曲面第三基本形式就是曲面的球面表示,曲面在P点的高斯曲率的几何意义是：单位球面上的区域 的面积与曲面上的对应区域 的面积之比值

3.7  曲面在一点邻近的结构

在3.3小节里曾用第二基本形式的行列式 对曲面上的点进行了分类.在上小节我们又看到  ,因为  ,所以 K与 同号,因此得到以下用高斯曲率对曲面上点的分类:

椭圆点; 双曲点; 抛物点.

   以下用法曲率分别讨论曲面在一点邻近的形状.

一  椭圆点:

这时主曲率 同号,不妨设都大于零,根据欧拉公式曲面沿任意方向的法曲率 ，曲面沿任意方向的法曲率 与 同号。这说明曲面在这样的点沿所有方向都朝同一方向弯曲。

     由于主曲率是沿主方向的两条法截线的曲率，而法截线是平面曲线，据4.4节可知它（在密切平面即法截面的投影）是抛物线，其近似方程是 。因此可知曲面在椭圆点邻近的形状近   似于抛物面。

 

二  双曲点：

   这时主曲率 异号，适当的选择曲面的法向量后有 。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝 的反向弯曲，另一条朝    的正向弯曲。

    由欧拉公式 得各个方向的法曲率的变化情况

	0                                    2
	↗ 0 ↗  ↘ 0 ↘   ↗ 0 ↗ ↘ 0 ↘

如右表：

    由表可知， 法曲率在四个方向上为零。这四个方向就是双曲线的渐近方向，即杜邦指标线的渐近方向。

令 可求出渐近方向，由欧拉公式 求出两个渐近方向对应的 值： 即  ，可见两个渐近方向和每一个主方向作相等的角。且渐近方向把主方向隔离在两对对顶角内：在其中一对对顶角内， ，法截线朝着 的正向弯曲；另一对对顶角内，  ，法截线朝着 的反向弯曲。

下面考虑曲面在双曲

点邻近的形状：在主方向

上的法截线，其形状近似

于抛物线 和

，前者朝 的反向弯曲 ，后者朝 的正向弯曲。因此，曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面。

三  抛物点：K=0

这时两个主曲率 中至少有一个等于零。适当选取法向量     后有 。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝     的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向。由欧拉公式知 = 。所以除 外，总有 ，因而除渐近方向外，一切法截线都朝 的反向弯曲。据4.4的结果，主方向上法截线的形状分别近似于 ，  。因为 ，所以 为朝 的反向弯曲的抛物线，后一个为立 方抛物线。

     如果 ，则L=M=N=0，

 曲面上的点为平点，这时主方向上的两条法截线的形状近似于立方抛物线 ： ，  。

3.8 高斯曲率的几何意义

一  曲面的球面表示（高斯映射）

    设 是曲面S: 上一块不大的区域，另外再作一单位球面。现在建立 中的点和单位球面上的点之间的对应关系如下:在 上任取一点P(u,v)，作曲面在P点的单位法向量 ，然后把 的始端平移到单位球面的中心，则 的另一端就在单位球面上，设该点为 ，这样对于曲面的小区域  中的每一点与球面上向径为 的点对应。因此，曲面上所给出的小区域 对应到单位球面上的区域 上。

这就是说，建立了曲面上的小区域 到单位球面上区域 的对应。我们把曲面上的点与球面上点的这种对应称为曲面的球面表示，也称为高斯映射。如上图。

二 曲面的第三基本形式  

    定义 曲面第三基本形式定义为 其中 叫做曲面的第三类基本量 .        

    由定义可知,曲面第三基本形式就是曲面的球面表示    的第一 基本形式.

三 曲面的三个基本形式之间的关系

   结论:曲面的三个基本形式及其高斯曲率﹑平均曲率之间的关系为 。

   证明  取曲面的曲率网为坐标网,则曲面的第一、第二基本形式可以写成 ， 。

由于我们选取了曲率线网为坐标网,故 分别为主方向,设 分别为u-线方向和v-线方向的主曲率,根据罗德里格定理 ， 。由此可得： ， ， ，所以 ，同时 ， ，因而 ， 从而 ，所以  。

命题7 曲面上P点邻近的区域 在单位球面上的表示是  ，       的面积与区域 的面积之比，当 趋于曲面上已知点P时这个比值趋于曲面在P点的高斯曲率的绝对值。即   。

证明取曲面的曲纹坐标网为曲率网，则 ， ，                            由本章§2的2.5有 的面积  ， 的面积= ，  。

等式右边的积分区域 为曲纹坐标u,v的变化区域，所以 。证毕。    

由此可得到曲面在P点的高斯曲率的几何意义是：单位球面上的区域  的面积与曲面上的对应区域 的面积之比值，当区域 趋于P时的极限。

以下给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义，由于 ，其中 是曲面的法向量， 是球面的法向量。     K>0时表示这两向量方向一致，因此从 到 的旋转方向和从 到 的旋转方向相同。K<0时表示这两法向量的方向相反，从而从 到 的旋转方向和从 到 的旋转方向相反。