黎曼 积分与勒贝格积分的区别 黎曼积分是将给定函数的定义域分小而 产生的, 而勒贝格积分是划分函数的值域而产生 的

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第 21 卷第 5 期 2007 年 9 月 甘肃联合大学学报( 自然科学版) Jo urnal of G ansu L ianhe U niv ersity ( N atural Sciences) V o l. 21 No . 5 Sept. 2007 文章编号: 1672 691X( 2007) 05 0099 04 浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别潘学锋 ( 石河子大学 数 学系, 新疆 石河子 832003) 摘 要: 从积 分的定义, 可积函数的连续性, 积分的可加性, 积分极限定理, 牛顿 莱布尼兹公 式五个方 面阐述了 黎曼积分与勒贝格积分的区别. 关键词: 黎曼积分; 勒贝格积分; 区别 中图分类号: O172. 2 文献标识码: B 0 引言黎曼积分是数学分析中的重要内容, 勒贝格 积分是实变函数论中的主要内容. 就可积函数的 范围来看, 勒贝格积分比黎曼积分更广泛. 这两种 积分既有密切的联系, 又有本质的区别. 若函数 f ( x ) 在[ a, b] 上黎曼可积, 则它必在[ a, b] 上勒贝格 可积, 且有相同的积分值, 但勒贝格可积不一定黎 曼可积. 在教材及参考书中, 有关黎曼积分与勒贝 格积分的区别的内容讲的很少, 也缺乏条理性和 系统性, 而由黎曼积分过渡到勒贝格积分, 理解起 来也有一定的困难. 本文将从积分的定义, 可积函 数的连续性, 积分的可加性, 积分极限定理, 牛顿 莱布尼兹公式五个方面进行分析比较, 指出黎曼 积分与勒贝格积分的区别. 为便于叙述, 我们只考 虑[ a, b] 上有界函数 f ( x ) 的积分. 并任取 k I = R af ( x ) dx . 1 2 勒贝格积分的定义 . 设 E 是一个勒贝格可测集, m( E) < # , f ( x ) 是定义在 E 上的勒 贝格可测函数, 又设 f ( x ) 是 有界的, 就是说存在实数 l 及 u, 使得 f ( E ) u) . 在[ l, u] 中任取一分点组 D l = l0 < l 1 < 记 ( D) = 1maxn( l k - lk- 1 ) , k E k = E ( lk- 1 ( E k ) = 0) , 作和 n ? b ( l, < l n = u, f ( x) < lk) , 时, f ( k ? E k ( 我们约定, 当 E k = )m S( D) = k= 1 f( k k ) m( E k ) , 如果对任意的分法与 的任意取法, 当 ( D) !0 1 积分的定义 1 1 黎曼积分的定义 . 设 f ( x ) 是定义在[ a, b] 上的有界函数, 任取 一分点组 T x0 = a < x1 < x2 < x i ] 上任取一点 i , i= 1, 2, n 时, S ( D) 趋于有限的极限, 则称它为 f ( x ) 在 E 上 关于勒贝格测度的积分, 记作 J = ?f ( x ) dx . E 从这两种积分的定义可以看出, 它们的主要 区别是: 黎曼积分是将给定函数的定义域分小而 产生的, 而勒贝格积分是划分函数的值域而产生 的. 前者的优 点是 % i = [ x i- 1 , x i ] 的度量 容易给 出, 但当分法的细度 & T &充分小时, 函数 f ( x ) 在 % i 上的振幅 !i = xsup f ( x ) - x inf f ( x ) 仍可能 ? % ? % i i < x n = b, , n. 作和 将区间[ a, b] 分成 n 部分, 在每个小 区间[ x i- 1 , S= i= 1 f ( i ) ( x i - x i- 1 ) , i 较大; 后者的优点是函数 f ( x ) 在 E k 上的振幅 !k 的 = xsupf ( x ) - xinf f ( x ) ? E ? E k k 令 r= m axn( x i - x i- 1 ) , 如果对任意的分法与 1 i 为 f ( x ) 在[ a, b] 上的黎曼积分, 记为收稿日期: 2007 04 07. ( D) , 但 E k 一般不再是 任意取法, 当 r ! 0 时, S 趋于有限的极限, 则称它 区间, 而是可测集. 其度量 m ( E k ) 的值一般不易 给出. 然而就是这一点点差别, 使这两种积分产生 作者简介: 潘学锋( 1979 ) , 男, 宁夏中卫人, 石河子大学助教, 主要从事函数论的教学与 研究. 100 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 第 21 卷 了本质的区别, 使勒贝格积分具备了很多黎曼积 分所不具有的良好性质, 这些性质从以下几点讨 论中我们将会看得更清楚. 我们将会看到, 勒贝格 积分比黎曼积分的应用范围更广泛, 使用起来更 方便. 由此可见, 比起黎曼积分来, 勒贝格积分是 向前迈了一大步. 数. 那么勒贝格可积函数的 连续性是怎样的呢? 它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里? 我们 有下面的鲁津定理. 设 f ( x ) 是可测集 E 上几乎处处有限的可测 函数, 则对任意 > 0, 存在闭子 集 E ( x ) 在 E 上是连续函数, 且 m( E\ E ) < . E ,使f 2 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数, 当然也必是勒 贝格可积函数, 但黎曼可积函数不一定是连续函 数, 比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼 可积的. 那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的 呢? 勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要 条件. 他将函数的可积性归结到了函数的内在性 质 连续性上, 使得我们对黎曼可积函数的本质看 得更清楚. 这个可积条件是: 函数 f ( x ) 在[ a, b] 上黎曼可积的充要条件是 f ( x ) 在[ a, b] 上一切间断点构成一个零测度集. 这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的. 例 如黎曼函数 f (x) = 1/ q, 0, 当 x = p / q( q > 0, q, p 为互质的整数) , 当 x 为无理数, 从这个定理可以看出, 在可测集 E 上几乎处 处有限的可测函数是基本上连续的, 或称为是近 于连续的. 因此勒贝格可积函数是近于连续的. 对 应于黎曼可积函数的情形, 有 m( E\ E ) = 0. 例如狄利克雷函数 1 x 为有理数, f (x) = 0 x 为无理数. 显然 f ( x ) 是有界函数, 但 f ( x ) 在[ 0, 1] 上无处连 续, 所以在[ 0, 1] 上 f ( x ) 的所有不连续点组成的 集合为 E= [ 0, 1] , 且 m( E) = 1 ? 0, 所以 f ( x ) 不 是黎曼可积的, 但 f ( x ) 是简单函数, 所以 f ( x ) 是 可测的, 从而 f ( x ) 是勒贝格可积的. 通过上面的讨论, 黎曼积分与勒贝格积分的 区别也就不难看出. 这个函数在所有无理点处是连续的, 在有理点处 是不连续的. 虽然在[ 0, 1] 中有无穷多个有理点, 即黎曼函数在[ 0, 1] 上的不连续点有无穷多个, 但 这个函数在[ 0, 1] 上仍然是黎曼可积的, 且有 3 积分的可加性这里所说的可加性, 指的是积分区域的可加 性. 黎曼积分具有有限可加性, 即若 E= i= 1E i , E, ( E i ( i = 1, 2, j ) , 则有 , n) 均为有限区间, E i ) E j = n n ?f ( x ) dx = 0 1 (i ? 0. 事实上, [ 0, 1] 中的全体有理数组成 一个零测度 集, 所以黎曼函数是黎曼可积的. 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质. 设 f ( x ) 是可测集 E R ( m ( E ) < # ) 上的连 续函数, 则 f ( x ) 在 E 上勒贝格可积的充要条件 是 f ( x ) 在 E 上勒贝格可测. 对于集合来说, 凡是波雷尔集都是勒贝格可 测集. 特别地, 有限区间是波雷尔集, 因而是可测 集. 对于函数来说, 可测集 E R ( m ( E) < # ) 上 的连续函数是可测函数. 特别地, 有限区间上的连 续函数是可测函数. 对于几乎处处连续的函数, 它 显然几乎处处等于一个连续函数, 而几乎处处等 于一个可测函数的函数也可测, 所以一个几乎处 处连续的函数在有限区间上是可测函数. 从以上 我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函 从而有 ? 则 f ( x ) dx = E i= 1 ?f ( x ) dx . E i 但是黎曼积分不具有可数可加性. 例如取 f ( x ) = 1, E = ( 0, 1] , E? = ( 1/ ( n + 1) , 1] , E i = ( 1/ ( i + 1) , 1/ i] , i = 1, 2, E = i= 1 E i , ( E? = i= 1 E i , E i ) E j = ( n n # , (i ? j), ? ?f ( x ) dx = ?f ( x ) dx + ? f ( x ) dx + + ?f ( x ) dx = n/ ( n+ 1) , f ( x ) dx = 1, ? ?f ( x ) dx = f ( x ) dx = n/ ( n+ 1) , E? E 2 i= 1 E i E 1 E # n E i= 1 E i 第4期 潘学锋: 浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别 101 ? f ( x ) dx + ? f ( x ) dx + E 1 E + 2 ?f ( x ) dx + E n 定理相比, 显然条件宽松得多, 且并不需要假定极 限函数的可积性, 从而使我们又一次看到了勒贝 格积分相对于黎曼积分的优越性. = 1 - 1/ 2 + 1/ 2 - 1/ 3+ 所以 n + 1/ ( n- 1) ? 1, 1/ n + 1/ n - 1/ ( n + 1) + 5 牛顿- 莱布尼兹公式设 f 在[ a, b] 上可微, 则有 i= 1 # i= 1 ?f ( x ) dx = ?f ( x ) dx , ?f ( x ) dx ? ?f ( x ) dx . E i E? ? [ a, x] f ?( x ) dx = f ( x ) - f ( a) , x ? [ a, b] . E i E 即在上述条件下, 积分运算是微分运算的逆运算. 显然, 在微积分基本定理中, f ?( x ) 必须是可积的. 然而, 早在 1881 年, Volt er ra 就作出了一个可微 函数, 其导函数不是黎曼可积的, 因此在黎曼积分 范围内, 积分运算只是部分地成为微分运算的逆 运算, 这就大大限制了微积分基本定理的应用范 ) 围. 对于勒贝格可积函数, 同样有积分运算, 并不 完全是微分运算的逆运算, 但是针对上述缺陷有 了很大的改进, 牛顿 莱布尼兹公式的应用范围大 大扩大了. 我们有以下定理: 定理 1 设 f ( x ) 是 [ a, b] 上勒贝格可积, 则 其不定积分是绝对连续函数. 定理 2 设 f ( x ) 是 [ a, b] 上勒贝格可积, 则 存在绝对连续函数 F( x ) , 使得 F?( x ) = f ( x ) 几乎 处处于[ a, b] ( 只需取 F( x ) = 定理 3 可积, 且 F( x ) = F( a) + 对于勒贝格积分, 它不仅具有有限可加性, 而且还 具有可数可加性, 克服了黎曼积分的缺陷. 我们有 下面的定理做保证. 定理 若 E = i= 1 E i , ( Ei ) Ej = ( i ? j ) , E, E n ( n = 1, 2, 均为可测集, 且 m( E) < # , f ( x ) 是 E 上的勒贝 格有界可积函数, 则有 # ?f ( x ) dx = ?f ( x ) dx . E i= 1 E i # 对于这两种积分的可加性, 究其原因, 我们将 不难理解. 我们知道, 黎曼积分建立在约当测度之 上, 勒贝格积分建立在勒贝格测度之上, 而约当测 度只具有有限可加性, 勒贝格测度具有可数可加 性, 由于它们之间的密切联系, 约当测度和勒贝格 测度的性质也就反映到了相应的积分上来了. ? [ a, x] f ( t) dt ) . 设 F ( x ) 是[ a, b] 上的绝对 连续函 数, 则几乎处处有定义的 F?( x ) 在[ a, b] 上勒贝格 4 积分极限定理在这一方面, 对于黎曼积分, 文献[ 3] 中有较 详细的叙述, 不再赘述. 由于积分与极限交换问题 不能顺利解决, 就大大降低了黎曼积分的效果. 在勒贝格积分范围内对于这个问题得到比在 黎曼积分范围内完满的解决, 这正是勒贝格积分 的最大成功之处. 对于勒贝格积分, 有如下: 勒贝 格控制收敛定理: 设 ( i) { f n ( x ) } 是可测集 E 上的可测函数列; ( ii) | f n ( x ) | F ( x ) 几乎处处于 E, n= 1, 2, , 且 F ( x ) 在 E 上可积; ( iii) F n ( x ) ! f ( x ) 几乎处处于 E. 则 f ( x ) 在 E 上可积, 且 lim f n ( x ) dx = n E ? [ a, x ] F?( t) dt , 即 F( x ) 总是[ a, b] 上勒贝格可积函数的不定积分. 由定理 2 我们可以得到一个重要事实, 即在 勒贝格积分范围内积分再微分则还原. 由定理 1 和定理 3 我们可以看出绝对连续函数的重要性, 它完全可以标志不定积分. 定理 3 是牛顿 莱布尼 兹公式的推广, 因此, 勒贝格积分在积分与微分的 关系问题上比黎曼积分优越得多. 参考文献: [ 1] 夏道行, 吴卓人, 严 绍宗, 等. 实变 函数 论与泛 函分 析 ( 上 册) [ M ] . 北京: 人民教育出版社, 1978. [ 2] 程其襄, 张奠宙, 魏 国强, 等. 实变 函数 与泛函 分析 基 础[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 1983. [ 3] 周 民 强. 实 变 函数 论 [ M ] . 北 京: 北 京 大 学出 版 社, 设 m( E) < # , 将条件( ii) 改为| f n ( x ) | ( n= 1, 2, ? ?f ( x ) dx . E M ) , 则定理结论仍成立, 这也叫做勒贝 2003: 3 5. [ 4] 陈传璋. 数 学分 析( 上 册) [ M ] . 北京: 高等 教育 出 版 社, 1983. 格积分的有界收敛定理. 与黎曼积分的有界收敛 102 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 第 21 卷 [ 5] 周成林. 勒贝格 积分与黎曼积分的区别与 联系[ J] .