复数是一个有大小和无大小、有序和无序，可度量和不可度量，有鲜明实际背景和无鲜明实际背景的对立统一体

复数是一个有大小和无大小、有序和无序，可度量和不可度量，有鲜明实际背景和无鲜明实际背景的对立统一体

文章编号：1000-8934(2002)11-0000-0

  论复数的本体论意义与方法论启示

     石益祥¹    李友松²

（1. 浙江海洋学院 数学系，浙江 舟山 316004； 2. 哈尔滨工程大学，哈尔滨 150001）

 

[1]摘要：在对复数认识及其在物理学中的应用历史回顾的基础上，本文运用马克思主义哲学本体论、认识论和方法论相统一的方法，将复数和物理学中的复数应用对象作对立统一的辩证分析，从而将复数的本体论意义——实数是空间的数量关系，纯虚数是时间的数量关系，复数则是时空的数量关系显现出来。最后是物理学中的方法论启示。

关键词：纯虚数； 复数； 空间； 时间； 本体论  

中图分类号：N031   文章标识码： A

 

 “数学概念是否反映客观的真实存在？”这是数学对象的本体论问题。

在纯数学概念中，复数是最基本的。它是数学的元素。复数的基本性决定了复数本体论问题的基础性，因此，成功地解决复数本体论问题将为数学本体论问题的最终解决打下良好的基础。这是解决复数本体论问题的数学哲学意义。

实数的本体论问题已经解决；虚数（除实数外的一切数）的本体论问题还没有解决。究其原因是实数的产生有显明的实际背景，虚数则没有。数学最初引进虚数是逻辑的需要，而物理学开始应用复数则是因为复数给物理学带来了方便。

在对复数认识及其在物理学中的应用历史回顾的基础上，本文运用马克思主义哲学本体论、认识论和方法论相统一的方法，将复数和物理学中的复数应用对象作对立统一的辩证分析，从而将复数的本体论意义——实数是空间的数量关系，纯虚数是时间的数量关系，复数则是时空的数量关系显现出来。最后是物理学中的方法论启示。

1 对复数认识的历史回顾

(1) 数的发展历史

复数出现在解一元二次方程中。1484年，法国人舒开在《算术三篇》中解一元二次方程 得到虚根 。但他声明这根是不可能的。

过了61年，卡当在求解一元二次方程时，认真地引入了虚数，并承认它是方程的根。但他仍然认为虚根是“诡辩量”，从而怀疑到这类数的运算合法性。

到了1637年，差不多又过了一百年，笛卡尔才在《几何学》中第一次给虚数命名“imaginary（虚的）”，以和“real（实的）”相对应。

1777年，欧拉在论文《微分公式》中首次使用 来表示 。

1797年，未塞尔（Caspar Wessel）对虚数作出合理的几何解释。1806年，日内瓦的阿工给出 “模”、幅角等概念和复数的三角表示式。

整个十八世纪和十九世纪上半叶人们在热烈地争论着复数的意义，但都没有弄清楚。

1.2名家论复数

卡当将虚根看成是“诡辩量”。笛卡尔认为虚数是虚无的。欧拉说虚数纯属虚幻。

莱布尼兹的妙论是“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的 的平方根”。^〔1〕

由于受科学发展水平的局限，恩格斯当年也不能真正认识 的真面目。恩格斯指出：“纯数学对象是现实世界的空间形式和数量关系。……悟性的自由创造物和想象物，即虚数。” ^〔2〕

    结论：虚数是“诡辩量”，是“自由的创造物和想象物”。   

2 对物理学应用复数的历史回顾

场是最早应用复数的地方之一。应用的方式有二：一是复势的理论；二是保角变换。

相对论 1905年，爱因斯坦在狭义相对论创立之初，将两个事件在三维空间和一维时间中的间隔表示为

      （1）。

1908年，闵可夫斯基引入四维时空和虚值时间坐标 ，于是（1）式就成了

   （2）。

这样两个世界点的距离在形式上和欧氏距离公式一致了。

1916年诞生的广义相对论沿用了闵可夫斯基空间的四维时空表示法。

而量子力学更多地应用了复数。

波动力学 1926年薛定谔在量子理论中用波函数（复变函数）来描述微观粒子的状态；用力学量对应的厄米算符的本征值（必为实数值）表示可观察量的可能值；建立了薛定谔波动方程

                              （3），

从此量子力学真正建立起来了。

矩阵力学 1925年海森堡建立了矩阵力学。它是通过引入不可对易性算符的替换，后来被狄拉克戏称为“一种有趣的游戏，利用普遍的公式

                    

就能把以前牛顿理论中动力学体系的各种模型变换成海森堡的新力学模型。” ^〔3〕

算符 物理可观察量可用算符表示。每个物理量对应厄米算符（厄米算符的本征值是实数）。本征值有连续和离散之分，很多离散的本征值成了现代物理学常用的量子数。

概率密度函数 1927年波恩给出波函数的统计解释。用波函数和其共轭函数相乘 ^*表示电子概率密度函数，它可以较好地解释 1927年戴维孙革未电子衍射实验。

在量子场论中，色散关系的推导用到了解析函数。还有在规范场论中的相因子变换理论等等。

宇宙学也用上了复数。在宇宙大爆炸理论模型中，存在所谓“奇点”困难。霍金尝试用虚时间消除这些奇点。在史蒂芬•霍金看来“……虚时间是真正的实时间，而我们叫做实时间的东西恰恰是子虚乌有的空想产物。在实时间中，宇宙的开端和终结都是奇点。这奇点构成了科学定律在那儿不成立的空间 — 时间边界。但是，虚时间里不存在奇点或边界。所以，很可能我们称之为虚时间的才是更基本的观念，而我们称作实时间的反而是我们臆造的，它有助于我们描述宇宙的模样。” ^〔4〕

总之，在经典物理学时期，原则上无需复数；平面向量场应用它是方法性的；相对论为了力求形式的简单；而到了量子力学和量子场论则非用复数不可。可以说，在经典物理学中“实数就是一切” ^〔5〕；而对于现代物理学，不能没有复数，没有复数就不可能有现代物理学。复数和现代物理学的这种紧密关系，难道是偶然的吗？

3 复数和复变函数的特性

3.1 复数的特性

实数的特性 实数有大小，有序，有鲜明的实际背景。实数是度量数。实数集有序，其本身是一个数域。

纯虚数的特性 纯虚数恰好同实数相反，纯虚数无大小，无序，无鲜明的实际背景。纯虚数不能作为度量数。纯虚数集无序，其本身不是数域。

复数的特性 复数是形如 的数，其中 和 是实数， 是纯虚数。当 时，复数即实数；而当 时，则为纯虚数。由实数和纯虚数的特性可知，复数是一个有大小和无大小、有序和无序，可度量和不可度量，有鲜明实际背景和无鲜明实际背景的对立统一体。

3.2复变函数的特性

周期性 复指数函数 是周期为 的周期函数，其中 。

整体性 与实变函数不同，解析函数具有整体相关的特性，主要表现在以下二个方面：

（1）柯西积分公式 将区域内部点和边界点的函数值相联系，这反映出解析函数值的相关性。

（2）留数定理 将解析点和奇点联系起来了。

和谐性 我们知道解析函数的实部和虚部都是调和函数，它们共同满足柯西—黎曼方程，故相互之间也是“调和”的（和谐的）。

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收稿日期：2002 – 05 - 20

作者简介：石益祥(1958-)，男，浙江东阳人，浙江海洋学院数学副教授，主要研究方向：（由他本人自然形成的）宇宙对立统一的基本理论；李友松（1937-），男，黑龙江哈尔滨人，哈尔滨工程大学哲学教授，曾任“自然辩证法教研室”主任，硕士生导师，主要研究方向：科学哲学。

 

4 现代物理学离不开复数的原因

 

4.1 经典力学中的原因

 

在经典物理学中，所有的物理量都是可观测的；可观察量用实数表示就够了。

 

平面向量场是最简单的场，而表示平面向量，复数最方便，因为复数既代表平面向量，又有数的运算方便。另外，解析函数的整体性恰好和场的整体性对应。然而，在经典物理学中，场是场，粒子是粒子，场和粒子是不同的物质，因而各自都可用实数表示。时间独立于空间，也用实数表示。

 

4.2   相对论中的原因

 

尽管洛伦兹变换将时间和空间联系起来了，但爱因斯坦本人并没有明确将时间和空间当作一个整体来看待。在狭义相对论诞生之初，时间是用实数表示的，时空坐标也没有放在一起形成一个时空点。更有甚者，在闵可夫斯基引入虚值时间坐标后，爱因斯坦曾感叹地说：闵可夫斯基把我的相对论弄得连我自己都看不懂了！^〔6〕闵可夫斯基将时空坐标放到一起后形成了世界点，世界点已经是一个整体了。笔者认为在这个整体里，既有实的空间坐标，又有虚的时间坐标，实虚对立，是一个名符其实的对立统一体。空间坐标用实数表示，时间坐标用纯虚数表示符合时空本身的特点：相对于可见的空间，时间更虚无缥缈。时空坐标用对立数表示是人类对时空认识的重大进步，它比时空坐标不加区分地全用实数表示更能反映时空的客观实在性。

 

4.3   量子力学中的原因

 

的物理意义 应注意到建立量子力学理论中的两种方法，无论是海森堡的“矩阵力学”中的对易关系，还是薛定谔波动方程，都同时出现因子 。 的物理意义应该认为它代表着量子化特性，存在作用量子；而 则代表波动特征。因此，可以说量子力学的理论建立在微观粒子波粒二象性的基础上。可见，引进 不只是方便，而是必需。这就是说复数是“实质性地进入量子力学，这是量子力学的重要特点。” ^〔7〕

 

然而，波动是用复指数函数描述的。在复波动函数里， 和 在一起。

 

和时间 的相关性反映在算符 中，可以把它写成 ，这样时间就是纯虚的。

 

概率密度函数的证实 复波动函数 和其共轭函数相乘形成的电子概率密度函数 ^*（是实函数）能很好地解释电子衍射现象。这说明波动不仅有直观的部分，还有不直观的部分，即虚的部分。

 

4.4 量子场论中的原因

 

在量子场论中，实践证明描写荷电正负介子对 ， 的场变量要用复变函数。实践还进一步证明了不荷电的正反介子对（如 ）也可以用复赝标量场来描述。^〔8〕

 

量子场之所以要用复数表达是因为量子场的波动性。

 

4.5   宇宙学中的原因

 

在实时间框架内，宇宙大爆炸理论不能自圆其说，于是霍金想到了虚时间。他试图用虚时间去消去大爆炸理论的奇点。这从反面告诉我们：一个理论，如果囿于实的范围，是无法自圆其说的。

 

总之，在经典物理学里，物质的基本形态：实物和场，被看成是独立的两种形态，每一种形态都可以用实数来表示，故实数就是一切。而在现代物理学中，实物和场是对立统一的整体，必须用整体的东西才能表达。这是现代物理学离不开复数的根本原因。

 

5 复数的本体论意义

 

从前节可知，复数概念对物理学来说是必不可少的。按照普特南的观点：如果某一概念对科学来说是必不可少的，我们就应该承认这一概念代表了真实的存在。普特南又说：“由于物理和数学是如此紧密地联系在一起的——离开了数学，甚至任何物理定律的表述是不可能的——因此，对物理客观真理性的肯定也就包含了对于数学真理客观性的肯定”。^〔9〕

 

那么，什么是复数所代表的真实存在呢？

 

量子场是粒子和场的对立统一体：场的激发表示粒子的产生，激发的消退便是粒子的消退。从对待角度分析，粒子有限，场无限；粒子有形，场无形；粒子无周期性，场有周期性；粒子可测，场不可测；粒子个体，场整体等等。再一次强调，上述的划分只是一种对待。可见，量子场是有限和无限、有形和无形、周期性与非周期性、离散和连续、个体与整体、可观察和不可观察等多种基本特性的对立统一体。如果读者注意到我们在第三节罗列出来的复数性质就不难发现量子场的对立统一特性和复数的对立统一特性之间存在极为相似的对应。

 

复数的这种极度抽象的形式，掩盖了它根源于外部世界的事实，使得我们长期以来无法弄清楚其本体意义。这是复数本体论问题长期悬而未决的根本原因。

 

在前一节的理论中，我们看到凡是用到复数的地方往往都会涉及时间。在相对论里，时间坐标可直接用纯虚数表示；在量子力学中， 代表波动，而波动总是在时间中进行的；量子场的主要特征是波动；在宇宙大爆炸理论中，霍金用虚时间消去大爆炸奇点，他认为“虚时间是真正的实时间，而我们叫做实时间的东西恰恰是子虚乌有的空想产物。”

 

在第一节，我们曾引用恩格斯的一段话：“纯数学对象是现实世界的空间形式和数量关系”，其中纯数学对象单就数来说是指实数。这个结论无疑是正确的。但恩格斯却把纯虚数看成创造物和想象物。如果我们把后者改成纯虚数是时间形式和数量关系，那么空间和时间的地位就完全对称了：实数是空间的数量关系；纯虚数是时间的数量关系；复数是时空的数量关系。

 

复数对象是时空本体的数量关系反映了物质运动的基本属性：时间和空间的真正统一。在复数这个时空数量关系里，“空间和时间本身都已成为影子，两者的结合才保持独立的存在”。闵夫斯基在1908年《空间和时间》里所说的话，至此才有了实实在在的意义。

 

6       方 法 论 启 示

 

本节讨论物理学中的方法论。

 

尽管当代科学所提出的问题和方法的范围极其广泛，但有些问题是贯穿这整个领域的，例如，时间问题和观察者所起的作用问题。正如李约瑟在他论述中国科学和文明的基本著作中经常强调的，经典的西方科学和中国的自然观长期以来是格格不入的，西方科学向来强调实体（如原子、分子、基本粒子、生物分子等），而中国的自然观则以“关系”为基础。

 

现代物理学基本上是空间化物理学。时间在动力学中不过是作为一个“几何参数”出现的；量子力学也没有例外，在量子力学中时间只是一个数（而不是算符）。

 

世界因时间变得复杂。时间概念比我们所想象的要复杂得多。因为时间总是给人们以虚无缥缈的感觉，正确认识它很困难。但是，只要我们运用对立统一的辩证方法去认识时间，是不难把时间概念的内涵和外延搞清楚的，到那时，绝对时间与相对时间（在爱因斯坦的“相对论”中引入“虚值时间坐标”）、实时间与虚时间（在霍金的“现代宇宙论”中引入“虚时间”）、外部时间与内部时间（在普里戈金的“耗散结构理论”中引入“内部时间算符”）真正统一起来了，从而实现时空观在根本上的突破——对立统一时空观（笔者的猜想）的建立。在对立统一时空观里，空间实，时间虚，时空是虚与实的对立统一体。特别值得指出的是，在这些重大的科学进展中都要使用“复数”的概念。

 

在现有的量子理论中，可观察的物理量都是实值（从而可由实验直接测量）；对应于实值物理量的厄米算符的本征值当然也只能取实数。这是人们总是往往把量子理论的基础问题囿于用观察者的实验验证和用实数定量表述的传统认识上的结果。可否把这个限制去掉，引进虚物理量和虚特征值？对此，笔者注意到狄拉克在1970年的一次关于不可观察的物理量是“最基本的概念”的谈话^〔10〕。这是一篇对未来的科学理论发展方向十分富有启示性的论述。要点如下：

 

海森堡并没有严格地信守他所说的要完全用可观察量来进行工作这一观念。他只是部分地坚持了这一观念。显而易见，要是只坚持可观察量便有所发现就会是相当容易了。这必然有不可观察量进入理论中，而难办的事就是要找出这些不可观察量究竟是什么。

 

如果要问量子力学的主要特征是什么，我们现在倾向于要说：“这个特征不是不可对易的代数学，而是几率幅度（笔者注：在矩阵力学中是矩阵元；在波动力学中是波函数。）的存在，它构成一切原子过程的基础。现在几率幅度同实验的联系只是部分的。它的模的平方才是我们能够观察得到的，那就是做实验的人所得到的几率。不过除此之外还有相，这是一个模数为  的数，可以对它改动而不影响模数的平方。这个相是十分重要的，因为它是一切干涉现象的根源，但是，它的物理意义并不清楚。因此，你不妨说，海森堡和薛定锷的真正天才是发现了几率幅度（包括这个相量）的存在，它是很好地隐藏在自然界中，正由于它隐藏非常好，所以人们不可能在更早以前想到量子力学”。

 

为解决今天原子物理学的困难所需要的那种新的伟大概念同样也会到来，发现这个观念的不会是直接寻找它的人们，而会是沿着迂回的道路向这一伟大目标前进的人们。

 

最后，笔者引用狄拉克的一句话作为本文的结束语。

 

他说：“我可以直截了当地说，我们对未来应当完全不带一点成见。”

 

参考文献

 

〔1〕鲁又文. 数学古今谈〔M〕. 天津:科学技术出版社. 1984. 117.

 

〔2〕马克思恩格斯选集. 1972. 77.

 

〔3〕狄拉克. 物理学方向〔M〕. 张宗宜 郭应焕. 北京科学出版社, 1983.  6.

 

〔4〕史蒂芬. 霍金.  时间简史〔M〕.  湖南科技出版社, 1996. 128.

 

〔5〕[日]都筑卓司着. 时间的奥秘〔M〕. 王旭. 北京:科学出版社,  1997. 106.

 

〔6〕曹盛林, 曾国平. 时空的对立统一〔J〕. 自然辩证法研究, 8 （1994）, 18.

 

〔7〕喀兴林. 量子力学与原子世界〔M〕. 山西:科学技术出版社, 2000. 26.

 

〔8〕邹兴国. 量子场论导引〔M〕. 北京科学出版社, 1981. 423.

 

〔9〕夏基松, 郑毓信. 西方数学哲学〔M〕. 北京人民出版社, 1986. 201, 225~227.

 

〔10〕P•A•M狄拉克. 相对论和量子力学〔M〕. 现代物理学参考资料（第三集）. 北京:科学出版社, 1978. 40~44.