二次型01 sr01 diffgeom01 现代数学和古典数学最大的区别，可能在于对于记号f(x)，从前f作为映射，x作为自变量

来源: marketreflections 于 2011-11-11 19:31:25 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

微积分，真不好懂的

2011-02-06 03:02:15来自: Courser(均衡饮食)

微积分是基础，但就是不好懂。大一时就没学懂过。同学也大多反映是靠做题做熟的。据说老爱，老费等等前辈十多岁就学会了微积分，真佩服得五体投地。我一直纠结于微积分的基本概念，没重视算功，直到目前对很多积分法还是不熟悉。不过现在总算对于微分，积分和重要的定理有了一种神奇的熟悉感。对物理量，微分，偏导，积分等符号组成的方程达到操纵自如的地步了。我想，微积分一定得在学物理时复习。所以我很怀疑不好好学习物理，单靠高数课是否能学好微积分…

2011-02-06 03:03:30 爱新觉罗痛经 (我的良心被你吃了)

数学白痴来表示下膜拜

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2011-02-06 03:37:05 Courser (均衡饮食)

柯朗说过，只有真正具有数学才能的人才能弄清楚微分的定义。大概就是说微分形式不变性这个东西。因为很多时侯人们总是不严格地把自变量dx看成增量，连高数书也是这样。这在建立方程时是有用的(微元法）。但是并不能总这样认为。其实通过取消高数书中自变量微分这个定义，而把dx定义成中间变量微分，微分形式不变性，积分法，微商就严格了。呵呵

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2011-02-06 09:18:34 Blindseeker (修身养性)

从极限到导数再到微分，从达布上下和到黎曼可积的充分条件，这是很自然的演绎。但是这并不是最实质的内容，要真正理解或是严格定义微积分得从集合论和测度论开始，进而定义黎曼积分、勒贝格积分、切尔斯蒂积分，多元问题则要牵扯到流形上的外形式空间和外积。一般的高数书上没有必要进行严格定义，学物理的知道怎么用就可以了，明确几何和物理意义很重要。

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2011-02-06 10:39:30 lepton (二维的世界更精彩)

数学。。。能用即可

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2011-02-06 11:50:26 Courser (均衡饮食)

恩，是的

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2011-02-06 11:55:38 kid271 (如果来生还是今世的重复)

而把dx定义成中间变量微分这句是什么意思啊？

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2011-02-06 12:14:30 寒寒 (行行重行行)

是偏微分时候的那个东西么…

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2011-02-06 12:15:40 Courser (均衡饮食)

楼上上可是南大的哦，对数学了解很多哦。我觉得，纵使可以有更严格的定义。但是高数书上也是严格的，在物理看来，微积分有许多不证自明的道理，不像学数学那帮人，为了把数学搞清楚同时也搞复杂了…高数书的问题在于微分号的意义没搞清，学习过高数的同学都会发现，高数书十分依赖微分形式的不变性，无论在推导各种微分公式，还是换元积分法或者微分方程上都会用到。但微分形式不变是很搞笑的一个性质，dx是自变量微分，也是中间变量微分，这真是非常有问题的

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2011-02-06 12:27:13 Courser (均衡饮食)

回kid271:对于任一物理量y=f（x），x是他唯一依赖的变量，定义dx=g'(t)Delta t（设x=g(t) )。不再有dx=增量x这个定义了，微分形式不变性见鬼去吧。对于能熟练运用微积分而不考虑自洽性者，以上见解可以忽略

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2011-02-06 13:42:12 Everett

南大……我记得以前苏奶奶上数学课就是从极限开始，微分什么的都有很好定义的。可惜苏奶奶现在应该不教了……

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2011-02-06 19:27:38 留空 (开琼筵以坐花飞羽觞而醉月)

严格和高观点是两码事，更跟技巧不沾边。其实高数书上没把dx定义成增量过，dx是x增量的线性主部（微分）。类似f(g(t))的微分也是个线性主部。

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2011-02-06 19:31:59 断雁嵬蝶 (番茄爱好者)

啊，我觉得我浪费了苏奶奶的高数课。。。那时候上课习惯不好OTZ

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2011-02-06 20:19:04 Blindseeker (修身养性)

集合论是现代数学的根基，所谓严格的定义就是从集合论下的一组完备公理出发，建立整套的现代数学体系。集合论的指导思想就是把具有同种抽象性质的元素归类研究，这也是一个非常核心的数学思想。数学本身是一种形式逻辑语言，数学符号在特定的规则下进行变换，可以保持其运算性质不发生改变。学习高等数学很重要的一点就是对其涉及的变换规则和一些特定的变换进行掌握，并能够运用到具体问题之中，至于这些规则从何而来，其实不必深究。

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2011-02-06 20:41:11 Blindseeker (修身养性)

苏奶奶是个很敬业的老师。有一次上课的时候她手机响了，就把手机塞到包里，又把包关到讲桌底下的柜子里，然后继续讲课。。。

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2011-02-06 20:47:25 whale|抛砖引玉的砖

南大的文科生飘过

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2011-02-06 22:59:46 或是尼玛 (横竖都是孤独，看你怎么消磨)

南大隔壁的和尚院校小青年飘过。。
高数上下低分划过毫无压力

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2011-02-07 08:59:35 Blindseeker (修身养性)

LSS学数学的，又很低调，一定是高手。所以还请此人解答楼主的问题，以免受到其他人的误导。

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2011-02-07 09:27:05 若水泠年要粪斗 (70%+90%+77.55%+77.27%)

就是～

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2011-02-07 13:32:32 烟花不堪剪 (❀❀❀❀❀)

只说一点点。不懂外微分，就不能看几何。不懂几何，就不能看相对论。关于外微分的初步知识，可以看龚昇的《微积分五讲》或者他的视频。进一步的知识可以看任何一本advanced calculus，关于流形上的积分法的部分。要严格地学习外微分就要熟悉Grassman代数，这在任何一本现代的讲述微分学的教材里可以找到。
外微分是Eille Cartan在1922年引进的，Darboux做了一些早期工作。简单说来，它的出发点是曲面定向。这使得加在积分中的Jacobian上的绝对值被去掉，因为dx∧dy=-dy∧dx。由这个最基本的规则出发，如果我们考察Fundamental Theorem of Calculus的一些特殊情形，namely Green formula，Gauss formula and Stokes formula，我们能够总结出关于∧的一些性质和运算规则，把它们加到微分形式的集上，就导致现在我们熟悉的外代数结构。这样做显然是一个提高效率的方式，因此一般情形的Stokes定理很快就能够证明。Shiing Shen Chern说：“不讲外微分，就不可能在高维情形说清楚微分和积分是一对矛盾。”说这句话当然是对的，但是这同时表明他不知道数理逻辑的一些基本思想。数学上的严格性不是通过像外微分这种新技术实现的，这并不是一个完善微积分基础的过程。显然，这里严格性的出现是因为借助于外微分，我们能够给出流形上积分的严格定义，这样我们能够说清楚一些事情。回想高数课本和古典的分析课本，那里从来没有出现过曲面上积分的严格定义，不是么？假如你认为是严格的，那么你就要努力学习了，因为差很多。事实上，那里根本没有定义，借助于几何直观推导曲面积分公式，这在任何时候都不是数学上承认的做法，或者说严肃的数学不允许出现这种步骤。
古典微分学的所有概念和观念已经完全淘汰了，学了也白搭，所以这样的书要尽快扔掉，不要拿这种书自娱自乐。举例来说，现代数学不承认什么“一阶微分形式不变性”或者“高阶微分形式不变性的破坏”，你应该去看pull back。古典微分学之所以落后，是因为没有映射的观念，观念完全是标量的。这不足取，现代微分学改变了这一点，从而整个理论又开始活跃了。比如微分，是以映射为像的映射，不是古人所认为的增量。
这场观念的变革的一端是Eille Cartan基于外微分的一系列工作，这导致了微分被定义为微分形式非常特殊的情形；另一端是整个现代数学的发展，尤其是Functional Analysis。Functional Analysis中最重要的观念是对偶的观念。简单说来，考虑两个Banach空间E和F，L(E;F)也是Banach空间。假如你读过Jean Dieudonne的书Treatise on Analysis，那么你一定对这段话有印象：
现代数学和古典数学最大的区别，可能在于对于记号f(x)，从前f作为映射，x作为自变量理解为标量。现在我们可以固定x，把x理解成作用在f上的映射···
显然，这段话深刻而形象地概括了很多现代数学分支在观念上的改变。特别地，作为微分学，f'(x)现在是一个映射，f'(x)(1)是传统意义上的导数。
这里仅仅是思想上最基本的介绍。要理解这些美妙的理论，你需要静下心来看一本现代的微分学教材，Spivak的书是不够的，你需要Dixmier或者Henri Cartan的书。另外，外微分这个工具，没有人比Shiing Shen Chern更加熟悉，要充分掌握它，也许需要Chern本人的一些论著。这个工具如果用得好，在几何上的威力是巨大的。这方面第一个例子是Eille Cartan用它毫不费力地证明了Gauss曲率是内蕴量。
Dieudonne本人的经历实际上让人感慨良多。他博士毕业以后好几年都不知道什么是一个ideal。当时的法国，只有Eille Cartan一个人懂得现代数学。如今我们可以在大一就熟悉什么是ideal，什么是外微分，但是很多人没有这样做，很多人也不让我们这样做。打着巩固知识的旗号做题，实际上是把自己关在暗无天日的井底。日复一日，做出伟大工作的可能性也就丧失殆尽。

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2011-02-07 13:34:53 樂逃快 (發呆~冥想)

同楼主~神奇的熟悉感

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2011-02-07 13:44:18 白残钺 (等着美好的生活吧！！)

虽然我不是什么家，但根据我的经验来讲，微积分这东西决不能光靠咱们自己的教材，十分粗糙，参考书一定要看，选择也很有学问。不光是习题集呀什么的，个人认为那是笨方法，数学的东西一定要去“悟”。而且有时你可以从概念的源头来理解。。。科学史也能增加对概念的理解运用。

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2011-02-07 13:45:33 kid271 (如果来生还是今世的重复)

哇 lsss给说说ideal是什么

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2011-02-07 13:55:54 Courser (均衡饮食)

楼上上大牛啊，不过我还是倾向于同济版高数，吼吼

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2011-02-07 13:57:12 Courser (均衡饮食)

错了，不是楼上上，是上上上上那个大牛

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2011-02-07 14:04:27 维度的熵 (人生若只如初见)

lz看下国外的微积分分吧

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2011-02-07 14:10:45 v_etch (Living is easy with eyesclosed)

可以看一看齐民友的《重温微积分》，同济版的确是一本不错的教材，齐民友如是说。变成不好理解的原因在于要求保证数学上严格的连续性

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2011-02-07 15:05:21 Courser (均衡饮食)

我正好有一本微积分五讲，看了一下，了解了一点外微分的东西，不过我认为暂时不需学习。至于外国的微积分，呵呵，数学系的高人慢慢看吧。我这个物理系的不凑热闹了，反正懂了同济版高数就可以了

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2011-02-07 15:21:58 Blindseeker (修身养性)

果然是数学牛人，受教了。我想说的是：要真正学好广义相对论，就必须了解微分几何；要学习弦论，就得了解非对易几何。理论物理学得越深，对数学功底的要求也越高，Edward.witten就是一位菲尔茨奖获得者。学物理的人应该对自己的方向有一个大致的把握，然后不断培养从事那一方向的能力。

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2011-02-07 15:28:07 筱淑媛 (物理+唯美主义=n)

我和楼主同感~毕竟当初微积分就是为了解决物理问题而发明的说~

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2011-02-07 15:35:44 方叶五月茶 (幸福～)

我也是学了物理以后才对微积分开窍的…

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2011-02-07 15:43:08 toxic (To infinity and beyond.)

表示直接从数分开始进行的，我还是喜欢先有理论基础，漂亮的东西总是有用的！

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2011-02-07 16:16:43 Foxhound (Different)

我和楼主同感~毕竟当初微积分就是为了解决物理问题而发明的说~
-----------------------------------------
并没有因果关系。
性的产生最初就是为了繁殖后代；
计算机的产生最初就是为了做加减乘除；
人类大脑的进化最初只是因为更强的生存能力，科学、艺术、宗教，统统都是进化的副产品，照这样说，不在生存挑战中锻炼，物理学就学不好？或者说，能生存就行了，物理学没什么用？
真正代表人类辉煌灿烂文明的，恰恰是那些不受制于其诞生起源之用途的副产品。

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2011-02-07 22:04:54 留空 (开琼筵以坐花飞羽觞而醉月)

高维积分的定义可见任何一本数学分析书，不一定要引入外微分。外微分本质上还是体现局部代数性质，而不是测度

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2011-02-09 09:33:37 蔡大师

我挺喜欢科学的但是学习不好，学的专业是工科，是三表，怎么办那，大学也学了微积分，没太学明白，比导数难多了，还有挤不出的问题。

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2011-02-09 09:43:34 蔡大师

dx 记得我刚学函数的时候总把f（x）当成f乘以x，没想到就这样还做了很多题，虽然有很多是错的，学微积分也是，dy和dx的关系写的就像他俩的乘除关系，有时候能做对有时就是错的

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2011-02-10 21:30:13 cacate (孤独求学者)

微积分不好学，我高中自学的，学了很久，还是学的挺扎实的，现在自学量子力学感觉和高数差不多难学。做习题有帮助而且对理解性的学科挺重要的，但是也不是非要做很多习题，有些东西后来用多了你就自然会了。

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标  题: 我所认识的狭义相对论（二）
发信站: 饮水思源 (2008年01月04日22:19:47 星期五)

最近实在不想写字了，就画两张图吧~~

一般四维的闵氏空间不直观，所以讨论起来都是用的二维的闵氏空间，即一维空间+一维时
间，对次的二次型是x^2 - t^2 (假设c = 1)

我们来看二维的闵氏空间下坐标变换是什么样子的




两组标准正交基(x,t)和(x',t')就像上图一样。为什么说他们正交？因为正交在这里是由
二次型x^2-t^2确定的，所以看起来很奇怪：）但这确实是闵氏空间里的正交。
上图可以看到，在两组基下，x=t和x'=t'这两条线是重合的，即是说如果有一束光在(x,t
)下的方程是x=t，那么在(x',t')下的方程是x'=t'，即光速是不变的（因为可以得到在直
线上求微分有dx/dt = dx' / dt' = 1)

这两组基的物理意义是什么呢？(x', t')相对于(x, t)在运动着，这可以由x'=0的点
(即t'轴)在(x, t)这一组基下是"运动轨迹"看出来。

以下是长度收缩~~




一根相对(x,t)“静止”的棒，它在闵氏空间里的占据的区域是阴影部分（这应该很好理解
），测得的长度如蓝箭头相夹的绿线所示，而在(x',t')中测其长度则要用红箭头。原因就
是同时性，测量的两点要同时，所谓的“长度”才有意义。
测到的两段绿线，从欧氏空间看来是直角边和斜边，但是......为什么斜边会比直角边短
？因为二次型的关系。

以下是时间膨胀~~




一飞船走的轨迹如粗的黑虚线所示，这条线和t'轴重合，嗯......也就是说(x', t')标架
是“粘”在飞船上的。同样，我们能在不同的参照系下测得两段时间dt和dt'，照旧是直角
边和斜边，照旧是斜边会比直角边短，因为二次型的关系。

这样“钟慢尺缩”就解释完了。由以上解释我们可以看到，这和“看到”什么没有关系，
而是坐标值本身的变化，如果要加上观察者看到什么，那么就要画出观察者自己的轨迹, 
，（专有名词叫“世界线”worldline)，然后从观察者出发画光线（即是正负45度的斜线
），分析这些线与被测物体的关系，从而得到“观察者能看到什么”的结论。