对绝对值概念的扩充。内积在物理上表示某物体 x 的物理量与另某物体 y 的物理量的近似程度。另外它在力学上表示功(作用力x下将物

来源: 于 2011-09-17 11:46:27 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

什么是向量

目录

 

什么是向量

向量的微分

向量值函数

 

测试

参照日志

Back

 xy 轴上的物体位置可用 x 坐标与y 坐标这两个元素来表示。 当物体从坐标 A=(ax, ay) 移动到坐标 B=(bx, by) 的时候、其位置的变化用从A指向B的有方向和大小的量来表示、这个量称为向量。 本例的向量B – A为
    B-A = (bx-ax, by-ay)

。 尤其当始点为原点的时候、终点坐标的值与向量的各元素相同。 另外、由3个元素构成的向量称为3维向量。一般由n个元素构成的向量称为n维向量。

 

向量的运算
对于向量 A = (a1, a2, … , an), B =(b1, b2, …, bn) 和标量 c ，以下的公式成立。
  1. A + B = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)
  2. -A = (-a1, -a2, ･･･, -an)
  3. A - B = (a1-b1, a2-b2, …, an-bn)
  4. cA = (ca1, ca2, ･･･, can)
  5. ||A|| = sqr(a1^2 + a2^2 + … + an^2) 这个值称为向量的模，是对绝对值概念的扩充。

 

内积(标量积)
向量 A = (a1, a2, … , an), B =(b1, b2, …, bn) 及它们的夹角为θ时， A 与 B 的内积 (A,B)的定义如下。

    (A,B) = ||A|| ||B|| cosθ = a1b1+a2b2+ … +anbn

内积具有以下的性质。

  1. 0 < (A,B) 时 0 < θ < 90°
  2. 0 = (A,B) 时 0 θ = 90°
  3. (A,B) < 0 时 90° < θ < 180°

内积在物理上表示某物体 x 的物理量与另某物体 y 的物理量的近似程度。另外它在力学上表示功(作用力x下将物体往方向y移动||y||时消耗的能量)。

 

外积(向量积)
向量 A = (ax, ay, az), B =(bx, by, bz) 及它们的夹角为θ时， A 与 B 的外积 (A,B)的定义如下。

    A*B = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)

。

  • 外积 A*B 的方向取决于右手系，即从A 向 B 旋转右螺丝时的螺丝前进方向、它垂直于向量 A, B。 外积 A*B 的大小（长度）为

      ||A|| ||B|| sinθ

    、这个值与向量 A, B 构成的平行四辺形的面积相等。

    外积具有以下的性质。

    1. 因外积的大小与两个向量构成的平行四辺形的面积相等，故当且当向量 A与 B 平行的时候

        A*B =0
    2. 向量 A ，B 的外积 A*B 与 外积B*A 的大小（长度）相等，方向相反。

        A*B = -(B*A)