音乐快递：从Fock空间 Poisson括号分析力学中，作正则变换之后的可积系统会有作用变量J和它的共轭角变量φ（广义坐标－动量对），它 - 由marketreflections发表

星空浩淼

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22^#大中小发表于 2008-6-28 09:49 只看该作者

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原帖由 北落师门 于 2008-6-27 23:29 发表
谢谢星空兄对于相干态的精彩回复。我大概想了一下，没有细算，这个相干态用粒子数本征态表示的话，就会出现类似|n0>+|n0,n1>+....这样的态。

呵呵，师门兄在这里也粗心了一回（还让blackhole兄的看法左右摇摆，立场不坚定

）。
对于多模或多个不同量子状态粒子情形，真空|0>是简写，真实含义是：
|0>＝|0>|0>...|0>=|0,0,0,...0>
只有对于多模或多个不同量子状态粒子情形，你才能定义多个产生和湮灭算子——正如你在17楼提的问题中，表达式指数中有多个产生算子。如果是单模，你给的表达式中指数就只有一项，而不是多项之和。因此，你17楼给的表达式结果应该是（此时还不是相干态。我在18楼回帖中说的相干态，同时是其中任一个湮灭算符的本征态）：
A|0,0,0,...,0>+B|1,1,1,...,1>+C|2,2,,...,2>+......
而类似|n0>+|n0,n1>+....的写法，至少是不规范的

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 10:54 编辑 ]

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季候风

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23^#大中小发表于 2008-6-28 11:54 只看该作者

星空兄对 Fock 记号的解释适用于多个谐振子的系统。在二次量子化中，自由全同粒子系统的态应该相当于一个振子的 Fock space. 有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？在场论中，粒子数和粒子种类数都可变，按你的解释，到底应该写出几个直积因子才够呢？我觉得直接用产生湮灭算子来定义 Fock 态更清楚明白。

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北落师门

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24^#大中小发表于 2008-6-28 12:09 只看该作者

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星空浩淼

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25^#大中小发表于 2008-6-28 12:27 只看该作者

回季兄：
是这样的，量子场相当于谐振子的集合。量子场中存在多个粒子时，不同粒子不一定处于完全相同的量子状态，每种量子态对应一种粒子的模式。处于完全相同量子状态的粒子之间不可分辨，而处于不同量子状态的粒子之间是可分辨的。当我们谈论某种粒子的产生和湮灭时，要确定是那种量子状态的粒子在产生或湮灭，因此表达产生算符和湮灭算符的符号，同时带有表达量子态的指标，带有不同指标的产生算符作用于真空，便产生不同量子态的粒子。例如|n0,n1,0,0...,0>表示场处于这样的一个量子态（粒子数态）：模式为0的粒子有n0个，模式为1的粒子有n1个，其他模式的粒子全部为零。

以电磁场为例，场正则量子化中，有时会采用“箱归一化”方法，即把无穷大的自由空间看作是一个正方体的箱子，让边长趋于无穷大，最后得到的结果跟无穷大自由空间中的场一样。
但是应用中，我们常常需要考虑电磁场在真实的、尺寸有限的腔体里，或其在部分空间自由度被约束的边界条件里（例如波导或者激光腔体里面），此时电磁波在被约束的方向上呈现驻波结构。驻波存在多种不同的波型（相当于存在多种不同量子状态的光子），每一种波型成为一种模式，多种波型同时并存时，称为“多模”情形。我们知道，光纤通信技术中，有时尽量让光纤（光纤就是一种波导）中只存在一种波型，此时称为单模光纤。

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季候风

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26^#大中小发表于 2008-6-28 13:15 只看该作者

其实 blackhole 问的是个数学问题，我们都扯远了。首先应该注意的是，单粒子态空间 H 一般是无穷维的，基底记为 $\{ \phi_i\}_0^\infty$ . 现在假定系统包含有限个粒子，分别是 $n_{i_k}$ 个处于 $\phi_{i_k}$ 的态, k = 1,2, ..., t. 设 $N = n_{i_1}+\cdots+ n_{i_t}$ , 那么这个态应该记为

$S_N \Big( \phi_{i_1}^{\otimes n_{i_1}}\ \otimes \cdots \otimes \phi_{i_t}^{\otimes n_{i_t}} \Big)$ ,
它在空间 $H^{\otimes N}$ 里。

blackhole 的例子里， $|n_0> + |m_0m_1>$ , 如果 $n_0 = m_0+m_1 = N$ , 那么两项都属于 $H^{\otimes N}$ , 都代表有 N 个粒子的态，其和还属于 $H^{\otimes N}$ ；如果 $n_0 \neq m_0+m_1$ , 那么它们的和是形式和，仍然有意义，由叠加原理，系统可能有 $n_0$ 个粒子，也可能有 $m_0+m_1$ 个粒子。

[ 本帖最后由季候风于 2008-6-28 13:21 编辑 ]

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星空浩淼

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27^#大中小发表于 2008-6-28 14:19 只看该作者

师门兄在24楼说得对。

如果
|n0>+|n0,n1>
代表的含义是
|n0, 0, 0, ..., 0>+|n0,n1, 0, 0, ..., 0>
就没有问题了。符号表达方式是人为的，但是含义要统一，才不会相互误解

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 14:23 编辑 ]

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blackhole

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28^#大中小发表于 2008-6-28 14:47 只看该作者

引用:

原帖由 季候风 于 2008-6-28 11:54 发表
在二次量子化中，自由全同粒子系统的态应该相当于一个振子的 Fock space. 有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

这个可能不对吧？我觉得应该是同种自由粒子的每个能量本征态、而不是每种粒子相当于一个谐振子（也就是“模式”mode）。量子力学中的谐振子由其圆频率 $\omega$ 表征，而在量子场论中，谐振子（或模式）由其动量 $\vec{p}$ 表征，该动量也确定了描述该谐振子的另一参数——能量（圆频率） $\omega=\sqrt{\vec{p}^2+m^2}$ 。这么说，
单体能量本征态＝模式（mode）＝谐振子；
处于某本征态上的粒子数＝处于这种模式的粒子数＝相应谐振子的量子数n＝量子的数目＝粒子数算符的某一本征值。
所以，在量子力学（而不是量子场论）中，“粒子数算符”的说法应该不太确切，称为“量子数算符”更好些。因为在单谐振子模型的量子力学中，从头到尾都只有一个“粒子”，但允许有多个“量子”。

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-6-28 12:27 发表
处于完全相同量子状态的粒子之间不可分辨，而处于不同量子状态的粒子之间是可分辨的。

两粒子是否可分辨（全同）与它们是否状态相同没有关系吧？

引用:

原帖由 季候风 于 2008-6-28 13:15 发表
blackhole 的例子里， $|n_0> + |m_0m_1>$ , 如果 $n_0 = m_0+m_1 = N$ , 那么两项都属于 $H^{\otimes N}$ , 都代表有 N 个粒子的态，其和还属于 $H^{\otimes N}$ ；如果 $n_0 \neq m_0+m_1$ , 那么它们的和是形式和，仍然有意义，由叠加原理，系统可能有 $n_0$ 个粒子，也可能有 $m_0+m_1$ 个粒子。

正确。

[ 本帖最后由 blackhole 于 2008-6-28 15:58 编辑 ]

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星空浩淼

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29^#大中小发表于 2008-6-28 18:01 只看该作者

所以，在量子力学（而不是量子场论）中，“粒子数算符”的说法应该不太确切，称为“量子数算符”更好些。因为在单谐振子模型的量子力学中，从头到尾都只有一个“粒子”，但允许有多个“量子”。
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你这个说法是不准确的。可能这跟我在前面说“量子场可看作是谐振子的集合”引起误解有关（尽管此种说法教材上很常见）。我这句话的真实含义是：量子场，是类似声子场那样的东西。声子是简谐振子激发的能量量子。尽管我们分析的简谐振子只有一个，但是简谐振子产生的声子不止一个，而且如果振子存在多种不同的振动模式，则会产生不同模式的声子。光子则是电磁天线（可以分解为简谐振动的电磁源）激发产生的能量量子。既然电磁能量量子对应物理世界中的实际粒子——光子，这种量子数当然也是粒子数。而一般地，比如自旋量子数，就不是粒子数。只有能量量子数才对应粒子数。另一方面，凝聚态物理中，一些相互作用集体合作效应产生的能量量子，即元激发，属于准粒子，因为它们不满足Einstein色散关系，此时能量量子数对应准粒子数。

我前面说过，简谐振子的量子力学描述，既可以用一次量子化方法，也可以用二次量子化方法，因此量子谐振子常常既是量子力学中的教学案例，又是给工科学生讲述电磁场量子化时的教学案例（先讲二次量子化方法下简谐振子运动的量子化，再类似地给出电磁场的量子化理论，此时场方程变成简谐振子方程）。因为无法跟工科学生讲述严格的场量子化理论，那些预备知识他们都没有学过。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-6-28 18:16 编辑 ]

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北落师门

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30^#大中小发表于 2008-6-28 18:03 只看该作者

有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

好像弦的一次量子化需要，我记得Virasoro算符用无穷多模式的产生湮灭算符表示出来。

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星空浩淼

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31^#大中小发表于 2008-6-28 18:20 只看该作者

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原帖由 北落师门 于 2008-6-28 18:03 发表
有什么特别的理由需要考虑多种自由全同粒子（即多个振子）共同存在的状态吗？

见我25楼和29楼的回答
比如在激光物理中，常常需要考虑激光所处的模式

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轩轩

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32^#大中小发表于 2008-6-28 18:42 只看该作者

粒子数算符和相位算符不对易，因此二者不能同时测准，存在Heisenberg测不准关系。

我昨天看量子光学的书也看到这里产生一个民科的问题: 何以先验地知道粒子数算子和相位算子是dual的呢?

[ 本帖最后由轩轩于 2008-6-28 18:59 编辑 ]

<相对论通俗演义>《量子力学与相对论之人间词话》
重剑无锋大巧不工四十岁前恃之横扫天下
四十岁后不滞于物草木竹石皆可为剑

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星空浩淼

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33^#大中小发表于 2008-6-28 19:40 只看该作者

何以先验地知道，粒子数算子和相位算子是dual的呢?
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个问题一点也不民科，毕竟很不直观（顺便说一句，共轭的英文单词有conjugate和adjoint，但好像没有用对偶dual来描述的）。

在量子力学中，量子化过程是把经典的Poisson括号{，}换成量子对易括号[，]/ih，其中i是虚数单位，这里用h表示除以2π之后的Planck常数，为方便计后来用自然单位制：h=c=1。在分析力学中，作正则变换之后的可积系统会有作用变量J和它的共轭角变量φ（广义坐标－动量对），它们满足Poisson括号{J，φ}＝1（满足这个方程可以看作是对正则共轭对的定义）。在进行量子化时，作用变量J量子化为粒子数算符N，角变量量子化为相位算符Φ，正好它们也满足量子力学对易关系：[N, Φ]=i，这就是粒子数算符和相位算符构成canonically conjugate pair的物理背景。更为具体的，只有靠自己去翻书了解了。

值得一提的是，由于角度或者相位取值范围是0到2π，而且粒子数算符是一个非负定的算符（即其本征值非负），而不是从负无穷到正无穷，这使得直接把相位算符Φ对应量子力学中的力学量时，存在严重的问题，会导致一些矛盾。对此问题的解决方案，存在许多争论。比如有人利用量子代数的循环表示来解决这个问题。在量子光学中，为了避免这个问题，通常取cosΦ或者sinΦ、而不是Φ本身，作为相位算符

从Fock空间 Poisson括号分析力学中，作正则变换之后的可积系统会有作用变量J和它的共轭角变量φ（广义坐标－动量对），它

（YC）从Fock空间与场量子化胡侃开来

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