球面S2上不存在无处为零的连续切向量场．这个事实是一个十分动人的结果，它有一个外号叫作“发球定理”．如果让球面的每一点长出一根头

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2．向量场

 

本节将给出二维布劳威尔定理的一个直观的几何论述．

首先我们注意到，若X是R²的一个二维子集，f∶X→R²是一个映射，则对每一x∈X，有唯一的f(x)与其对应，这样在X的每一点处可唯一确定一个向量，记为v(x)：它以x为起点，f(x)为终点，于是映射

射f∶X→R²，它将每个x∈X映到向量v(x)的终点，

于是我们看到，映射f∶X→R²与X上的向量场v之间存在一个一一对应关系，例如图2.5所示的向量场对应于X上的常值映射，图2.6所示的向量场表示了X的平移映射．这样我们就通过对向量场的几何性质的研究来讨论相应映射的性质．一个很自然的想法是：若映射f∶X→R²是连续的，就称与它对应的(也可称等价的)向量场v是连续的．

向量场有一些很有趣也很有用的性质，我们略表一二．

 

设C是平面内的一条闭曲线，v是C上的连续向量场，且对任意x∈C有v(x)≠0，给C以一个定向，从C上任一点P₀开始，让点x沿C按其定向走一圈，向量v(x)从P₀处出发回到原处，由于向量场v是连续的，因而向量v(x)转过的角度的代数和(以逆时针的转动角为正，顺时针为负)必定是2π的整数倍，称这整数为沿定向闭曲线C的向量场v的指标，记为W(v，C)．显然，任一闭曲线上的常向量场的指标为0．又如对圆周S¹给以逆时针为定向，在S¹的每一点附上一个单位切向量，其方向与S¹的定向相一致，这样就确定了S¹的一个向量场v(图2.7)，显然它的指标W(v，S¹)＝1．图2.8所示S¹上的另一向量场w的指标W(w，S¹)=-2．对任一条光滑的不打结的闭曲线C，每一点附以单位切向量，得到向量场v，则其指标W(v，C)＝±1，这是著名的切线旋转指标定理．

 

对于球面S²也可定义向量场，若对每一x∈S²，在x处附以向量v(x)，它是S²在点x处的切向量，这样得到的向量场v称为球面S²上的切向量场．对此我们不加证明地引述下面的定理．

 

定理2.2 若v是球面S²上的连续切向量场，则至少存在一点x∈S²，使v(x)＝0．

这一定理的另一说法是：球面S²上不存在无处为零的连续切向量场．这个事实是一个十分动人的结果，它有一个外号叫作“发球定理”．如果让球面的每一点长出一根头发，谁想尝试把这些头发处处平滑地梳拢在球的表面上，那他将必然遭到失败，尽最大努力也只能作到如图2.9所示那样留下很少的一两个秃点，即常说的头上的发旋．因为若能在整个球面上将头发平滑地梳好，那么这些头发的切向量将给出S²的一个无处为零的连续切向量场，这与定理2.2是矛盾的．

 

定理2.2 的结果还有一个有趣的解释．我们可将S²上的连续切向量场解释为一个流，定理2.2说明：球面上的任一稳定流(即不随时间改变的流)至少有一个静止点．如将地球表面看成球面，且风流的速度向量是连续的，则在任一瞬间，地球上总有一个无风点．

“发球定理”与球面自映射的不动点有密切关系，对此有如下推论．

推论 若连续映射f∶S²→S²将S²的每一点，都不映到对径点，则f具有不动点．

 

证明 假定存在满足条件的一个f不具有不动点．将每一点x∈S²与f(x)相联得到球面S²上的一个连续向量场v，且由假设对每一x∈S²，v(x)都不垂直于S²在x处的切平面，因而将v(x)投影到x处的切平面上时，投影向量不是零向量．这样就得S²上的一个无零点的连续切向量场，与定理2.2矛盾．从而推论成立①．

 

现在我们利用向量场给出二维布劳威尔定理(即定理2.1)的几何直观证明．考虑闭圆盘在映射前后的情况，倘若定理结论不成立，即经连续映射f∶B²→B²后，闭圆盘B²没有一个点保持不动，这样每一点在映射后都变到圆内或圆上的另一处．设闭圆盘的任一点P的连续映射象是P′，B²的无不动点的连续自映射f对应有闭圆C及C上相应的向量场，因为按假设圆上任一点的象不会在圆外，从而对任意x∈C，向量v(x)总指向圆内．如果给C以逆时针的定向，则我们可以断言：C上的向量场v的指标W(v，C)＝1．为了说明这一点，我们沿C的定向作C的单位切向量场t，如前所说，t的指标W(t，C)＝1，因而我们只需证明C上的向量场v和t有相同的指标．如若不然，由于v和t都是连续向量场，则沿圆周C向量v(x)必定绕t(x)转过非零整数圈，这样v(x)必然出现切线位置，然而根据假设这是不会出现的，故有W(v，C)=1．

现在考虑圆盘内与边界圆C同心的圆，以及这圆上相应的向量场，则这向量场上的指标也必定等于1．这是因为当边界圆连续地变化到一同心圆时，由于向量场v是连续的，因而从一点到另一点时向量方向是连续变化的，从而在各同心圆上向量场的指标也是连续变化的．但是指标只能取整数，因此必定永远等于其原来的值1，因为从1跳到其他整数将产生指标变化的不连续性(一个连续变化的量如果只能取整数值，它必定是一个常量．这个结论是在许多定理的证明中经常出现的典型数学推理)．从而我们能够找到任意小的同心圆，对这圆上的向量场的指标是1．然而这恰恰又是不可能的．因为根据映射连续性的假设，在一个充分小圆上的向量的方向均近似于圆心处的向量方向，因此我们可以选到足够小的圆，使向量v(x)绕它一圈的角度变化的绝对值小于给定的一个正角度，例如10°，这就意味着这个很小的圆上的向量场v的指标为0．这个矛盾说明原先所作的用圆盘到自身的连续映射没有不动点的假定不能成立，从而定理2.1成立．

以上证明利用向量场这一工具，将B²的无不动点的连续自映射转化为[0，1]上的连续整值函数W＝W(v，C(r))，其中r是同心圆的半径，r∈[0，1]，然而这函数在1处的值为1，而在0处的值为0(C(0)变成点圆，指标视为0)，从而得出矛盾．如果将B²中挖去一点O，则函数W＝W(v，C(r))就定义[0，1]上，从而得不出矛盾，从而证法失效，或是命题不成立．事实上在§1中我们已经说过，挖去一点的圆盘不具有不动点性质．“连续自映射”这一条件不变，空间从B²改变为B²-｛O｝就失去了“具有不动点性质”这一特性，这就说明B²与B²-｛O｝在某一方面有明显不同的性质．下一节我们将从这一角度出发来讨论布劳威尔定理．

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