测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合，从而得到一个级数Σ |I_n|，当我们对它取“最小值”时，可能其值等于0，如Cantor

来源: 于 2011-10-05 15:30:50 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

有限开覆盖定理，谁学得比较好？给我讲讲

大笨狗

2009-03-05 17:22:13来自: 大笨狗

我一直搞不懂这个定理什么意思。

  • chakhar

    2009-03-11 01:09:53 chakhar (和你在一起)

    同问啊 这个问题一直似懂非懂的 总觉得差不多是那么回事 但心里不踏实

  • 大笨狗

    2009-03-11 13:56:03 大笨狗

    实变函数里会用到这个定理。我看不大懂。

  • 2009-03-22 11:52:54 aqua2001

    在连续域上（就当成实数域好了），一个有界闭集(就当成有界闭区间)的任意一个开覆盖都有有限子覆盖。简单地说，就是如果能用一批开区间覆盖住有界闭集的每个点，那么从这批开区间里找到有限个就可以同样地完成任务。道理大概是这样的：本来，一个开区间想覆盖一个点的话，肯定两端都超出一些。如果必需无穷多个开区间才能完成这个任务，那肯定在某个点的附近，这无穷多个开区间的端点要无穷地接近这个点（而不能达到）才行。但是如果是这样，那这个点本身就没人覆盖了。如果再搞一个开区间把这个点覆盖住，那因为区间肯定两端都超出这个点，所以正好把刚才那无穷多个区间的“无穷尾巴”截断。

    配合画图可能好一点，光这样说的确说不清楚。不知这样的解释你能不能看明白？

  • 大笨狗

    2009-03-23 10:19:18 大笨狗

    其实，问题的关键在于，什么叫覆盖，是指(2, 3)可以盖住2.5吗？还是指(2, 3)可以盖住(2, 3)之间的所有点？
    拿实数域来说，从负无穷到正无穷，可以盖住所有点，也就是说，没必要是闭区间，只要是个区间就可以了。那有限开覆盖定理还有什么意义呢？
    十分感谢楼上，我还是没有明白。

  • 2009-03-23 11:21:10 aqua2001

    (2,3)可以盖住2.5，当然同时也盖住了2.6或者2.7。有限覆盖定理的意思不是为了拿开区间把闭区间盖住就完事了，如果光想盖住，那一个(-inf,+inf)就可以结束战斗。这种过分大的区间，肯定能够盖住任何你想到的闭区间。但是如果你想要达到的效果是必须使用无穷多个开区间才能盖住那个闭区间呢？

    或者说，你想达到的效果是：精心地调整使用的开区间的位置和大小，使得为了覆盖住这个闭区间，必须使用无穷多个开区间才得以完成。这个任务你能做得到吗？当然，过大的区间是不能使用的。否则有它一个就够了，还要别的干什么？当然，区间的位置也是需要精心安排的，否则几个区间联合起来就覆盖住了，哪里有“无穷多个”的必要？
    但是，定理中谈到一个开覆盖必有有限子覆盖，即便你尽力去避免，我也总可以在你使用的开区间里挑出有限个，来结束战斗。或者说，对一个有界闭区间来说，想要覆盖住它，是不可能“必须”使用无穷多个开区间的。

  • 大笨狗

    2009-03-24 12:32:02 大笨狗

    那举例来说，[2, 3]可以用有限个开区间覆盖吗？怎么覆盖法？（2+1/n，3-1/n）是可以覆盖的，但也都必须是无穷多个。

  • 潘格温

    2009-03-24 13:51:17 潘格温

    2009-03-24 12:32:02 大笨狗 　　那举例来说，[2, 3]可以用有限个开区间覆盖吗？怎么覆盖法？（2+1/n，3-1/n）是可以覆盖的，但也都必须是无穷多个。


    [2, 3]可以被有限覆盖，就是说给一族覆盖它的集合族，可以找出有限个集合覆盖这个闭区间。
    但这个集合族（2+1/n，3-1/n）根本就不能覆盖[2, 3]，它们的并是（2，3）

  • 2009-03-24 21:38:35 aqua2001

    正如楼上所说，(2+1/n，3-1/n)并不能覆盖住[2,3]。它能覆盖得了(2,3)就不错了，那两个端点是盖不住的。如果这批区间真的能覆盖得了[2,3]，那么我定然能从中拿出来有限个区间，就完成同样的任务。这是有限覆盖定理的意思。

    其实，你不要直接说让我找到有限个区间来覆盖[2,3]。那我不是怎么找都可以了吗？你应该给我一个使用了无穷多个区间成功地覆盖[2,3]的例子，我肯定能从中找到有限个区间就足以完成同样的工作。你要是觉得这一点有些不让人信服，我们倒是完全有价值去试验一下。

  • 三无人员

    2009-03-25 20:42:52 三无人员 (前往欧米茄点)

    有限开覆盖用在哪里？判断出一个集是“紧”的，有什么好处？就是说明了那个集有界闭？有界开有什么不好吗？复变函数中边界上的性质往往很麻烦，所以很多分析都在开圆上处理。那么定义“紧集”的目的是什么？

    我也一直没搞懂。现在的数学书一上来就是公理、定义、定理，为什么却几乎不会提到，让我这样脑子不够的人看起来实在吃力。

  • 2009-03-25 22:16:05 aqua2001

    从数学分析来说，连续函数在紧集上能达到最大最小值，有界开集上不行。当然紧的概念真正的价值不在这里。在实数域或者R^n上，紧和有界闭恰好是一样的，但其实本质上这不是一回事。是因为实数的标准定义里保证了实数的连续性，所以实数被称为紧空间。学一些泛函分析就明白紧空间在什么意义上有用了。

  • 豆瓣罐头

    2009-03-25 23:21:36 豆瓣罐头

    其实我有个问题，复分析，实分析，泛函分析，拓扑学

    究竟应该按什么顺序学习。我们这学期是复变函数和实变函数一起学的，但有人说应该先学复变。我们上实变的时候，那老师又说需要用拓扑的知识，但我们拓扑又还没学。唉，迷惘~~~

  • 2009-03-26 10:46:11 aqua2001

    其实无所谓，按道理说，点集拓扑应当学得稍早一点，不过太早了学生不了解背景。在学实分析的时候可以现补。代数拓扑靠后一些比较好，在初等微分几何后面。复分析和实分析谁早一点都无所谓。泛函分析一般是在实分析和点集拓扑之后。

  • 2009-03-27 20:51:01 渔舟逐水

    这个定理就是沟通了无限和有限的关系。以数轴上的数为例，对每个点都可以找一个以邻域，由于稠密性，那么邻域就应该是无限多个。但是我们是可以找到有限多个这样的邻域来完成这个覆盖的。要理解这个定理，主要是要看它有什么用。知道它的用处应该就可以了。至于证明我们恐怕永远都只能看懂字面的意思了。

  • 三无人员

    2009-03-29 13:34:59 三无人员 (前往欧米茄点)

    “要理解这个定理，主要是要看它有什么用。”

    有什么用了？就是不太明白有什么用才那么迷糊。

  • 2009-04-23 11:13:18 luyimingg

    看看 菲尔茨的书 上面对于这个定理有比较详细的介绍 而且还有如何用这个定理证明康托定理

  • 2009-04-23 12:33:44 [已注销]

    曾经有两年我一直觉得书上这个定理的证明是错的
    前些天我一看，形式上是没错
    研究中。。

  • 2009-04-24 20:25:50 scarez

    很多时候都是用来寻找一个一致的界

  • treymackey

    2009-04-24 21:01:56 treymackey (fantastic)

    去看周民强写的数学分析 三册中的第一册 自己就会清楚了

  • treymackey

    2009-04-24 21:03:07 treymackey (fantastic)

    特别是看看如何用有限覆盖定理证明“闭区间上的连续函数是一致连续的” 就能很好的理解了

  • hoxide

    2009-04-25 20:57:37 hoxide

    这个东西与其说是定理, 还不如说是"公理"就像Zorn lemma一样. 叫做实数的完备性. (还有有几个等价命题, 比如单调收敛原理等). 本科读的是华师大的数分, 应该讲得挺清楚了.

  • 2010-10-17 07:55:56 Math

    本人学习后的一点感悟：有限开覆盖证明了“覆盖闭区间的无限个开区间中可以选出有限个开区间，来完成覆盖这个闭区间”，无限转化为有限为某些证明带来了方便：例如因为一个无限数集不一定存在最大最小数，但有限数集一定可以找到最大最小数，可以通过有限开覆盖定理，进行转换对一些问题进行证明。例如，闭区间连续函数的有界性的证明可以从如下思路入手：存在覆盖闭区间的无限个开区间集==〉由有限开覆盖定理：由有限个开区间可完成此任务==> 由函数连续＝＝＞其局部有界，可以得到每个开区间上函数的上／下界＝＝＞因为是有限个所以可以　通过MAX( M1,M2,..MN)/ MIN(M1,M2,..MN)找到在整个区间函数的上下界．（此结论对无限数集合不一定成立）．


    可由连续函数的局部有界性，到无限开覆盖集合上有界，并应用有限覆盖定理得到，一定存在有限个子开覆盖能完成这一工作，由无限到有限个子集上的有界，最后可以得到在整个闭区间上有界的结论。

  • xingstar

    2010-11-10 05:34:10 xingstar (最近比较烦比较烦比较烦)

    to 楼主

    有界集的概念是来源于度量空间，那么在拓扑空间中刻画一个类似于度量空间中的有界集，这就靠有限开覆盖定理来刻画了。-- 其实就这么简单 :-)

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你真的懂分形吗?—历史上的第一个分形集(续)

已有 2106 次阅读2008-11-3 13:36|个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

各位大侠被我搞懵了吧？都是分形这个魔鬼闹的！别看杨大侠把分形夸的天花乱坠，郑融老师把分形说得那么富有诗意，其实，你要真正理解它、描述它就没那么激动人心了。
打个比方，现在还有谁熟悉DOS操作系统？可是倘若你要把电脑的五脏六俯扒开来看，还就得DOS系统，然而那复杂的命令让很多人感到头疼。Windos固然让全世界人民都享受了电脑带来的方便与快乐，但同时又让很多人成了实际上的机盲。这个问题还是留给李亚辉这个大民科去研究吧，我要将这篇分形进行到底。
为了让大家读起来轻松一点，不至于因为读了这篇文章头发变白了然后花钱去染发，我就不再讲得太细致，而是粗线条地介绍。
上回说到测度问题，该怎样定义测度呢？假设E是直线上的一个集合（不妨假定它是有界的），我们用一列开区间I_n（n=1,2,3,…）把它盖住，即I_n的并集∪I_n包含了E，I_n的长度当然是可以求的，用|I_n|表示I_n的长度，如果E有长度的话，当然应该小于盖住它的那些区间序列的长度之和：Σ |I_n|≥|E|（注意|E|尚未定义）。由于盖住E的开区间序列很多，所以取Σ |I_n|的“最小者”，这个最小者可能是达不到的，所以微积分里有个词“下确界”，君若不知就不必管它了，权当最小者，这个“最小者”称为E的外测度。这是不是很象微积分里的分割求和？它是不是可以作为E的一种度量呢？如果这个量可以作为E的“长度”，那它应该具备长度概念所有的特征，例如，假如A，B是两个不相交的集合，则应该有|A∪B|=|A|+|B|，令人遗憾的是，外测度未必具有这种性质！于是产生了“不可测集”的概念，这有点象Riemann不可积函数。满足某种可加性的集合称为可测集，否则称为不可测集。
还是用例子来说话吧，有理数的测度是多少？设{r_n}为有理数全体，对任意的ε>0，令I_n=(r_n-ε/2^n, r_n+ε/2^n)，则∪I_n包含了{r_n}，于是Σ |I_n|>|{r_n}|，不等式左边是多少？它等于2ε，由于ε是任意的，所以|{r_n}|=0，这就是说，有理数集的“长度”为0，简单吧？再来看看Cantor集C，不难计算，第一次挖去了1/3长度，第二次挖去了两个1/9长度，第三次挖去了四个1/27长度，依此类推，第n次挖去了2^{n-1}个1/3^{n}长度,从而挖去的总长度为Σ2^{n-1}/3^{n}=1。嘿嘿，好象被挖得差不多了，事实上，C的测度（“长度”）的确等于0（第一个问题有答案了）！似乎C所含的点很少了，可以看到C在[0，1]中任何点处都不稠密。我们知道有理数集合是处处稠密的，如此说来岂不是有理数集所含的点比C中的点多？如果你这么看，你的直觉就把你欺骗了，事实上，C中的点与[0，1]区间一样多！惊讶吧？想知道吗？这里暂且放过，以后再论。
上述两个例子告诉了我们什么？上面的测度概念无法区分有理数集与Cantor集，我们需要更精细的测度，于是Hausdorff测度横空出世了！测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合，从而得到一个级数Σ |I_n|，当我们对它取“最小值”时，可能其值等于0，如Cantor集与有理数集。可是如果我们给|I_n|加上一个小于1的非负指数α，即考察级数Σ |I_n|^{α}，你认为它还收敛到0吗？我想你应该很容易找到反例的，加上指数α后级数可能收敛也可能发散，这样就出现一个临界状态，即存在某个数d，当α<d时Σ |I_n|^{α}永远等于∞,当α>d时，Σ |I_n|^{α}的“最小者”（下确界）等于0,只有当α=d时Σ |I_n|^{α}的“最小者”才是个非零的有限数。我们把d称为集合的Hausdorff维数，也称为分数维。
说是分数维，其实这个数完全可能是无理数，例如Cantor集的维数是log2/log3（可以通过自相似性公式来计算），有理数集的维数是0（你自己都可以证明它）。
千万别让我这篇文章把你吓得再也不敢碰分形了，当你真正扒了它的外衣，你会发现，它不仅外表美，心灵更美！它思想的光辉会让你为之神魂颠倒。
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发表评论 评论 (7 个评论)

IP: 116.228.253.* [7][游客]fractalyuan 2009-3-12 11:24
 
呵呵,我就是学分形几何,确实是我们专业最基本的东西
博主回复：^_^
[6]iwesun 2008-11-19 14:44
 
本来就和面积无关,比的是长度.
博主回复：非也,"面积"是二维的"长度","长度"是一维的"面积",两者本是一个东东.你是受平面曲线长度的影响.
[5]iwesun 2008-11-19 02:33
 
其实这个问题,俺比较理解,其实就是无穷大之间比大小,俺当年学高数的时候,有这么个问题,无穷大有个级别,就是x的n次方(x趋于无穷大),你的无穷大比x的n次方,就是小于n阶无穷大,但俺发现e的x次方,比有限阶无穷大还大,俺搞出了个无穷大的超阶,就是用e的e的....的x次方,(n次指数),俺当是专门证明这个是最大的区穷大的形式了,任何可写的有限无穷大的表达式,都是有限超阶的.严格的证明好像差一点点,时间长了,不知道丢到哪去了.
其实研究无穷大,还是为了有限,单纯的无穷大,没啥意义.
博主回复：呵呵,你理解得不准确.如果从集合的基数角度来看,你的理解有一定道理,这里恰恰是对通常面积意义下面积为0的图形做测量.
[4]Bobby 2008-11-3 17:36
 
曹兄开始科普了
博主回复：科普一下试试.未必受欢迎
[3]考槃在涧 2008-11-3 15:43
 
c中的点与[0，1]中的一样多，并不奇怪，但最后点的总数应该是2的N次方才对呀，也就是点的总数总是偶数个，搞不懂，请老曹揭晓答案。
博主回复：呵呵,晕菜了吧?
IP: 125.73.79.* [2][游客]发明狂 2008-11-3 13:58
 
看了这一篇才发现这些概念以前也是学过的，只是全部还给老师了。用进废退，乃真理也。
博主回复：只要别把你头发看白就行,否则你找我要钱买染发水我不是亏大了?
[1]suxinhua 2008-11-3 13:44
 
杨大侠是谁啊，不会是目前网上传说的那个吧?
博主回复：杨大侠乃曹大侠的好兄弟杨玲是也.

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