谱是线性变换的“奇异点”的全体，在有限维空间上就是线性变换的特征值全体。特征值有多重要，谱就有多重要;平面上的点可以排序，但复平

来源: marketreflections 于 2011-10-05 16:12:07 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

你懂测度吗（III）？

已有 3532 次阅读2009-4-29 13:14|个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

上回说到欧氏空间中的确存在不可测集合，这就向我们提出了一个问题：什么样的集合是可测的？什么样的集合是不可测的？或者说如何判断一个集合可测或不可测？

有两种方法来作出判断，其一是采用内外测度的办法，回忆微积分中求曲边梯形的面积时，通过将函数的定义区间分割成若干小区间，然后以这些小区间为边作若干小矩形包住曲边梯形，同时又让曲边梯形包住以这些小区间为边的另一些小矩形，如果当划分越来越细时，内外小矩形面积之和趋于同一个值，则曲边梯形的面积就存在。否则就不存在，内外测度方法与此很相似，集合E的外测度是包住E的一些小长方体体积之和的下确界，如何作内测度呢？为叙述方便，以直线上有界点集E为例，不妨设，若E可测，（a，b)-E也应可测，于是应有

m*[(a,b)-E]=m*(a,b)-m*E=b-a-m*E。如果开区间{I_i} 盖住了（a,b）-E，则

，

因此一种自然的方式是定义E的内测度为：

m_*E=b-a-m*[(a,b)-E]

当 m_*E=m*E时，称E是可测集。

直观地解释内测度就是将（a，b）挖去一些开区间后剩下部分的长度之上确界。不难发现，内测度其实就是包含在E中的闭集的测度之上确界；而闭集的测度可以定义为某个包含它的闭区间长度减去其余集的构成区间长度之和。

但是将这一方法推广到Rⁿ中会带来一些技术上的麻烦，所以通常采用另外一种方法来定义可测集，这就是著名的卡屋泰屋独利条件。

如果 E 是可测集（注意，我们尚未定义可测集）。 E^c=Rⁿ-E 也应当是可测的，于是应有

。

但m*Rⁿ为无穷大，由外测度性质3知m*E与m*E^c至少有一个为无穷大，所以上述等式恒成立。由此并不能得到关于可测性的任何实质性信息，因此，我们将E限制在任意的开长方体I上，考虑与是否可加，即对任意开长方体I，下式是否总成立：

假如对一切开长方体上式总成立，则可以证明对任意集合T，下式也成立

（证明略）。

我们就用该式来定义可测性。

定义假设E是Rⁿ的子集，如果对任意集合T，都有

(1)

则称E为Lebesgue可测集，此时称m*E为E的Lebesgue测度，简记为mE。

等式（1）称为Caratheodory（卡屋泰屋独利）条件，它有一个等价的叙述方式，即：对任意都有

（2）

事实上,若(1)成立,则对任意 ,取 ,则得

从而(2)成立。反之，若（2）成立，则对任意T ，取

从而由（2）得

而

故

。

有几个基本问题是必须回答的：1、哪些集合是可测的？2、可测集具有什么性质？特别地，可测集对于集合的交、并、差运算是否封闭？也即，可测集经过交、并、差运算后是否仍然可测？3、可测集具有什么样的结构？与我们熟悉的集合（如开集、闭集）差别有多大？只有回答了这些问题，才有可能真正了解可测集，也才能进一步讨论可测集上的函数—可测函数。

幸运的是，这些问题都有比较完满的答案，不过作为普及性读物，再往下讨论就不太合适了。关于测度的系列文章到此结束，有兴趣者可以参看相关的书籍。

测度论已经形成一套内容十分丰富的理论体系，而且，抽象的测度论完全建立在公理化体系基础之上，你几乎看不到任何构造性痕迹，在测度论体系之下，概率成了一种特殊的测度，称为概率测度，尽管我们大多数上过大学的人都很熟悉概率论，但对现代概率论了解多少？你若不懂测度论，就无法跨越现代概率论这道门坎！了解分形几何的人都知道分形几何的基础是Hausdorff（豪斯道夫）测度，测度论之伟大由此可见一斑。

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发表评论评论 (23 个评论)

[13]cutefay 2009-5-1 22:36: 写得真专业，支持一下，内容飘过……嘿嘿
博主回复：谢谢侄女：）

[12]zh860626 2009-5-1 21:37: 不好意思
点错了
连发了三次
博主回复：没关系：）

[11]zh860626 2009-5-1 21:36: 谢谢曹老师啊，以后有什么问题还得麻烦你呀

[10]zh860626 2009-5-1 21:36: 谢谢曹老师啊，以后有什么问题还得麻烦你呀
博主回复：不客气：）

[9]zh860626 2009-5-1 21:36: 谢谢曹老师啊，以后有什么问题还得麻烦你呀

IP: 202.192.80.* [8][游客]小杨 2009-5-1 18:36: 老师，我们学院得开开物理学课程啦
博主回复：现在的学时已经够紧张了，不是我们想开就能开的，但数学系的同学时应该学点理论物理！

[7]隔壁家的二傻子 2009-5-1 00:20: 曹大侠好！

刚好！二傻正在和志东兄讨论“趋于无穷”与“等于无穷”的本质区别，请您指教以下说法是否有理？或错得一塌糊涂？
========================================
以“割圆法”计算PAI为例: 我们可以用很多等腰三角形来逼近一个圆, 当等腰三角形的底边趋近于无穷小时, 这些等腰三角形底边的连线就无限趋近于圆周, 但永远无法达到真正的圆周!

WHY? 因为当等腰三角形的个数趋于无穷大时, 这些等腰三角形底边的连线虽然看上去很象一个圆, 但实际上根本不是圆, 而是一种处处不可导的“类圆曲线”….直到等腰三角形的个数是真正的无穷大时, 才成为一个真正的圆---一种处处可导的光滑曲线!

趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!
(一个是处处不可导的类圆曲线, 一个是处处光滑可导的圆)
===============================================
博主回复：呵呵,前面的话都是对的,但趋于无穷大与等于无穷不一样,就像趋于零(无穷小)与零不同一样.你只要把无穷大转换成无穷小就不难看清楚了,这也是微积分早期无穷小(无穷大)困扰人们的问题(无穷小是"幽灵").

[6]zh860626 2009-4-30 23:54: 想问曹老师三个问题啊
一。测度论是由谁创建起来的，虽然测度论基本上是LEBESGUE测度的推广，但是也有它许多自己的性质。什么时候曹老师能够写写测度论它自己如何在LEBESGUE测度上发展起来的
二。还想问下支撑的具体意义是什么，看许多书籍都有SUPPORT，但不知道它的具体意义，为什么单独定义支撑这个定义。
三。谱是什么意思？为什么要这样命名？
这些都是很弱智的问题
望曹老师能够给予解答啊
博主回复：一、抽象测度论尽管比Lebesgue测度广泛，但要说测度论的创始人，恐怕还得归功于Lebesgue，当然，在Lebesgue之前也有很多人做过相关的工作，例如Borel测度。但抽象测度的思想应该源于Lebesgue。诚然，由于出现了不同的测度，就出现了如何比较的问题，于是有了绝对连续及相互奇异的测度概念。
二、对通常的函数而言，所谓支撑即函数值不为零的集合之闭包。广义函数的支撑说起来要复杂一些，非三言两语能说清楚，需要对相关知识有一定的了解，任何有关广义函数的书中都有介绍。另外还有匪分形式的支撑、支撑点、线、支撑超平面等。函数不为零的“范围”（即支撑或支集）有多大往往决定了问题的难度，通常，具有紧支集的函数要好处理得多。
三、谱是线性变换的“奇异点”的全体，在有限维空间上就是线性变换的特征值全体。特征值有多重要，谱就有多重要。

IP: 202.100.252.* [5][游客]2 2009-4-30 21:43: 学习了
博主回复：:)

[4]WJccn 2009-4-30 14:38: 一讲到高深的数学，就不得不提到“泛函分析”
可是我已经学了两遍的课程
仍然是一知半解，就是知道里边的定义，定理很多
很是抽象，很多课后的题目不会做
总的说来，我觉得我没有动力去好好钻研
老师总喜欢说：泛函高度抽象，高度概括出数学分析里边的内容
但是我想知道的是：泛函有什么具体的应用
我不想知道泛函有多美，我只想知道她有什么用。。
博主回复：你想知道泛函有什么用就去读读量子力学与控制论!; 平面上的点可以排序，但复平面不仅仅是个点集，它是有结构的，是数域。恰恰是这个结构决定了复数不能排序！

那篇大作居然是圈主推荐的，不妥！！！（得罪了，抱歉。）

谱是线性变换的“奇异点”的全体，在有限维空间上就是线性变换的特征值全体。特征值有多重要，谱就有多重要;平面上的点可以排序，但复平

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