更便于应用和理解的方式，就是把f=f_jω^j，而不是f(v)=(v, f)，看作是向量空间V*中的向量。

复空间中，内积是一个半线性，而 f(v) 这种配对显然对两个对象都是线性的，它们怎么可能是同一个概念？

三、物理上的实例

在固体物理中，晶体格点原胞基矢是位置空间中的基向量，与之对偶的基向量是倒格子空间中的基向量，这是波数矢量（即动量矢量）空间中的基向量。另一方面，前面提到过，用d表示偏微分符号，现在微分几何中，通常分别用e_i＝d/dx^i和e^j＝dx^j来表示基向量和对偶基向量。学过量子力学的知道，d/dx^i与动量算符对应（相差常数因子），如果把e^j＝dx^j对应位置空间基向量，这两个例子给人这种感觉：从向量空间到它的对偶空间，例子之一就是从位置空间到动量空间，相应的基向量与对偶基向量可能方向不同，量纲也不同。此时，空间与它的对偶空间有着本质的不同。对于一个物理系统S，它的广义坐标构成位形空间M，M上的余切丛即是系统S的相空间。我们知道，相空间是位形空间（即M)与动量空间的直积空间。这跟这样的事实是相符的：广义动量是M上的协变向量，而余切空间是协变向量空间（余切丛则是位形空间M与余切空间的直积空间）。

前面还提到过，同一个矢量R，既可以用基向量e_i展开，也可以用对偶基向量e^i展开：R＝R^ie_i=R_ie^i，其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。对于四维时空位置矢量，逆变矢量X^μ＝(t,x)，而协变矢量X_μ＝(t,-x)，其中t是时间，x是三维空间矢量。如果逆变矢量空间与协变矢量空间互为对偶的空间，这两个空间不象上面位置空间和动量空间之间的差别那样大。特别地，
对于N维欧几里德空间，在笛卡尔直角坐标系中，不必区分基向量与对偶基向量，矢量的逆变分量和协变分量没有分别，此时用来升降指标的度规张量，即是Dirac的δ_ij函数。正是在这种意义上，我们说，N维欧几里德空间的对偶空间是它本身。在量子力学中，右矢|ψ>构成的空间与左矢<φ|构成的空间互为对偶，|ψ>与<ψ|互为厄米共轭。在这里，空间与对偶空间之间的差距，也不象上面位置空间和动量空间之间的差别那样大。

季兄说的是，我上面那个地方，只适合于实向量空间情形。
另一方面，在量子力学中，量子态之间的内积，属于V*×V→C，它对于左矢是反线性的（<aψ|=a*<ψ|，a*是a的复共轭），对于右矢是线性的（|aψ>=a|ψ>）。

写到这里我有点郁闷：许多人学泛函分析是为了量子力学，但是量子力学中的内积是半线性的，不是双线性的那种线性泛函。难道在这里，量子力学中的波函数只是一种推广了的线性泛函（即半线性的那种）？

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-30 20:12 编辑 ]

很多作者使用自己的名词体系，所以容易造成混淆。“对偶基” 其实有两个意义，现在比较标准的意义是指在对偶空间里的基，还有一种意义，来源于 “拓扑线性空间” 概念出现之前，其它领域（比如李代数，弹性力学等）的研究。如果用现在的名词体系，这种基最好叫做 “伴随基”。

这第二种意义一定是在一个内积空间 V 中。如果 是一组基，它的 “伴随基” 满足

它跟真正的对偶基不同的是，它仍然是 V 的基，而不是 的基。当然，如果考虑的是内积空间， “伴随基” 与 “对偶基” 1-1 对应，因为总可以定义线性泛函

这样

满足对偶基的定义。 这里的指标的上下（逆变协变）出了一点问题，是因为隐藏了度量张量 g，如果要使指标的上下保持一致，就需要把内积写成

这种在内积空间情形 “伴随基” 与 “对偶基” 的 1-1 对应正是很多人直接将它们等同的原因。

在基础的物理课本上，几乎所有的线性空间都是内积空间，所以在有限维的时候经常将协变矢量和逆变矢量等同，而在无穷维的时候经常将左矢和右矢等同。虽然在实际运用中这种等同并不会引起真正的问题，但必须意识到，这样的等同强烈依赖于内积。协变矢量和逆变矢量，或者左矢和右矢，本质上是不同的东西。在没有内积的线性空间 V 上，每一组基仍然会决定对偶空间 里的一组 “对偶基”。如果固定 V 上一组基，然后放上不同的内积 g, g', 那么 V 里相应的 “伴随基” 就会不同，但是 里的对偶基却不会发生变化。

[ 本帖最后由 季候风 于 2008-9-30 23:04 编辑 ]

季兄说得是

恩，“对偶基” 和“伴随基”的区分具有基础意义，以前没有注意到。

如果固定 V 上一组基，然后放上不同的内积 g, g', 那么 V 里相应的 “伴随基” 就会不同，但是V*里的对偶基却不会发生变化。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
但前面说伴随基是可以诱导出对偶基的，如果内积变了，导致伴随基改变，那么它诱导出的对偶基呢？

伴随基变了，但是 V 和 V^* 的对应也变了。

引用:

原帖由 季候风 于 2008-10-3 21:18 发表
伴随基变了，但是 V 和 V^* 的对应也变了。

结果是对偶基仍然不变? 值得确认一下.

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-9-30 17:52 发表
直接说协变矢量、逆变矢量，似乎不太合适，因为同一个矢量R，既可以用基向量e_i展开，也可以用对偶基向量e^i（对偶基又叫作共轭基）展开：
R＝R^ie_i=R_ie^i （重复指标按照爱因斯坦求和指标求和）
其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。

大概这里就已经出现分歧了. 数学上可是可以直接谈论协变矢量和逆变矢量的, 而不是分量.

引用:

原帖由 blackhole 于 2008-10-3 22:15 发表
大概这里就已经出现分歧了. 数学上可是可以直接谈论协变矢量和逆变矢量的, 而不是分量.

这个问题我后来意识到了，考虑到不影响我后面说的，就没有纠正

引用:

原帖由 blackhole 于 2008-10-3 22:03 发表

结果是对偶基仍然不变? 值得确认一下.

其实根本不用费心思，因为线性函数由它在一组基下的值完全确定。既然改变内积的定义之后那个delta形式的结果是必须保持的，而这个就是函数值，所以是确定的，因此前后所“诱导”出的线性函数是同一个。

引用:

原帖由 blackhole 于 2008-10-7 17:04 发表

其实根本不用费心思，因为线性函数由它在一组基下的值完全确定。既然改变内积的定义之后那个delta形式的结果是必须保持的，而这个就是函数值，所以是确定的，因此前后所“诱导”出的线性函数是同一个。 ...

的确如此

看到季前辈和星空兄的热议
我心里着实的激动啊
我是力学专业的学生
力学对张量的要求还是比较高的
我不是课班出身
所以对于力学是从头学起
而张量是一个大问题啊
现在我看到了逆变分量和协变分量
可我怎么看怎么不懂
两位高人能不能给点意见啊

看不懂就再看，直到看懂为止......或者试试就此提点问题，到底什么地方不懂

谢谢季兄啊
我决定做死的看它
即使看不懂
也先硬记下来
不晓得这是不是个方法

本来就是些约定，记住就行

引用:

原帖由 woshijiashi 于 2008-10-30 21:37 发表
看到季前辈和星空兄的热议
我心里着实的激动啊
我是力学专业的学生
力学对张量的要求还是比较高的
我不是课班出身
所以对于力学是从头学起
而张量是一个大问题啊
现在我看到了逆变分量和协变分量
可我怎么看怎么不懂 ...

以前對這主題沒有體悟，所以現在才談談。
先針對初學物理者，給個簡單答覆，其他星友意見，看完再談。

我認為這個部份，最好的入門是直接去看Schutz的GR第三章。
其中提到vector與one-form的區別。
你會發現你過去熟知的gradiant，在四維時空中，自然地成為one-form。
這是由於metric乃是(-+++)造成的。

如果你重新更改gradiant的定義，在第零個分量乘上一個負號，
你會發現他很自然地又變成了vector。
(這也是Feynman在物理學講義中採取的說法。)
從這個角度來看，可以說one-form是為了metric的(-+++)的方便性而需要的區分，
也可以說one-form和vector滿足不同的變換關係，
最起碼在gradiant的例子裡，理由非常具體。