用活动标架法研究可微流形，得到的1-形式代表标架的运动速度,曲率2-形式具有运动的加速度的意义

微分形式的几何意义，以及微分形式为什么能积分？ 忽然想到了这个问题，微分几何中积分的是微分形式，那么微分形式的几何意义是什么，它为什么能积分呢,希望懂得人能给小弟解惑，谢谢 [ 本帖最后由 只手遮天 于 2011-8-18 14:22 编辑 ]
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joyer01 版主 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线	2#大中小 发表于 2011-8-18 16:50 只看该作者 回复 1# 的帖子 自动保证积分跟座标形式无关的被积函数和测度？
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PENG_Bo 版主 个人空间 发短消息 加为好友 当前在线	3#大中小 发表于 2011-8-18 21:23 只看该作者 你得先搞清楚cotangent bundle Essentially, all models are wrong, but some are useful. In the long run, we are all dead.
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freshman 新手上路 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线

4#大中小 发表于 2011-8-22 03:14 只看该作者 多元微积分告诉我们在欧氏空间里有函数的Lebesgue积分，也有相应的change of variable的法则。然而在流形上没有天然的坐标，一个不依赖于坐标的量才是有意义的。所以我们如果想把欧氏空间上的Lebesgue积分推广到流形上，当然希望在一个坐标卡上就是Lebesgue积分。这个东西要满足相同的change of variable的条件。满足这种东西的对象，就叫做n次微分形式（如果流形是n维的）。 另外一个要求就是流形需要是可定向的，并且要选取一个定向。这是因为Lebesgue积分是和定向没有关系的（change of variable的时候有Jacobian的行列式的绝对值出现）。这样定义的时候，我们就不能选取任意的局部坐标系，而需要是和这个定向相符的坐标系（譬如左手系或右手系）。 引用: 原帖由 只手遮天 于 2011-8-18 01:20 发表 忽然想到了这个问题，微分几何中积分的是微分形式，那么微分形式的几何意义是什么，它为什么能积分呢,希望懂得人能给小弟解惑，谢谢

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yhbkj 新手上路 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线	5#大中小 发表于 2011-8-23 12:24 只看该作者 有很多意义。起源是要统一旋度，梯度和散度引进的一种高效率运算方式，称为exterior calculus，就像Ricci calculus一样，是实用而有效的运算方式。 Cartan把它用于微分几何。用活动标架法研究可微流形，得到的1-形式代表标架的运动速度，由此导出的曲率2-形式具有运动的加速度的意义。特别地，我们有,这就是Maurer-Cartan方程。假如，上式为0，Maurer-Cartan方程告诉我们空间是平坦的，这就是为什么Newton力学说的是加速度等于曲率。 活动标架法等价于研究主丛上的联络。那么考虑余切丛，1-形式自然地是的元素。更一般地。考虑外代数丛，它以微分形式为元素。
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只手遮天 新手上路 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线	6#大中小 发表于 2011-8-24 15:47 只看该作者 谢谢大家的回复，我有点头绪了， 谢谢大家的回复，我有点头绪了，
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星空浩淼 超级版主 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线

7#大中小 发表于 2011-8-27 09:53 只看该作者 大家的回答都不够直截了当，不便于楼主豁然开朗 简单地说，我们平时所见到的积分元，例如对三维空间中的体积积分，其积分元dxdydz，其实是微分形式，应该表达为： dx∧dy∧dz 在坐标变化下(x, y, z)→(a, b, c)，将该变换代入dx∧dy∧dz，能够自然而然地得到dx∧dy∧dz的变换公式（自动地出现一个雅可比行列式J）： dx∧dy∧dz→Jda∧db∧dc 反之，如果把坐标变化下(x, y, z)→(a, b, c)代入dxdydz，不能直接得到正确的变换公式dxdydz→Jdadbdc，此时需要利用微积分，经过很复杂的论证才能得到变换公式dxdydz→Jdadbdc，总之是很不自然。 换句话说，过去我们所见到的积分元dxdydz，其实是不够准确、不够本质的，其本来面目应该是dx∧dy∧dz，在数学本质应该是dx∧dy∧dz [ 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-8-27 10:08 编辑 ]

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雷霆王 新手上路 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线	8#大中小 发表于 2011-8-27 10:38 只看该作者 回复 5# 的帖子 您说的这些内容我都看不懂,但是我曾经在书上好象见过,请问是不是<微分几何>中的内容呢? 我曾经在学<黎曼几何>的时候见过一些你说的这些内容,有什么"1-形式""曲率-形式""比安基恒等式"等等,但是我不敢肯定 请问是不是呢?你们是不是在谈论<黎曼几何>中的内容呢?
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季候风 超级版主 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线	9#大中小 发表于 2011-8-27 11:20 只看该作者 r 次微分形式在流形的每一点都是该点切空间上的一个 r 次 “外形式”。 注意在没有赋予任何度量的时候，“体积” 是没有标准定义的。 r 次外形式无非是把 r 个矢量映射到一个数，这个数可以看作是这 r 个矢量张成的 r 维平行体的体积。所以，任何一个 r 次外形式都是一个“r 维体积函数”。 在 n 维流形上只有最高次微分形式（即 n 次形式）才能积分。这个积分过程无非是把流形分成小块，每个小块用切空间的 n 维平行体来近似，然后用该微分形式来计算每个小块的体积，最后加在一起。
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只手遮天 新手上路 个人空间 发短消息 加为好友 当前离线

10#大中小 发表于 2011-8-27 13:07 只看该作者 感谢两位版主的精妙解释，确实让我对这个问题有了更为根本的理解，非常感谢