矩阵约当标准化:Jordan标准型:这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，

http://tieba.baidu.com/p/599538461?pn=2 V，W代表线性空间，简单说来就是由具有某些共同性质的向量组成的集合。a，b代表某数域上的向量。

2009-06-29 11:04 回复

LagudoMezeghis 72位粉丝 核心会员 6	38楼 刷屏了，百度老提示那啥要审核是吧。我以前也遇到过。 那个V我明白是什么，应该是A所对应的空间（A是n阶方阵，则这个空间就是n维向量空间）中的某个子空间吧。W是哪里来的？有定义没？能不发点详细的过程？我也是想考数学专业的研究生，一起努力吧！
2009-06-29 11:22 回复

LagudoMezeghis 72位粉丝 核心会员 6	39楼 QQ123183474
2009-06-29 11:24 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	40楼 V代表A对应线性变换所在空间，W代表B对应线性变换所在空间，dimV=n，dimW=m，由于维数不同，显然V，W是两个不同的空间，这里用不同的字母表示只是为了区分它们是两个不同的空间。
2009-06-29 13:13 回复

kof9595995 20位粉丝	41楼 我也问到了一个证明： 首先将ABC的列向量用新的基来表示，对AB而言这是一个相似变换，所以不会改变A,B的特征多项式。 设这个新的基为{v1,v2....vm...vn},令其中{v1,v1,v2....vm}span（这个词我不知道中文是什么，不好意思）C列向量的range（值域？），因为C的秩是m，那么在这个基下，矩阵C（n*m）可划分为m*m满秩矩阵（上半部分）和(n-m)*m的全为0的矩阵，再由AC=CB，分块将AC,CB乘开可得A的形式必写作： A=B X 0 Y 所以poly(A)=poly(B)*poly(Y)故poly(A)b必可被poly(B)整除 注：我用poly表示特征多项式
2009-06-29 17:31 回复

kof9595995 20位粉丝	42楼 虽然我不是我不是数学专业的，但楼主的题目都很有趣，有兴趣也一起讨论一下吧，QQ：896047329
2009-06-29 17:32 回复

118.112.11.*	43楼 span是指以这些向量为基的空间 range就是值域
2009-06-29 18:03 回复

kof9595995 20位粉丝	44楼 span没有更简洁的译法了吗？
2009-06-29 18:09 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	45楼 这个已经很简洁了呀
2009-06-29 18:20 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	46楼 我研究清楚kof9595995的解法后，再和大家分享
2009-06-29 18:21 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	47楼 还是没有理解kof9595995的解法呀！能不能写得再详细一点呀！
2009-06-29 21:55 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	48楼 再把老帖翻出来讨论一下
2009-12-16 00:59 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	49楼 设C是nxm矩阵，A是n阶方阵，B是m阶方阵，AC=CB，R(C)=m 证明：若n>m,则det(xEm-B)整除det(xEn-A) 证：因为R(C)=m，n>m所以C列满秩，因此必存在nxn可逆矩阵P使得 Em C=P 令A=PDP-1，则A与D相似，poly(A)=poly(D) O 注：poly(A)表A的特征多项式det(xEn-A) 所以 E E AC=PD CB=P B O O 因为AC=CB及P可逆 得 E E B X D = B 对D进行分块易得D= O O O Y 所以poly(A)=poly(D)=poly(B)poly(Y) 因此poly(B)整除poly(A) 即：det(xEm-B)整除det(xEn-A) 证毕。
2009-12-16 01:01 回复

电灯剑客 102位粉丝 核心会员 6	50楼 AC=CB是描述不变子空间的常用写法，被你们讨论得好复杂。。。
2009-12-16 01:23 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	51楼 剑兄见笑了，这是当初初学时提出来的问题，水平确实有限呀！ 麻烦剑兄抽空详细说明一下这个问题！
2009-12-16 01:33 回复

电灯剑客 102位粉丝 核心会员 6	52楼 其实吧也没什么，主要是很多人对不变子空间都不熟。41楼和49楼的做法应该是一回事。 线性代数的重要思想是用矩阵来刻画有限维空间上的线性映射，而不是矩阵上面的小技巧。如果回到这个问题，AC应该看作C的列在映射A下的像，CB应该看做C的列线性组合，这样很明显span(C)是A的一个不变子空间，然后很自然就有了前面的做法。 很多人从来不把Ax=λx看做Ax=xλ，但是事实上后者才是同时符合矩阵乘法规则的。同样，当A作用于多个向量时，只能写成AX=XD，当X是满秩的方阵时这个就是对A的对角化，换一种写法是X^{-1}AX=D。问题就出在很多人只知道Ax=λx和X^{-1}AX=D这样的形式，然后就没有办法充分理解特征值和不变子空间的关系了。
2009-12-16 02:00 回复

LagudoMezeghis 72位粉丝 核心会员 6	53楼 非常感谢，纠正了我一个很重要的观念，把Ax=λx看做Ax=xλ，很好
2009-12-16 08:56 回复

LagudoMezeghis 72位粉丝 核心会员 6	54楼 关于特征值和不变子空间 从后来的约当标准型来看的话，一个矩阵约当标准化后， 每个约当标准块，对应一个不变子空间，而且这个不变子空间，是不可再分的。对吧 而每个约当标准块也对应一个不同的特征向量，且只有一个特征向量。 但是不同的约当标准块的特征值可以相同。 特征值和不变子空间的关系好像还是很复杂的吧。 这一题可以用约当标准型来做吗？
2009-12-16 09:05 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6

55楼 把Ax=λx看做Ax=xλ 说实话，我也从来没有这样想过，很有启发！ 遥想当初，剑兄你还没来，只有我和 LagudoMezeghis，kof9595995在讨论 那个时候真的很难,往往一个问题要经过数天的讨论才能够比较满意 我多年后重拾课本，什么都不懂，幸好有两位朋友帮忙。 kof9595995在新加坡，虽然不是数学专业的（好像是学物理的），但是对于数学非常热爱，对我帮助不少。 LagudoMezeghis可算是数学系的高材生了，思维灵活，能力很强。尽管有些问题不能诠释得非常完美，但是对于应届生来说已实属不易，这里也表示感谢。 但现在好了，剑兄来了，很多我百思不解的问题在你手中可以轻易得到解决（虽然只有寥寥几句），大大提升了我学习的速度。 你说对国内的现状感到担忧，流露出随时准备离开的想法，其实我觉得大可不必，在我们身边有很多志同道合的朋友还在这条路上奋斗着，难道这还不够吗？我对未来还是充满信心的，这也是我再次拿起课本的最大原因。

2009-12-16 12:08 回复

彭宇煦 13位粉丝 核心会员 6	56楼 哦，说明一下，49L其实就是对41L解法的整理，当时我还不会贴图，甚至连mathtype都没听过，真的太稚嫩了。
2009-12-16 12:11 回复

kof9595995 20位粉丝	57楼 呵呵，剑客说的对，我对线性代数的理解也就停留在“矩阵上面的小技巧”层面，以后还请多多指教了。
2009-12-18 22:39 回复

电灯剑客 102位粉丝 核心会员 6	58楼 回复：54楼 要用Jordan标准型看来还是很难的，Jordan标准型和不变子空间的关系确实比较复杂。
2009-12-19 05:28 回复

电灯剑客 102位粉丝 核心会员 6	59楼 回复：57楼 技巧还是需要的，尤其是在建设这门学科的时候。但是对后来的大多数人而言掌握思想比掌握技术更重要一些。有些比较纯粹的技巧可能归到矩阵论里面去研究了，而线性代数的思想则可以衍生出泛函分析等更高级的学科。
2009-12-19 05:33 回复

kof9595995 20位粉丝

60楼 回复：59楼 恕我愚钝，请教一下剑客兄，你在42楼说“这样很明显span(C)是A的一个不变子空间，然后很自然就有了前面的做法。”我当时虽然不知道不变子空间的概念，但现在即使知道，也没法“很自然”的想到做法，你是怎样想到的呢？