卷积01 系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（
我来说卷积 
精选
||
俺写了那么“精彩”的数学科普没人看，却让不是搞数学的人写的数学占了上风，杯具啊，实在是杯具。是俺的数学水平太高还是你们的数学欣赏水平太低？亦或俺写的太专业？这回来点不专业的。
唐老师用输液过程解释卷积的确有点意思，比较容易让人接受，老邪的方法更简明易懂，不过老邪的方法可以解释怎么定义卷积，却不能说明为什么要定义卷积。
如果我没有记错，卷积最早来自于信号系统理论，后来被数学家们发扬光大了，而且其威力已经远远超出了发明者的初衷。
先来看信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为
Y(t)=h(t)x(t)，
然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（<t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是
y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，
离散情况下就是级数了。
我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了
Y(u)=X(u)H(u)
其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积。
信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用，说起来就话长了，容后再表。
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28chensuiyangphd9992000liaocwwujingzhixsquaretangchangjie陈安博士张志东xcfcnliangjinzlyangzhxfishslrseeryuewenzhu陈龙珠adinaliuwangxh钟炳XinliangzhuBaoHaifeiliangqiangsummerice9tiancanronghcy98765jiaolAbelGaloisBabituofrost6
发表评论 评论 (29 个评论)
- [29] 匿名
- 钻木取火更容易理解
- [28]Babituo
- 如果把导线比作水管，那么，电容是入水口在上的容器（水朝下泄形成漩涡），而电感则是入水口在下的容器（水向上涌形成漩涡）。
- 博主回复(2011-3-28 16:25)：呵呵，有趣的比喻
- [27]Babituo
- 系统如果是一个电路，那么系统的响应的延迟作用，来源于系统内部的储能元件，也就是电容或电感元件。所以，本质是电能和磁能的存储效应，导致了电路系统的延迟响应的存在。电能存储类似一个向下的漩涡，而磁能存储类似一个向上的漩涡。输入的能量经过漩涡存储之后才输出，所以带来延迟。
不断的输入，在漩涡中叠加，然后输出，这便是卷积的结果。
所以，“卷积”描述的是漩涡式的处理，似乎真的理解了。
- [26]frost6
- 更改：[25]提问中第二式应为y(s)=∫v(t)h(s-t)dt
- [25]frost6
- 曹老师一系列关于卷积的科普文章真好，深入浅出，期待读到更多。有一个疑问请教一下。从曹老师设定的前提出发，最后的数学关系似应是
y(s)=∫h(s-t)dx(t)
或者
y(s)=∫v(t)h(s-t)d(t), 这里v(t)是x(t)对时间的导数。
不知对吗？ - 博主回复(2011-3-28 13:44)：第一个积分不是通常意义下的Riemann积分，而是LS积分，如果X(t)是常意下可导的，当然就可以写成第二个积分
- [24]Babituo
- 学习了。我理解一下，看对不对？
主要是因为系统的输出和输入之间存在延迟作用，也就是一个输入对输出所产生的影响不是一瞬间的，而是会影响“一段时间”的，有时甚至是，从输入产生的时刻，到系统今后“一辈子”这段时间的。对吧？
这样的话，前面的输入对系统所产生的影响作用还没有结束，后面的输入的新的作用又来了，所以，在一个时刻系统的输出，会和早先一段时间累积下来的输入有关。
于是，输出和输入的关系，不是瞬间的乘积关系，而是不同时刻的输入与传递的乘积关系在时间上的累积结果的关系。
对吗？
所以，有延迟的存在是关键。
比如，下一盘围棋，早先下的子，它的作用是影响全盘整个进程的，后面下的子的效果，一定要和前面所有的子的效果累积起来，才是棋盘上的对局现状。
这里，棋子效果是有延迟作用的，有时不但不衰减，还可能被加强。关键是有持续的作用，或许是这些作用，影响了系统的结构，才导致作用的持久化。 - 博主回复(2011-3-28 13:43)：我的感觉是这样的
- [23]zyw1983
- 原来搞控制一直在用积分变换后的卷积啊，呵呵
- 博主回复(2011-3-24 11:30)：好像你说的也对
- 博主回复(2011-3-24 11:29)：应该说是卷积的积分变换
- [22]shatan
- 工程师说卷积
物理系统：一对弹簧（k）和阻尼（c）元件，支撑着一个质量块（m），组成一个单自由度系统。‘质量块（m）可在垂直平面内做上下往复运动。m储存动能，k储存势能，c消耗能量。
运动方程：mx’’ + cx’ + kx = f(t)。其中，x’’, x’, x 分别为加速度，速度和位移。f(t) 表示加在质量块上的外力。
输入输出：系统在外力f(t)的作用下就会产生运动，因此，我们可以把f(t)看作输入，把运动的位移x(t)看作输出。对于一个给定的输入和初始条件，输出取决于系统的属性，即，m, c 和k 的值.
例1：在t=0时，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP1表示，单位用牛顿秒表示。IMP1也可理解为一个很大的常力F其作用时间段为dt，即IMP1= F*dt（dt很小）。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP1*e^(-a2*t)*sin(a3*t)。其中a1, a2, a3为可计算常数，指数部分负责振幅衰减，正弦部分负责震荡。
例2：在t = t1时 (t1 > 0)，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP2表示，单位用牛顿秒表示。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP2*e^(-a2*(t-t1))*sin(a3*(t-t1))。
例3：外力f(t)是一个随时间变化的连续函数，那么如何求出在f(t)作用下系统的响应呢，即x(t) = ? 这里我们首先把f(t)曲线的时间轴分成n段，段长为dt，即所谓的离散化。现在我们看看其中任何一段，比如在ti的那段：高度为f(ti)，宽度为dt，我们可以把这一段看作为一个冲击力，大小为f(ti)*dt。根据例2，我们知道如何计算在此冲击力作用下系统t > ti后的响应。这里要注意的是，还有1到（i-1）段的所有冲击力对当前系统的运动还在起所用，所以必须考虑进来，即，
x(ti) = sum(f(tj)*dt*a1* e^(-a2*(t-tj))*sin(a3*(t-tj))), j=1…i
当dt趋于无穷小时，上式就变成了积分
x(t) = a1* e^(-a2*t)*int(f(tau)* e^(a2*tau)*sin(a3*(t-tau), tau = 0 …t))
就此，得到了著名的卷积分。给定一个输入f(t), 就可以求出它的输出x(t)。 - 博主回复(2011-3-24 10:36)：谢谢提供！
- [21]liangqiang
- 建议老曹向老邪学习，说点直观的、可以切入本质的东西。
- 博主回复(2011-3-24 08:55)：这还不直观？
- [20]wangxh
- 俺觉得还是不咋的！原因很简单，俺还是不懂！俺听人说过，好教师讲课，外行能够听懂，外行觉得讲得好。当然，老曹不要伤心，俺指的是对人讲课，俺只是“听琴的......”
- 博主回复(2011-3-24 08:55)：你咋就这么笨呢
我来说卷积 精选
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俺写了那么“精彩”的数学科普没人看，却让不是搞数学的人写的数学占了上风，杯具啊，实在是杯具。是俺的数学水平太高还是你们的数学欣赏水平太低？亦或俺写的太专业？这回来点不专业的。
唐老师用输液过程解释卷积的确有点意思，比较容易让人接受，老邪的方法更简明易懂，不过老邪的方法可以解释怎么定义卷积，却不能说明为什么要定义卷积。
如果我没有记错，卷积最早来自于信号系统理论，后来被数学家们发扬光大了，而且其威力已经远远超出了发明者的初衷。
先来看信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为
Y(t)=h(t)x(t)，
然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（<t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是
y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，
离散情况下就是级数了。
我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了
Y(u)=X(u)H(u)
其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积。
信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用，说起来就话长了，容后再表。
全部作者的其他最新博文
- • 啥叫蝶恋花？
- • 你见过最名贵的文房四宝吗？
- • 我很渺小，可我也很美丽
- • 爱莲说
- • 一样的夜晚，不一样的珠江
- • 天下第一毒树--见血封喉
28chensuiyangphd9992000liaocwwujingzhixsquaretangchangjie陈安博士张志东xcfcnliangjinzlyangzhxfishslrseeryuewenzhu陈龙珠adinaliuwangxh钟炳XinliangzhuBaoHaifeiliangqiangsummerice9tiancanronghcy98765jiaolAbelGaloisBabituofrost6
发表评论 评论 (29 个评论)
- [29] 匿名
- 钻木取火更容易理解
- [28]Babituo
- 如果把导线比作水管，那么，电容是入水口在上的容器（水朝下泄形成漩涡），而电感则是入水口在下的容器（水向上涌形成漩涡）。
- 博主回复(2011-3-28 16:25)：呵呵，有趣的比喻
- [27]Babituo
- 系统如果是一个电路，那么系统的响应的延迟作用，来源于系统内部的储能元件，也就是电容或电感元件。所以，本质是电能和磁能的存储效应，导致了电路系统的延迟响应的存在。电能存储类似一个向下的漩涡，而磁能存储类似一个向上的漩涡。输入的能量经过漩涡存储之后才输出，所以带来延迟。
不断的输入，在漩涡中叠加，然后输出，这便是卷积的结果。
所以，“卷积”描述的是漩涡式的处理，似乎真的理解了。
- [26]frost6
- 更改：[25]提问中第二式应为y(s)=∫v(t)h(s-t)dt
- [25]frost6
- 曹老师一系列关于卷积的科普文章真好，深入浅出，期待读到更多。有一个疑问请教一下。从曹老师设定的前提出发，最后的数学关系似应是
y(s)=∫h(s-t)dx(t)
或者
y(s)=∫v(t)h(s-t)d(t), 这里v(t)是x(t)对时间的导数。
不知对吗？ - 博主回复(2011-3-28 13:44)：第一个积分不是通常意义下的Riemann积分，而是LS积分，如果X(t)是常意下可导的，当然就可以写成第二个积分
- [24]Babituo
- 学习了。我理解一下，看对不对？
主要是因为系统的输出和输入之间存在延迟作用，也就是一个输入对输出所产生的影响不是一瞬间的，而是会影响“一段时间”的，有时甚至是，从输入产生的时刻，到系统今后“一辈子”这段时间的。对吧？
这样的话，前面的输入对系统所产生的影响作用还没有结束，后面的输入的新的作用又来了，所以，在一个时刻系统的输出，会和早先一段时间累积下来的输入有关。
于是，输出和输入的关系，不是瞬间的乘积关系，而是不同时刻的输入与传递的乘积关系在时间上的累积结果的关系。
对吗？
所以，有延迟的存在是关键。
比如，下一盘围棋，早先下的子，它的作用是影响全盘整个进程的，后面下的子的效果，一定要和前面所有的子的效果累积起来，才是棋盘上的对局现状。
这里，棋子效果是有延迟作用的，有时不但不衰减，还可能被加强。关键是有持续的作用，或许是这些作用，影响了系统的结构，才导致作用的持久化。 - 博主回复(2011-3-28 13:43)：我的感觉是这样的
- [23]zyw1983
- 原来搞控制一直在用积分变换后的卷积啊，呵呵
- 博主回复(2011-3-24 11:30)：好像你说的也对
- 博主回复(2011-3-24 11:29)：应该说是卷积的积分变换
- [22]shatan
- 工程师说卷积
物理系统：一对弹簧（k）和阻尼（c）元件，支撑着一个质量块（m），组成一个单自由度系统。‘质量块（m）可在垂直平面内做上下往复运动。m储存动能，k储存势能，c消耗能量。
运动方程：mx’’ + cx’ + kx = f(t)。其中，x’’, x’, x 分别为加速度，速度和位移。f(t) 表示加在质量块上的外力。
输入输出：系统在外力f(t)的作用下就会产生运动，因此，我们可以把f(t)看作输入，把运动的位移x(t)看作输出。对于一个给定的输入和初始条件，输出取决于系统的属性，即，m, c 和k 的值.
例1：在t=0时，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP1表示，单位用牛顿秒表示。IMP1也可理解为一个很大的常力F其作用时间段为dt，即IMP1= F*dt（dt很小）。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP1*e^(-a2*t)*sin(a3*t)。其中a1, a2, a3为可计算常数，指数部分负责振幅衰减，正弦部分负责震荡。
例2：在t = t1时 (t1 > 0)，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP2表示，单位用牛顿秒表示。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP2*e^(-a2*(t-t1))*sin(a3*(t-t1))。
例3：外力f(t)是一个随时间变化的连续函数，那么如何求出在f(t)作用下系统的响应呢，即x(t) = ? 这里我们首先把f(t)曲线的时间轴分成n段，段长为dt，即所谓的离散化。现在我们看看其中任何一段，比如在ti的那段：高度为f(ti)，宽度为dt，我们可以把这一段看作为一个冲击力，大小为f(ti)*dt。根据例2，我们知道如何计算在此冲击力作用下系统t > ti后的响应。这里要注意的是，还有1到（i-1）段的所有冲击力对当前系统的运动还在起所用，所以必须考虑进来，即，
x(ti) = sum(f(tj)*dt*a1* e^(-a2*(t-tj))*sin(a3*(t-tj))), j=1…i
当dt趋于无穷小时，上式就变成了积分
x(t) = a1* e^(-a2*t)*int(f(tau)* e^(a2*tau)*sin(a3*(t-tau), tau = 0 …t))
就此，得到了著名的卷积分。给定一个输入f(t), 就可以求出它的输出x(t)。 - 博主回复(2011-3-24 10:36)：谢谢提供！
- [21]liangqiang
- 建议老曹向老邪学习，说点直观的、可以切入本质的东西。
- 博主回复(2011-3-24 08:55)：这还不直观？
- [20]wangxh
- 俺觉得还是不咋的！原因很简单，俺还是不懂！俺听人说过，好教师讲课，外行能够听懂，外行觉得讲得好。当然，老曹不要伤心，俺指的是对人讲课，俺只是“听琴的......”
- 博主回复(2011-3-24 08:55)：你咋就这么笨呢
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