Klein01 几何就是齐性空间，在那里，物体可 以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的

我们现在来谈谈Klein思想在几何方面以及物理学方面的重要性。对于Klein而言，几何就是齐性空间，在那里，物体可 以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的。Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群。于是每一个齐性几何 对应一个不同的李群。但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且 空间不再有整体对称性。 然而，李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现在一种无穷小的层 面上。于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体。这个理 论是被Elie 嘉当真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Einstein的相对论也起着基本的作用。当然Einstein的理论极大地推动了微分几 何的全面发展。 如果你实施一个坐标变换，就可以用几何的观点来描述电磁力和牛顿引力；详情请参见温伯格的《引力论与宇宙论》。假设我们讨 论的电磁力和牛顿引力都是吸引力，那么这两种吸引力分别服从双重椭圆几何和单重椭圆几何定律；因此，极矢量与轴矢量的对偶性实际上就是双重椭圆几何与单重 椭圆几何的对偶性。另一方面，椭圆几何群对应着一个李群，这就同杨-Mills规范场有了联系，因为杨-Mills规范理论中，规范群正是一个半单李群。 这种观点是有物理上可观测效应的。考虑质子和中子之间的同位自旋，在Klein的单重椭圆几何的模型中，我们可以认为质子和中子是边界上直径相对两端两点，而边界上直径相对两端两点又必须看作是同一个点；这样就可以很自然地得出同位自旋和同位角动量的概念来。

 

henryharry2 2011-03-11 12:37 狭义相对论告诉我们，沿着一束光以与光传播速度相同的速度运动是不可能的；相对于某个选定的惯性系，原则上你能够使你的速 度尽可能地接近光速，但到达不了光速——但是不论你多么地接近光速，当你测量光束本身的速度时，你总是得到c。在我们讨论克雷默的思想之前，用几何的观点 讨论一下相对论的意义；牛顿时空是一种绝对时空，有一个绝对的坐标原点，得出光速可变的结论。因此需要抛弃坐标原点，才能得出光速不变的结论；我们知道， 仿射空间中确实不需要绝对的坐标原点。事实上，我们已经证明过罗伦兹群确实是一个仿射群；仿射空间中有相对坐标原点，实际上，相对坐标原点即是代表粒子的 粒子性的坐标原点。 这自然地引出了量子化的过程，以三维仿射空间为例，表示一个矢量需要三个维度，表示坐标原点也需要三个维度，如果将仿 射空间嵌入到矢量空间中，就只能嵌入到一个六维的相空间中，与哈密顿原理相仿；这样，坐标空间与动量空间是对偶的，这正是矩阵力学的基本原理。这样，从相 对论原理我们也可以导出量子力学的基本假设。 不仅如此，有两种在仿射变换下保持不变的坐标系，一种类似于正、反粒子之间的对称性，另外一 种是质心坐标系，Dirac理论只考虑了第一种情况，而忽视了第二种情况；这说明狭义相对论也可以扩充，那么这第二种相对论不变性有什么现实意义呢？看起 来有许多物理实验都证实这种不变性确实存在。首先，如果质心不变性成立的话，才可能有弦的存在，一根弦连接的正反两个夸克；用仿射几何的话说，正是正、反 粒子对称性再加上质心坐标的不变性。