三维空间中，三个不共面的矢量（即三个线性无关的矢量），可以作为三个基矢确定一个完备的三维空间斜交（仿射）坐标系。

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"逆变矢量协变矢量基矢量"

关于左矢、右矢和相伴基矢、相伴矢量以及协变矢量、逆变矢量的几点 ...

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互易矢量图：协变矢量如何从逆变矢量中变来

(2010-05-17 23:47:05)

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标签： 互易矢量 协变矢量 逆变矢量 教育

互易矢量图：协变矢量如何从逆变矢量中变来

abada

看图：

三维空间中，三个不共面的矢量（即三个线性无关的矢量），可以作为三个基矢确定一个完备的三维空间斜交（仿射）坐标系。

设它们是 e_1, e_2 和 e_3.

它们可能是斜交的：e_3 不垂直于e_1 和 e_2 所在的平面。

设 e^3 与e_1 和 e_2 所在的平面垂直，通过叉积 e_1 x e_2 得到e^3的方向，叉积方向符合右手定则。这样似乎把一个e_3掰直成为 e^3 了。

但是，同样的操作必须继续：通过 e_2 x e_3 得到e^1的方向，并通过 e_3 x e_1 得到e^2的方向。

这样我们可以得到一个新的斜交仿射坐标系，基轴方向是 e^1, e^2 和 e^3。

但基轴的长度呢？e^3的长度不等于e_3, 而是如下得出：

e^3= [1/sq*(g)] e_1 x e_2

其中g是原坐标系的度规行列式的值。

如果一个矢量A用原 e_1, e_2 和 e_3坐标系中的分量分解表示，就是逆变矢量的表示法：A^i，即A= A^i e_i （按爱因斯坦求和约定求和）

如果一个矢量A用上述新构成的互易矢量坐标系的分量分解表示，就是协变矢量的表示法：A_i， 即A= A_i e^i