豪斯道夫）测度 (dimensions):当划分越来越细时，内外小矩形面积之和趋于同一个值，则曲边梯形的面积就存在。否则就不存在

你懂测度吗（III）？

已有 3531 次阅读2009-4-29 13:14|个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

上回说到欧氏空间中的确存在不可测集合，这就向我们提出了一个问题：什么样的集合是可测的？什么样的集合是不可测的？或者说如何判断一个集合可测或不可测？

有两种方法来作出判断，其一是采用内外测度的办法，回忆微积分中求曲边梯形的面积时，通过将函数的定义区间分割成若干小区间，然后以这些小区间为边作若干小矩形包住曲边梯形，同时又让曲边梯形包住以这些小区间为边的另一些小矩形，如果当划分越来越细时，内外小矩形面积之和趋于同一个值，则曲边梯形的面积就存在。否则就不存在，内外测度方法与此很相似，集合E的外测度是包住E的一些小长方体体积之和的下确界，如何作内测度呢？为叙述方便，以直线上有界点集E为例，不妨设 ，若E可测，（a，b)-E也应可测，于是应有

m*[(a,b)-E]=m*(a,b)-m*E=b-a-m*E。如果开区间{I_i} 盖住了（a,b）-E，则

 

，

 

因此一种自然的方式是定义E的内测度为：

 

m_*E=b-a-m*[(a,b)-E]

 

当 m_*E=m*E时，称E是可测集。

直观地解释内测度就是将（a，b）挖去一些开区间后剩下部分的长度之上确界。不难发现，内测度其实就是包含在E中的闭集的测度之上确界；而闭集的测度可以定义为某个包含它的闭区间长度减去其余集的构成区间长度之和。

但是将这一方法推广到Rⁿ中会带来一些技术上的麻烦，所以通常采用另外一种方法来定义可测集，这就是著名的卡屋泰屋独利条件。

如果 E 是可测集（注意，我们尚未定义可测集）。 E^c=Rⁿ-E 也应当是可测的，于是应有

 

。

 

 但m*Rⁿ为无穷大，由外测度性质3知m*E与m*E^c至少有一个为无穷大 ，所以上述等式恒成立。由此并不能得到关于可测性的任何实质性信息，因此，我们将E限制在任意的开长方体I上，考虑与 是否可加，即对任意开长方体I，下式是否总成立：

 

 

 

假如对一切开长方体上式总成立，则可以证明对任意集合T，下式也成立

 

（证明略）。

我们就用该式来定义可测性。

定义 假设E是Rⁿ的子集，如果对任意集合T，都有

(1)

 

则称E为Lebesgue可测集，此时称m*E为E的Lebesgue测度，简记为mE。

等式（1）称为Caratheodory（卡屋泰屋独利）条件，它有一个等价的叙述方式，即：对任意 都有

（2）

 

 

事实上,若(1)成立,则对任意 ,取 ,则得

 

从而(2)成立。反之，若（2）成立，则对任意T ，取

,

从而由（2）得

 

 

 

而

故

。

有几个基本问题是必须回答的：1、哪些集合是可测的？2、可测集具有什么性质？特别地，可测集对于集合的交、并、差运算是否封闭？也即，可测集经过交、并、差运算后是否仍然可测？3、可测集具有什么样的结构？与我们熟悉的集合（如开集、闭集）差别有多大？只有回答了这些问题，才有可能真正了解可测集，也才能进一步讨论可测集上的函数—可测函数。

幸运的是，这些问题都有比较完满的答案，不过作为普及性读物，再往下讨论就不太合适了。关于测度的系列文章到此结束，有兴趣者可以参看相关的书籍。

测度论已经形成一套内容十分丰富的理论体系，而且，抽象的测度论完全建立在公理化体系基础之上，你几乎看不到任何构造性痕迹，在测度论体系之下，概率成了一种特殊的测度，称为概率测度，尽管我们大多数上过大学的人都很熟悉概率论，但对现代概率论了解多少？你若不懂测度论，就无法跨越现代概率论这道门坎！了解分形几何的人都知道分形几何的基础是Hausdorff（豪斯道夫）测度，测度论之伟大由此可见一斑。