第五章 Rewriting Maxwell's Equations
第一小节 第一对方程
目的：将
▽.B = 0
▽×E+ə_t B = 0
推广到任意流形。
首先把B作为2-形式处理：
B = B_x dy∧dz + B_y dz∧dx + B_z dx∧dy
E作为1-形式处理：
E = E_x dx + E_y dy + E_z dz
定义统一电磁场F为R^4上的2-形式：
F=B+E∧dt
F = 1/2 F_μυ dx^μ∧dx^υ
其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。
第一对方程可以简单地写成：
dF = 0
通过将其拆成类空部分和类时部分，不难重新推导出第一对方程。
但这个方程的普遍性不仅仅适用于可以将流形M拆成R×R^3的情形。
注意：我们通常概念意义上的电场和磁场，则只有在可以将流形M拆成R×R^3的情形下，才有定义。
第二小节 度规
第一对方程，并不涉及度规。它们是普遍协变的，也就是无论怎么伸缩扭曲时空的微分同胚，都可以用其push back得到对应的解。
度规是一种广义的距离，或者说间距。
定义向量空间V上的度规g为：
g: V×V -> R
满足：
双线性条件：
g(cv + v', w) = c g(v, w) + g(v', w)
g(v, cw + w') = c g(v, w) + g(v, w')
可交换：
g(v, w) = g (w, v)
非退化：
for_all w ∈ V [ g(v, w) == 0 ] => v = 0
有了度规，可以选取一组正交的基： {e_μ}
正交，也就是满足： g(e_μ, e_υ) = μ==υ ? 0 : ± 1
Signature(p, q)：q是正交基中，-1的数目。p+q=n
对 γ: [0,1] -> M定义弧长（类空时）或原时（类时时）：
∫ √ g(γ'(t), γ'(t)) dt
g_μυ = g(e_μ, e_υ)
g^μυ = g_μυ ^-1
度规的指标升降不在此敷述。
定义1-形式的内积：
<ω, μ> = g^αβ ω_α μ_β
再定义 p-形式的内积：
< e^1 ∧ ... ∧ e^p, f^1 ∧ ... ∧ f^p > = det[ < e^i, f^j >]
第三小节 体积形式
给定V的两组基： { e_μ } { f_μ }
有映射 T : V -> V，使得： T e_μ = f_μ
如果，det T > 0，我们说，这两组基，具有相同的取向。
定义体积元为 e_1 ∧ ... ∧ e_n，它是∧^n V中的非零元素。
设另一组基 f_υ = T^μ_υ e_μ，则得到：
f_1 ∧ ... ∧ f_n
= (T^i_1 e_i) ∧ ... ∧ ( T^i_n e_i)
= sign(σ) T^σ(1)_1 ... T^σ(1)_1 e_1 ∧ ... ∧ e_n
= det T e_1 ∧ ... ∧ e_n
其中σ是一组1..n的全排列/全置换，sign(σ)则是n维的Levi-Civita符号，详见维基百科。
定义M上的体积形式ω为无处消失的n-形式，其标准形式为：
ω = dx^1 ∧ ... ∧ x^n
对于每一个点，ω_p 都是 T^*_p M 的一个体积元。
从上面可以看出，体积形式和基的取向密切相关，实际上，如果体积形式不存在，流形是不可取向的。比如在Mobius strip上，无法选定一组光滑变化的基。
若有取向的chart φ_α : U_α -> R^n 覆盖 M，
则 g_μυ = g(ə_μ, ə_υ)
而体积形式的正则形式为：
vol = √ |det g| dx^1 ∧ ... ∧ x^n
这个形式的体积形式，将不受chart选择的变化的影响，保持不变。证明见书。
第四小节 Hodge Star Operator（星算符？）
可以参考：
http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html
面元到面元的映射：
* : Ω^p（M）-> Ω^n-p (M)
满足：
for_all ω, μ ∈ Ω^p（M）：
ω ∧ * μ = <ω, μ> vol
从此定义，不难推算出落实到按基的Hodge Star Operator的计算方法。详细见书中习题。
第五小节 第二对方程
不难看出第二对方程和第一对方程在做了如下变换之后非常相似，只剩下右侧的区别：
E -> -B, B -> E
也不难算出， *F正好起了类似的效果。
定义
电流密度
j = j_i dx^i
在加上电荷成分，定义 current
J = j - ρdt
按同样的把戏，不难验算第二对方程可以写成：
*d*F=J
根据上一节，我们知道：在R^4上，
**=±1
当**=1时，也就是当流形是黎曼的时候，书中讨论了2-形式的self-dual和anti-self-dual。
书中还讨论了maxwell方程在真空中的解。
第六章 DeRham Theory in Electromagnetism
(收起)
