phymath01 "希尔伯特空间模型的隐喻”

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康托尔和他的遗产
Ｙｕ．Ｉ．Ｍａｎｉｎ
上帝不是几何学家，更确切地说他是一个捉摸不定的诗人．
（几何学家也可以是捉摸不定的诗人，所以二者必有妥协的空间．）
，
—
—
Ｖ．Ｔａｓｉｃ『１２］，论１９世纪的浪漫主义
摘要　２０世纪，人们通过在计算机科学、物理学以及艺术研究中的应用，自
由地讨论着康托尔关于数学发展的基础　（不是数学基础）的思想．
１　简　介　 ‘
乔治　・康托尔宏伟的元叙述　（ｍｅｔａ．ｎａｒｒａｔｉｖｅ）—— 集合论，他在大约　１５年的时间内
几乎独立地创造的理论，与其说是一门科学理论，不如说更象是一件高雅的艺术品．
用稍微现代的语言来说，集合论的基本结果可以简要地表述如下：
考虑具有作为态射的任意映射的所有集合的类．集合的同构类称为基数．基数集通
过子对象关系被良序化，而且集合　的所有子集构成的集合的基数严格地大于　的基
数　（当然，这已由著名的对角线方法所证明）．
这导致另一概念的引入，即良序集和作为态射的单射．这些同构类称之为序数　（ｏｒ—
ｄｉｎａｌｓ）．它们也是良序的，连续统假设就是关于最初基数间的序结构的一个猜想．
因此，康托尔运用了具有极为简约的风格的表述方式，以达到一个令人赞叹的目标：
对无穷的理解，更确切地说，是对无穷的无穷的理解．一种固有的自我认识和数学直觉
领域的被迫扩大　（建立新集合的原则），给人增添了一种艺术狂热与自我制约相结合的印
象．
康托尔自己必定是强烈地反对这种观点的，对他而言，无穷的等级的发现是天启真
理的一个显露．
但是，２０世纪的数学在很多方面反应出，康托尔的全部作品，能在各种各样最新的
当代科学、哲学及艺术思想的普遍背景下获得更好的理解．
有点挑战性的，你可以看看康托尔的如下的一个思想：
２　大大地大于　．
这里　可以理解为一个整数，一个任意的序数，或者一个集合；在最后一种情形，
２　表示集合　的所有子集的集合．当我们试图使这个表达更精确并看清楚　２　究竟有多
大时，深奥的数学理论便产生了．
如果　是第一个无穷序数，这就是连续统问题．
我将证明，对有限的　作适当的陈述，这个问题变得与通常的ＮＰ问题密切相关．
然后，我将讨论各种各样有关的话题，包括集合论在当代数学中的作用以及康托尔
原题：Ｇｅｏｒｇ　Ｃａｎｔｏｒ　ａｎｄ　Ｈｉｓ　Ｈｅｒｉｔａｇｅ．译自：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｔｅｋｌｏｖ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
Ｖｏ１．２４６（２００４），Ｐ．１９５—２０３．
．
１５７
的思想被接受的情况．
２　选择公理和　Ｐ／ⅣＰ　问题　或　作为穷人的超限的有限　）
１９００年，巴黎第２届国际数学家大会上，希尔伯特在他的报告中，把连续统假设作
为他的著名的２３个问题的第一个问题提出来．这是康托尔科学生涯中最精彩的部分．康
托尔付出了很大的努力使德国和国际数学社会联合成为一个一致的整体．从而能平衡一
群反对集合论的有权势的教授们的影响．
然而，对康托尔的无穷理论的反对仍在继续，并使他非常烦恼，因为康托尔的新数
学理论的可靠性受到质疑．
１９０４年，在接下来的一届国际数学家大会上，库宁格　（Ｋｏｎｉｇ）作了一个报告，其中
他声称证明了连续统是不能被良序的，因而连续统假设是无意义的．
Ｄａｕｂｅｎ写道　【３，ｐ．２８３］：“在海德堡第３届国际数学家大会期间，库宁格宣读论文这一
戏剧性的事件使他　（指康托尔）极度烦恼．他和他两个女儿　一　Ｅｌｓｅ和　Ａｎｎａ－Ｍａｒｉｅ当时
都在场，他为自己一直以来所忍受的羞辱而感到愤懑不平．”
后来终于证明库宁格的论文包含了一个错误；Ｚｅｒｍｅｌｏ不久利用他的崭新的选择公理
证明了：任何集合都可以被良序．这个公理实际上是假定，从一个集合　开始，我们可
以构造一个新的集合，这个集合的元素是　（　）对，这里　取遍集合　的所有非空子
集，而Ｖ是　的一个元素．
１００年之后，数学界对于正在到来的新世纪，提不出象希尔伯特问题那样的一套新
问题．也许，数学整体视野发生了变化一　一即使在希尔伯特的问题中，有相当一部分问
题可以更好地描述为研究纲领，而不是确定的问题，这对于理解我们前进中的工作看来
似乎是一个更为现实的途径．
尽管如此，一些清楚地陈述的重要问题依然未获解决，最近选出了７个这样的未决
问题并给它们标了价．下面我将引用其中的一个问题，即Ｐ对 ⅣＰ问题，并将它看作是
策梅罗选择公理的一个有限性的仿解．
设　．ｍ＝Ｚ　为ｍ一位序列的集合，对其子集进行编码的一个方便的方法是通过布尔
多项式．运用标准的 —— 更一般的 —— 交换代数的语言，我们可以认为　．ｍ的每一个子
集等同于一个唯一的函数，∈Ｂ　的０水平集，这里我们定义布尔多项式代数如下：
Ｂ　：＝ｚ２　１，… ，ｘｍ］／（ｘ　＋ｚ１，… ，ｚ　＋ｚ　）
因此，策梅罗问题 —— 即在集合　的每一个非空子集中选取一个元素 —— 便转化为如
下的：对每一个布尔多项式，找一个点使得布尔多项式等于０，或者证明多项式恒等于　１，
而且，我们要在函数　，的编码位长　（度）的多项式时间范围内解决这个问题．
这就导致一个普遍的（也是最困难的）ＮＰ问题，如果我们将布尔多项式写成如下的
析取范式．这种形式的代码是一个族
“＝｛ｍ；（Ｓ１，Ｔ１）… ．，（ＳＮ，ＴＮ）），　ｍ∈Ｎ，Ｓｔ，正Ｃ｛１，… ，ｍ）．
１）我并不是在暗示克雷百万美元数学大奖的Ｐ／ＮＰ问题的解答．—— 原注
１５８　・
的位长是ｍＮ，而各布尔多项式为：
Ⅳ
／
Ｎ
＾：＝ｌ＋Ⅱ（１＋ＩＩ（１＋　）ＩＩ　ｘｊ）．
ｉ＝ｌ　、
∈Ｓ
Ｊ∈
这种编码为各级集合元素的包含关系提供了一种快速检查的方法．其代价则是　，的表示
的唯一性的丧失，而且辩识九＝　（？）成为一个计算上的难题．
特别地，即使下列弱化的有限策梅罗问题也成为ＮＰ一完全性问题，因此在目前也难
以处理：检查・个给定的析取范式的布尔多项式是否是非常数．
策梅罗选择公理引起了一场国际性的大讨论，讨论意见发表在　数学年刊》１９０５年
第一期上．大部分讨论集中在数学想象的心理学以及其结果的可靠性方面．如其中一个
使人困惑的问题是 “我们怎么确信，在一个证明的过程中，我们始终考虑的是同一个集
合？”如果我们设想，我们的大脑所进行的计算至少部分地能通过有限自动机来适当地
模型化，那么对由多项式时间可计算性理论所提供的方法的定量估计最终将有可能在神
经科学以及间接地在心理学中获得应用．
最近，　科学　杂志上的一篇论文为此总结了一些实验结果．对数学对象的思想表
述的本质，以及例如直觉主义和形式主义之间分歧的生理学根源，给出了鲜明的观点［４，
Ｐ．９３７］：
［… ］我们的结果指出：即使在初等算术这样的小领域内，对于不同的任务
也采用各种不同的思想表述，这就为消除数学家们之间的分歧提供了基础．精
确算术强调特定的语言表述，并依赖于也用来产生词与词之间联系的大脑左侧
额叶．符号算术是人类特有的一项文化发明，其发展依赖于数字记号系统的不
断改进．　［… ］
相反，近似算术则表现出对语言的非依赖性，而是主要地依赖于在大脑左
右顶叶的视觉空间网络中执行的数量表示．
在下一部分，我将讨论处理连续统假设的一种方法．很清楚，这一方法是受到了视
觉空间网络的支配作用的启发，而且大概借助于概率模型比逻辑或布尔自动机模型会得
到更好的理解．
附录　一些定义．　为了完整起见，我将提醒读者注意与Ｐ／ⅣＰ问题有关的一些基
本定义．首先是在　［８］的意义下的一个构造性的无穷集合　，例如自然数集Ｎ．一个子集
Ｅ　ｃ　Ｕ属于类Ｐ，如果它是可判定的，并且它的示性函数ＸＥ的值对所有自变数ｘ∈Ｅ都
是多项式时间可计算的．
此外，Ｅ　ｃ　Ｕ属于类ＮＰ，如果它是某个属于Ｐ的Ｅ　ｃ　Ｕ　Ｘ　Ｕ的多项式截影：对于
某个多项式　Ｇ，
∈Ｅ目　３（ｕ，Ｖ）∈Ｅ　，且ＩＶＩ　Ｇ（１ｕ１），
这里　ＩＶＩ是指Ｖ的位长．特别地，有Ｐ　ｃ　ＮＰ．
在直觉上，Ｅ ∈ⅣＰ意味着，对每一个　 ∈Ｅ，存在一个这种包含关系的一个多项式
时间的证明　（也就是，对于适当的Ｖ计算ＸＥ，（　，　））．然而，通过对所有满足
Ｖ（１￣１）
・
１５９　・
的Ｖ进行硬算来发现这样一个证明（即Ｖ）会花去指数时间．
集合Ｅ　Ｃ　Ｕ称为ＮＰ一完全性，如果任意其它的集Ｄ　Ｃ　Ｄ∈ＮＰ存在一个多项式
时间可计算函数　，：　－÷　使得　Ｄ＝厂　（Ｅ），即：ＸＤ（Ｖ）＝）（Ｅ（，（”））．
通过 ⅣＰ一完全性问题的证明，前面用到的布尔多项式的编码就得到了解释　（参见文
献，如［６，５２．６］）．
３　连续统假设和随机变量
Ｍｕｍｆｏｒｄ在文献　［１０，ｐ．２０８］中回顾了Ｃｈ．Ｆｒｅｉｌｉｎｇ［５］中的一段论述，这段论述意在
通过以下情形的考虑来证明连续统假设 “显然”是错误的：
两位掷镖者独立地向一块圆靶掷镖．如果连续统假设是正确的，圆靶表面上的点Ｐ
可以被良序，使得对每一点Ｐ，所有满足Ｑ＿＜Ｐ的点Ｑ的集合　（称之为ＳＱ）是可数的．
假设掷镖者　１和２分别击中圆靶中的点Ｐ１和　Ｐ２．或者Ｐ１＿＜Ｐ２或者Ｐ２＿＜Ｐ１．设第一种
情况成立，那么Ｐ１属于圆靶上点的一个可数子集合　ＳＰ２．由于两个掷镖者是独立的，我
们可以认为掷镖者２发生在先，然后是掷镖者１．在掷镖者２之后，这个可数集　Ｓｐ２已经
被固定．但是每一个可数集是可测的且测度为０．同样的论证表明　落在集　．　Ｐ１中的概
率是０．因此几乎可确信两者都不发生，而这与圆靶是第一个不可数基数的假设相矛盾　！
［… ］
我相信　［… ］他的 “证明”表明：如果我们让随机变量成为数学的一个基本元素，就
将导致　Ｃ．Ｈ．是错误的这一结论，我们就将摆脱集合论中的一个无意义的谜题．　）
实际上，Ｆｒｅｉｌｉｎｇ的工作是以Ｓｃｏｔｔ和　Ｓｏｌｏｖａｙ的工作为先导，Ｓｃｏｔｔ和Ｓｏｌｏｖａｙ利用
“逻辑随机集合”的概念重新改造了　Ｐ．Ｃｏｈｅｎ的力迫法，后者被用以证明否定的连续统假
设与Ｚｅｒｍｅｌｏ—Ｆｒｅｎｋｅｌ选择公理的相容性．他们的工作已经表明，我们确实可以把随机变
量引进这些基础概念的行列中，并在一种高度非平凡的意义上运用它们．
Ｐ．Ｃｏｈｅｎ在他自己的著作结尾处这样建议道：连续统假设是 “显然错误的”，这一观
点也许会获得普遍接受．
然而，尽管Ｓｃｏｔｔ—Ｓｏｌｏｖａｙ的推理证明了关于集合论形式语言的一条精确定理，Ｆｒｅｉｌｉｎｇ
的论证却相反地直接诉诸于我们的物理直觉，因此最好是把它看成一种 “思想实验”．它
本质上类似于物理学中某些经典的思想实验，例如从永动机的不可能性推导出各种动力
学结果的思想实验．
作为逻辑推理的对立面，思想实验的思想，一般可以被认为是与左脑的基本逻辑活
动相当的右脑活动．好的隐喻扮演着同样的角色．当我们比较两脑各自的能力时，我们会
为我在别处所称的 “隐喻的先天弱点”而感到震惊：它们难以成为一个系统的建筑砖块．
你只能或多或少巧妙地把一个隐喻加到另一个之上，而真理的大厦要么独自巍然屹立，
要么在自身的重量下分崩离析．
１）Ｍｕｍｆｏｒｄ的题为 “随机性时代的曙　 ’的论文是意味深长的．他向我担保，他无意谈及　Ｇ．Ｖｉｃｏ的
历史循环论，Ｈ．Ｂｌｏｏｍ … 对这一理论描写如下：“在他的《新科学》中，Ｇ．Ｖｉｃｏ设想：３个阶段
—
—
神权政治、贵族政治、民主政治 —— 的一轮循环之后，将经历一个混沌时期，最后将会出现
一
个新的神权政治时代．”—— 原注
１６０　・
物理学约束思想实验就象诗歌约束隐喻，而只有逻辑学才有内在的规则．
成功的思想实验产生出数学真理，一旦被接受，就会变成公理，而后就开始了在逻
辑推理基础上的单调的例行工作．
４　基础和物理学
本节将从关于集合论对数学基础影响的简短讨论开始．我所理解的 “基础”，既不是
对数学真理本性、可接受性以及可靠性的哲学先见，也不是象有穷论者或形式主义者所
提倡的那样一剂良方．
我将在一个宽松的意义下使用这一名词，将它看作为一个一般术语，用以表示历史
地变化着的法则和原理的聚合体，这些法则和原理运用于组织业已存在的和不断创新的
相应时代的数学知识总体．在有的时代，它被看成是以欧几里得　《原本》为样板的权威
性数学课本形式的一种典范化．在另一时代，它被更好地描述为关于无穷小的意义或关
于实数与欧氏直线上的点的精确关系、或者还有关于算法的本质等问题的摇摆不定的内
省．在所有的情形，在一个广泛的意义上说，数学基础是与一个正在做研究的数学家有
关的某种东西，涉及到他　（她）们的整个行业的某些基本原理，但并不构成他　（她）们自身
工作的实质．
在　２Ｏ世纪，所有的主流数学基础的趋势都涉及到康托尔集合论的语言和直觉．
发展良好的布尔巴基计划给出了下述观念的一个完美形式：“任何”数学对象　（群，
拓扑空间，积分，形式语言， … ）都可以认为是附加了一种结构ｚ的一个集合　．这一
观念已经出现于许多特殊的研究方案中，从希尔伯特的　几何基础》到柯尔莫哥洛夫利
用测度论重构的概率论．
＝
（Ｘ，ｚ）中的附加结构ｚ是另外一个集合ｙ的元素，ｙ属于从　通过标准运算并
满足某些条件　（公理）而构造的等级　（￣ｃｈｅｌｌｅ），这些运算或条件也完全是用集合论的术语
来确切地表述的．而且，　中元素的性质是非本质的：一个把ｚ映为ｚ　的双射
产
生一个同构对象　＝（Ｘ　，ｚ，）．这种思想在数学中起着一种强有力的统一和澄清作用，
并且导致了布尔巴基团体以外数学的辉煌发展．这一思想已达到了被成千上万的研究论
文所接受的程度，我们可以简单地说：数学的语言就是集合论的语言．
由于后者是如此容易表述，这就允许逻辑学家起而捍卫他们的地位，认定标准原理
应该应用于所有的数学分支，并夸大 “无穷的悖论”和哥德尔的不完全性定理的作用．
然而，这一事实也使得诸如在模型论的形式下将元数学纳入数学这样的自反行为成
为可能．模型论研究特殊的代数结构，形式语言（本身也被看作是数学对象 —— 带有合
成规则、标号元素等等的结构化集合），及其按集合语言的解释．诸如哥德尔的算术不完
全性定理这样令人困惑的发现，一旦人们将其内容理解为这样的陈述，即：特定的代数
结构并不能简单地由于允许的合成规则而有限地生成，那么笼罩着它们的神秘性就会部
分地消失．
当这一历史发展进入下一阶段时，集合的概念又为范畴论开辟了道路．起初仅仅是
重点转移到结构的态射　（特别是同构），而不是强调结构本身．一个　（小的）范畴本身应该
．
】６】　．
被认为是一个赋有结构的集合．然而，主要地要感谢格Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ和他的学派在代数
几何基础方面的工作．范畴论的位置变得最为突出．这里是由范畴论的语言所带来的我
们对数学对象理解的变化的一张不完全清单．让我们记住一个范畴的对象一般不是集合
本身；它们的性质不是明确规定的，只有态射Ｈｏｍｃ（Ｘ，ｙ）是集合．
Ａ．范畴　的一个对象　可以认为等同于它所表示的函子：ｙ卜÷Ｈｏｍｃ（　Ｘ）．因
此，如果　Ｃ很小，最初无结构的　就变成一个带结构的集合．数学对象的这种外部的
“社会学”的特征，即通过与同一范畴的所有对象的相互作用而不是按照其内在结构来加
以定义，被证明在所有有关的问题中极为有用，例如代数几何中的模空间．
Ｂ．如果两个代数对象是同构的，它们就具有完全相同的性质，因此在一个给定的范
畴Ｃ中究竟包含有多少互相同构的对象就变得无关紧要．大致说，如果Ｃ和Ｄ具有 “相
同”类的同构对象及其代表之间的态射，那么它们应该被认为是等价的．例如，“所有”有
限集合的范畴等价于任一有限集合的范畴，其中恰好有一个包含各个基数０，１，２，３… ．的
集合．
这种基于等价性考虑的范畴的 “开放性”是一种本质的特征，例如在抽象的可计算性
理论中就可以看到这一点．Ｃｈｕｒｃｈ命题最好是被理解为一个公设，即：存在一个具有 “构
造性世界”的开范畴 —— 有限的或可数的结构化的集合以及它们之间的可数态射 —— 使
得其中的任意无穷对象同构于自然数集，其态射则相应于递归函数　（更多细节可参考文
献［８】）．有许多更有趣的可构造性的无穷世界，它们为形形色色的内在结构所决定：如含
有一给定字母的词，有限图，图灵机等等．然而，由于可计算性算法的存在性，它们都同
构于　Ｎ．
Ｃ．前面的论述对认为范畴 “是”有特殊结构的集合这种朴素的观点加以了限制．事
实上，如果我们是按等价性关系　（不必是对象上的双射）而不是按同构关系来确定范畴，
那么这一观点就变成了完全的误导．
更精确地说，如下的等级图象正在慢慢形成：范畴本身形成为一个更大的范畴Ｃａｔ
的对象，其中的态射是函子，或者是象拓扑空间中的同调　（或上同调）理论一样 “自然构
造’．然而，函子并不简单地构成一个集合或一个类：他们也是一个范畴的对象．将这种
情形公理化，我们就得到　２一范畴的概念，其原型是范畴　Ｃａｔ．按同样的方法处理　２一范
畴，我们得到３一范畴，等等，依此类推．
以下是用这种等级的观点来解释的数学对象：没有相等的数学对象，只有等价类．
并且由于等价性也是一个数学对象，它们之间也没有相等，而只有下一级的等价，等等
…
直到无穷．
主要应归功于格罗滕迪克的这种观点，扩展了经典数学特别是代数几何的范围，而
这恰恰在那些与现代理论物理相互交叉的发展中得到了反映．
随着范畴论的出现，数学界对于类　（作为集合的对立物）和一般地对于 “非常大”的
对象聚集的恐惧消除了．
同样地可以证明：存在着有意义的方法，使我们能思考给定类型的 “所有”对象，并
用创造性的自我认识取代完全的禁止．这是对集合与类之间的古老区别的一个发展，允
．
】６２　．
许人们在每一个阶段得到一种与前一阶段的研究对象相类似却又不等同的结构．
在我看来，康托尔的先知般的构想由于这些新的发展不仅没有受到破坏，而是变得
更加丰富充实了．
使它与无穷悖论的先入之见和直觉主义者的神经疾患一起回归基础的，是与物理学
的反复相互作用和形式逻辑在计算机科学中的应用．
量子物理学的诞生彻底地改变了我们关于现实世界和它的理论表述以及我们的感觉
之间的相互关系的既有观念．已经清楚，康托尔的著名的集合定义［２】仅仅描述了一种精
炼的传统观念，这种观念将物质世界看成是由空间中两两相异的事物所组成：
所谓一个 “集合”，是指我们的感觉和思想中任意一些确定的相异的对象ｍ
聚集成的一个整体　（ｍ称为Ｍ　的 “元素”）．
一
旦这种观点被揭示仅仅是远为复杂的量子描述的一种近似，集合就失去了现实的
根源．事实上，现代物理学中卓有成效地运用的现代数学的结构化集合不是事物的集合，
而是 “可能性”的集合．例如，经典力学系统的相空间由［坐标，动量］对组成，它描述了
该系统的所有可能的状态，但在量子化之后，它已被复杂的概率振幅空间取而代之：坐
标（或沿着这些直线的某种数量）的　一函数所构成的希尔伯特空间．这个振幅是所有可
能的古典状态的所有可能的量子叠加．这与事物的集合显然是大不相同．
然而，量子物理学的需求使数学家们对物理学家提出的不精确但却高度启发性的理
论采取前所未有的宽容态度．特别地，这导致了作为拓扑学和代数几何中的最活跃的研
究领域之一的费曼道路积分的产生，尽管道路积分在数学上的状况决不比在开普勒　测
量酒桶的新立体几何　以前黎曼积分的状况好多少．
计算机科学为本来是作为数学基础保健良方的形式逻辑增添了亟需的实用色彩．在
算法可解性的研究中引进 “高概率的成功”的观念，将帮助人们进一步摧毁心智上的障
碍，而这种障碍曾使数学基础与数学本身相隔裂．
附录　康托尔与物理学．　更详细地研究康托尔的自然哲学将会是很有趣的．根据文
献　［３］，他直接地多次提到他的理论可能的物理应用．
例如，他证明了：如果我们从　ｎ中的一个区域内删去任一稠密的可数子集　（如所有
的代数点集），那么余集中任何两个的点能用一条连续曲线相连接．他的解释如下：即使
在不连续的空间中连续的运动也是可能的，所以 “我们的”空间本身也许是不连续的，因
为连续性的概念是基于对连续运动的观察．因此，一种修正的力学应该考虑．
１８８３年在　Ｐｒｅｉｂｕｒｇ的ＧＤＮＡ会议上，康托尔说道：“集合理论中的一个最重要的问
题　［… ］是在于这样的挑战，即尽我们所知地决定全部自然中所呈现的各种各样的集合的
价或幂．”［３，ｐ．２９１】
看来，康托尔是把原子（ｍｏｎａｄｓ单子）设想成实际的点，无广延，在自然中个数无穷．
“Ｃｏｒｐｏｒｅａｌ　ｍｏｎａｄｓ”（大粒子ｍａｓｓｉｖｅ　ｐａＬｒｔｉｃｌｅｓ？—— 作者）应该以可数量存在．“Ａｅｔｈｅｒｉａｌ
ｍｏｎａｄｓ”（微量子　ｍａｓｓｌｅｓｓ　ｑｕａｎｔａ？—— 作者）则必有基数阿列夫１．
．
】６３　．
５　尾声：数学与后现代条件
在康托尔生活的时代，他的思想的接受与其说是象新的科学理论，不如说更象是新
的艺术流派，如印象主义或无调音乐流派．它受到了带有强烈感情色彩的批评，从全盘
的否定（克罗内克的 “青年的堕落”）到高度的赞扬　（希尔伯特对 ‘‘康托尔的乐园”的维护）、
（然而请注意这两种陈述之间的通常受到忽视的细微差别，这种差别正微妙地逐渐地削弱
着他们的热情：克罗内克的支持者含蓄地把康托尔比作苏格拉底，而希尔伯特带着一丝
嘲讽暗示着康托尔的信念，即集合论是上帝的启示．）
如果你接受这样的观点，即布尔巴基的宏大的结构直接源自康托尔的工作，那么就
毫不奇怪它会有同样的命运　［９】．特别强烈的是对 “新数学”运动的反响：这种运动试图
改革数学教育～　通过强调精确的定义、逻辑和集合论的语言，而不是数学的事实、图
形、例子和对数学的好奇心．
这促使人们根据Ｌｙｏｔａｒｄ［７］著名的后现代条件的定义　二一　时元叙述的怀疑”，来考
察这种反响；而根据Ｔａｓｉｃ的评论，数学真理属于 “西方文化中最难以动摇的元叙述”［１２】．
正是这种难以动摇，使我们看到了希望．
附录　康托尔的生平和数学年表
（根据文献　［１１】和［３】）
１８４５．３．３：　生于俄国的圣　一彼得堡．
１８５６：　全家迁至德国的　Ｗｉｅｓｂａｄｅｎ．
１８６２－１８６７：　康托尔先后在苏黎士、柏林、哥丁根以及再度到柏林学习．
１８６７—１８６９：　首次发表数论二次形式的论文．
１８６９：　在　Ｈａｌｌｅ大学发表就职演说．
１８７０—１８７２：　致力于三角级数收敛性的研究．
１８７２—１８７９：　无穷大的不同等级的存在性，双射　Ｒ　Ｒ“，连续性与维数之间的关系的
研究．
１８７３．１１．２９：　康托尔在一封给戴德金的信中提出：在　Ｎ和Ｒ之间是否可以存在一个双
射　【３，ｐ、４９］．圣诞节后不久他发现了对角线法　［３，ｐ．５１等】．
１８７４：　首次发表集合论论文．
１８７９—１８８４：　发表系列论文：　Ｕｂｅｒ　ｕｎｅｎｄｌｉｃｈｅ　ｌｉｎｅａｒｅ　Ｐｕｎｋｔｍａｎｎｉｃｈｆａｌｔｉｇｋｅｉｔｅｎ．
１８８３：　Ｇｒｕｎｄｌａｇｅｎ　ｅｉｎｅｒ　ａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｎ　Ｍａｎｎｉｇｆａｌｔｉｇｋｅｉｔｓｌｅｈｒｅ．Ｅｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈ—
ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅｒ　Ｖｅｒｓｕｃｈ　ｉｎ　ｄｅｒ　Ｌｅｈｒｅ　ｄｅｓ　Ｕｎｅｎｄｌｉｃｈｅｎ．
１８８４．５：　开始精神崩溃，在一次成功并愉快的巴黎之旅之后，忧郁症持续到秋天
［３，ｐ．２８２］．
１８８４—１８８５：　康托尔与天主教神学家们来往并得到他们的支持，但在Ｈａｌｌｅ他却显得
孤立　［３，ｐ．１４６］：“… 在　１８８５年早些时候，Ｍｉｔｔａｇ—Ｌａｆｉｅｒ看来关闭了最后
一
道门，杜绝了康托尔争取获得数学家们的理解和支持的希望．”
（下转　１４２页）
．
】６４　．
读．我有写作的习惯．哎呀，这些日子我写讣告 —— 我写这些比我被人写要好些．
Ｒ＆ｓ：您也写过日本俳句诗７
．
Ｌａｘ：你说得对啊．我有这个想法是来自Ｍａｒｓｈａｌｌ　Ｓｔｏｎｅ的一篇好文章 —— 我忘记
了它确切地是在哪儿 —— 在文中他写的数学语言被大大地浓缩了，它象俳句诗．那么我
想我要更进一步，并且用俳句诗真实地表达数学思想　（见下面Ｐｅｔｅｒ　Ｌａｘ的俳句诗）．
Ｒ＆ｓ：Ｌａｘ教授，非常感谢您接受我们代表挪威、丹麦及欧洲数学会对您的这次
采访．
Ｌａｘ：谢谢．
Ｐｅｔｅｒ　Ｌａｘ的俳句诗：
速度依赖于大小，
．
平衡借助于色散，
哦，孤独的光辉．
（李志尧　译　陆柱家　校）
木木丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰幸丰丰丰丰丰丰丰年丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰木丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰丰
（上接　１６４页）
１８９０．９．１８：　德国数学会成立；康托尔成为首任主席．
１８９１：　Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ逝世．
１８９５－１８９７：．“Ｂｅｉｔｒａｇｅ　ｚｕｒ　Ｂｅｇｒｕｎｄｕｎｇ　ｄｅｒ　ｔｒａｎｓｆｉｎｉｔｅｎ　Ｍｅｎｇｅｎｌｅｈｒｅ”［２］（康托
尔发表的最后一篇重要数学论文）．
１８９７：　第一届国际数学家大会　（ＩＣＭ）召开．集合论引人注目．
１８９７：　 “Ｂｕｒａｌｉ—Ｆｏｒｔｉ［… ］是公开发表超限集合论悖论的第一位数学家”［３】．
他论述道：“所有的”序数，如果它们中的任何一对可比较的话，将
形成一个序数大于其自身的序数．他得出的结论是：并非所有的序
数都是可比较的．康托尔转而相信：所有的序数不能形成一个序数，
就象所有的集合不能构成一个集合一样．
１８９９：　在其子鲁道夫去世前后被送往哈雷精神病医院治疗．
１９０２－１９０３冬：　住院治疗．
１９０７．１０－１９０８．６：　住院治疗．
１９１１．９～１９１２．６：　住院治疗．
１９１５：　由于第一次世界大战，康托尔的７０寿辰得到了全国性的庆祝．
１９１７．５—１９１８．１．６：　住院治疗；康托尔于哈雷医院逝世．
参考文献　（略）
（陈惠勇　译　李文林　校）
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