由于弯曲，流形上的坐标架只有局部的意义。流形上某一点的切空 间里的向量因此也只对于该空间而言具有向量行为。不同点的切空间相 互没

由于弯曲，流形上的坐标架只有局部的意义。流形上某一点的切空 间里的向量因此也只对于该空间而言具有向量行为。不同点的切空间相 互没有关系，是各自独立的。前面提到流形上的向量场，在流形的每一







点的切空间中取一个向量。不同点上的向量之间也是无关的。相对论性
要求物理的方程在坐标变换下保持协变的形式，所以物理的量通常由向 量描写，物理方程是这些向量的微分方程。在考虑引力之前，时空是平 直的，各时空点的切空间全部重合在一起，它们中的向量有相同的变换 关系。考虑引力之后，时空不再是平直的，时空各点的切空间不再重合， 而是原则上相互独立的。这样就带来一个问题，即如何定义向量场关于 时空坐标的微商。微商涉及两邻近点上向量的差，但由于两点的向量空 间各自独立，两点的向量之差不再是向量，所以简单地按通常办法得到 的微商不再具有向量的性质，这会破坏方程在坐标变换下的协变性。为 此，必须设法使不同点的向量发生联系，比如把一点的向量“平行”移 动到另一点，然后和那一点的向量进行比较。把不同点的向量联系起来 的关系称为联络，在流形上各点的联络构成流形上的函数。有了联络就 可以定义协变的微商。联络赋于了流形一定的几何结构。在流形上给出 度规函数会自然诱导联络，同时，流形的形状就更为“固定”了。于是 我们就可以讨论流形的弯曲情况