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物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。
作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。
好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
正定矩陣的判斷 Positive Definite Matrix
如何判斷一個矩陣是否為正定矩陣？
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首先，請先特別注意到我們所討論的正定矩陣必須有對稱的性質。
（有些書上定義上不要求對稱） -
要判斷一個矩陣是否正定，當然我們可以從其定義來做，不過可以發現，粉難﹍﹍﹍
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所以在課本中提到了一些「正定矩陣的性質」、以及「正定矩陣的等價性」可以讓我們來利用；事實上張老師也說的明白，當 A 為對稱矩陣，請將矩陣 A 分解為 LLt ，若其中 L 為對角線元素為正的下三角矩陣；這是正定的等價條件，意即若此 L 存在，則 A 為正定，課本也提供了演算法（Choleski's factorization method），所以要做的事情其實很簡單，把這個 L 算出來，如果算不出來，表示 A 就不是正定了。
哪一種情況才算不出來？注意到 L 的對角線元素都必須做開平方根處理，若為負數開平方，是不是不滿足對其限制了？所以要做的就是檢查他是不是個負數。
容易出錯的地方：
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有一些同學覺得 Choleski's factorization method 的效率並不高，提出幾個方法來改善效率。但對效率問題，有一些組把整個 L 求出來才得到對角線元素不為正的結論，但這事實上是沒有必要的，尤其你宣告的都是 REAL 或 REAL*8 ，面對負數開平方根的結果就是 Inf 了，誇張的印出來讓使用者自己判斷？就算程式有自行判斷的能力，但遇到第一個 Inf 的可能時就可以中斷而不需要繼續算下去了，否則這樣求出的 L 矩陣有什麼用途嗎？
（這個終止判斷可能不好寫，但最糟糕的不過是用個 GOTO 囉！） -
而有一些組則建議，利用「正定矩陣的性質」來做檢查，課本也提到了四個性質，所以利用課本如非奇異的、對角線元素會大於零等條件，既使成立，也不能保證其為正定矩陣。
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若利用「正定矩陣的等價性」來做判斷，請注意他們的先決條件是 A 一定要是對稱的。另外，還要注意可行性及效率問題。
如：在 A[i] 非奇異且 letA[i]>0 對 i=1,2,3,...,n 全成立才行，不是容易利用的。 -
有些組則是提出先利用幾個簡單的「正定矩陣的性質」來做篩選，剩下的才做 Choleski's factorization method 以提昇效率，這樣的想法便很好。不過可惜的是沒有一組去計算效率的差別，所以真的有助於提昇效率嗎？
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還有，A 正定則可以做 LLt 分解，這樣的等價條件必須在 A 為 n by n 對稱矩陣方成立；所以檢查對稱是必要的，而非幾位同學誤以為只是先做過濾的非必要檢查哦！
