逆变矢量构成余切空间，协变矢量构成切空间:协变矢量实际是沿曲线的切向量，标识曲线本身的变化；逆变矢量则是一阶微分形式，意义是向量

来源: marketreflections 于 2011-09-16 21:59:28 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

协变矢量与逆变矢量协变矢量与逆变矢量在物理实质上的区别是什么啊,为什么一个矢量需要有两种形式呢?
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星空浩淼

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2^#大中小发表于 2008-9-29 09:35 只看该作者

在空间中定义了矢量之后，还需要引入空间中的距离概念，这相当于对矢量进行某种度量（例如矢量的长度或模），这样就需要把矢量跟数量联系起来。一般地，这就需要定义该空间中的内积运算，而某个矢量的长度，对应该矢量与它自身的内积开平方。

为了定义内积运算，除了矢量，还要引入与矢量对偶的对偶矢量，内积就是矢量与对偶矢量之间的运算（这种运算满足一些内积公理）。协变矢量与逆变矢量，相当于矢量与对偶矢量，二者之间的缩并运算，即是矢量之间的内积运算。对于三维空间中的矢量而言，矢量的对偶矢量是矢量本身，因此不必区分矢量与对偶矢量，此时也就不分协变矢量与逆变矢量，这是一种特例。

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phoenix

新手上路

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3^#大中小发表于 2008-9-29 10:01 只看该作者

原来如此
刚看张量分析的时候,我也奇怪为什么要用两种矢量,
后来学电动力学发现没用到,就把它们忘了

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季候风

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4^#大中小发表于 2008-9-29 10:45 只看该作者

内积不是矢量与对偶矢量之间的运算。对偶矢量 f 就是矢量空间上的线性函数， f: V --> C. 它们的配对是函数在自变量上取值,
<f,v> 被定义为 f(v).

做内积的两个矢量一定要是同一类型的。

http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space

“协变” 就是在（局部）坐标变换 $x \mapsto \tilde{x}$ 下，分量按照
$\tilde{\alpha}_i (\tilde{x})\, \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^j} = \alpha_j (x)$
变换。这样的变换保证微分形式
$\alpha = \alpha_i \,dx^i$
不依赖于局部坐标的选取。

“逆变” 就是在（局部）坐标变换下，分量按照
$\tilde{v}^i(\tilde{x}) = \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^j}\, v^j(x)$
变换，使得切向量场
$v = v^i\, \frac{\partial}{\partial x^i}$
不依赖于局部坐标的选取。

协变矢量就是微分形式，逆变矢量就是切矢量场。在每一点，微分形式的值称为 “余切矢量”，它是切空间上的线性泛函，
$\alpha(v) = \alpha_i \,dx^i \left(v^j \,\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = (\alpha_i\,v^j)\,dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \alpha_i\,v^j \delta^i_j = \alpha_i\,v^i$
完全跟内积没有关系。

只有在给了黎曼度量 $g = g_{ij}\, dx^i \otimes dx^j$ 以后，在切空间上才有内积，
$(v,w) := g_{ij}\, dx^i \otimes dx^j \left(v^k\,\frac{\partial}{\partial x^k},\ w^l\,\frac{\partial}{\partial x^l}\right) = g_{ij}v^iv^j$

[ 本帖最后由季候风于 2008-9-29 11:19 编辑 ]

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前程如梦

新手上路

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5^#大中小发表于 2008-9-29 11:17 只看该作者

每逢看到季候风师兄和这里的其他高手谈论数学的时候,我都在怀疑自己究竟有没有学过数学

没办法,反正我是看不懂了,哎!

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季候风

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6^#大中小发表于 2008-9-29 12:31 只看该作者

干脆再彻底一点，在线性空间就能把这个问题说清楚，不需要到流形上面去。虽然书上都有，不过单独写在这里，也许没有看书那么费解。（注意这个帖子和上一帖子都用了爱因斯坦求和约定，同一项里相同的指标表示对此指标求和）

假设线性空间 V 有一组基， $\mathbf e_i$ . 现在考虑 V 上所有 “线性函数”，即满足
$f(a \mathbf v+b \mathbf w) = af(\mathbf v) +b f(\mathbf w)$
的函数 f. 这些函数也组成线性空间，称为 V 的对偶空间，记作 $V^*$ .
对偶空间当然可以有很多组基，但其中有一组基 $\alpha^j$ 比较特别，它同 V 上已经指定的基 $\mathbf e_i$ 有密切关系，
$\alpha^j (\mathbf e_i) = \delta^j_i$ .
上式本身就是这组对偶基的定义。每一个 $\alpha^j$ 都是一个线性函数。我们知道，如果要定义一个函数，需要指定它在任意自变量上的值，但如果要定义线性空间上的一个线性函数，只需要指定它在一组基上的值就够了。所以上式的确定义了这些函数。任一 V 的元素可以写成 $v = v^i \mathbf e_i$ , 任一 $V^*$ 的元素（线性函数）可以写成 $f = f_j\alpha^j$ , 这样 f 在 v 上的取值就可以用在对偶基上的分量来简单计算，因为
$f(v) = f_j \alpha^j (v^i\mathbf e_i) = f_j v^i \alpha^j(\mathbf e_i) = f_j v^i \delta^j_i = f_iv^i$ .

现在，如果在 V 里做一个基变换 $\tilde{\mathbf e}_i = a^j_{\phantom{j}i} \mathbf e_j$ . 这里关于矩阵指标的约定是，紧靠 a 的指标是行指标，远离 a 的指标是列指标。那么，矢量在新的一组基上展开的分量 $\tilde{v}^i$ 跟原来的分量有什么关系？
$v^j \mathbf e_j = v = \tilde{v}^i \tilde{\mathbf e}_i = \tilde{v}^i a^j_{\phantom{j}i} \mathbf e_j$ .
由展开唯一性，
$v^j = a^j_{\phantom{j}i} \tilde{v}^i$ .
这样的分量变换称为 “逆变”，因为如果要把新的分量写成一个矩阵乘上旧的分量，就需要乘上基变换矩阵的逆矩阵。

再看新基的对偶基跟原来的对偶基有什么关系，
$\tilde{\alpha}^j(\mathbf e_i) = \tilde{\alpha}^j (b^k_{\phantom{k}i}\tilde{\mathbf e}_k) = b^k_{\phantom{k}i} \tilde{\alpha}^j (\tilde{\mathbf e}_k) = b^k_{\phantom{k}i} \delta^j_k = b^j_{\phantom{j}i} = b^j_{\phantom{j}l} \delta^l_i = b^j_{\phantom{j}l} \alpha^l (\mathbf e_i)$
这里 b 是 a 的逆矩阵。两个线性函数如果在同一组基上的值相等，它们就是同一个函数，所以
$\tilde{\alpha}^j = b^j_{\phantom{j}l} \alpha^l$ .

那么任何线性函数 f 在新对偶基上的分量跟原来的分量有以下关系，
$f_i \alpha^i = f = \tilde{f}_j \tilde{\alpha}^j = \tilde{f}_j b^j_{\phantom{j}i} \alpha^i$ ,
由展开唯一性，
$f_i = b^j_{\phantom{j}i} \tilde{f}_j$ .
如果要把新分量写成矩阵乘上旧分量，
$\tilde{f}_j = a^i_{\phantom{i}j} f_i$
这样的分量变换称为 “协变”。

所以，逆变矢量是底层线性空间 V 里的元素，而协变矢量是对偶空间 $V^*$ 里的元素，或者说，协变矢量其实是线性函数。

以上讨论里没有任何地方涉及到 “内积”，两个空间上都只有线性结构。

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星空浩淼

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7^#大中小发表于 2008-9-29 12:53 只看该作者

我前面说的，与季兄说的事实上并不矛盾，这里可能再次涉及到同一概念在物理学与数学中的含义差异（但是都指同一事实）。其次，我考虑到楼主问的不是什么叫做协变矢量或逆变矢量（估计楼主正在学习这些内容），他不明白的不是“是什么”，而是“凭什么”和“为什么”。

在坐标基变换下，存在两种不同变换方式的矢量，它们分别是协变矢量和逆变矢量，这一点季兄前面讲得很仔细，回答了“是什么”。其次，我是试图从物理动机上回答楼主，回答“凭什么”和“为什么”。

在物理学中，例如量子力学中，不把线性泛函f(φ)=<f|φ>称作与Dirac右矢|φ>对偶的矢量，而是把Dirac左矢<ψ|和右矢|ψ>看作是互为对偶的矢量（二者互为厄米共轭）。由量子态张成的Hilbert空间中的内积，定义为两个对偶矢量即左矢<ψ|和右矢|φ>之间的运算：<ψ|φ>。尽管我们通常说：态矢|φ>与|ψ>之间的内积为<ψ|φ>，但是求内积时，要对其中一个态矢取厄米共轭，即取它的对偶（注意到<ψ|φ>和<φ|ψ>互为复共轭）。另一方面，按照泛函分析，则是把线性泛函（即波函数）f(φ)=<f|φ>称作与右矢|φ>对偶的矢量，即假如{|φ>}张成一个Hilbert空间，则线性泛函f(φ)=<f|φ>是与该空间对偶的空间中的元素。另一方面，由于f(φ)=<f|φ>与左矢<f|是一一对应的关系（假定把<f|+<α|和<f|看作是一个矢量，如果<α|φ>＝0），所以物理学中，直接把左矢<f|说成是右矢|ψ>的对偶矢量。顺便地，假如|x>是位置矢量算符X的本征态，则线性泛函x(φ)=<x|φ>在物理学中记为φ(x)，它正是位置表象下的波函数。同理，设|p>是动量矢量算符P的本征态，则线性泛函p(φ)=<p|φ>（物理学中表达为φ(p)）对应动量空间中的波函数。

用一个实例来说明：在证明N维欧氏空间的对偶空间是它本身的时候，正是利用N维欧氏空间矢量x的线性泛函f(x)=(f,x)与矢量f之间存在一一对应的关系。在这里，矢量x的线性泛函f(x)=(f,x)＝∑f_ix_i(即f_i与x_i相乘，再对i求和，i=1,2,...N)，本来作为两个矢量f和x之间的内积，是一个数量而不是矢量，或者说作为泛函是以矢量x为变量的标量函数。但是我们又可以把f(x)＝∑f_ix_i重新解释为以{f_i}为坐标基的矢量，此矢量便是N维欧氏空间的对偶空间中的矢量，而坐标基{f_i}即是对偶空间中的坐标基，即对偶基。事实上，设{e_i}(i=1,2,...N)是N维欧氏空间的坐标基，则矢量分量f_i＝（f,e_i）是矢量f在基向量e_i上的投影，把这个投影看作是另一个空间的基向量，便构成对偶空间中的坐标基。由于对偶矢量即线性泛函f(x)=(f,x)与矢量f之间存在一一对应的关系，而矢量f又是N维欧氏空间中的矢量，因此N维欧氏空间的对偶空间是它本身。

反之，在量子力学中，尽管矢量|φ>的线性泛函f(φ)=<f|φ>与左矢<f|之间是一一对应的（假定把<f|+<α|和<f|看作是一个矢量，如果<α|φ>＝0），由于<f|是|f>的厄米共轭，<f|不属于态矢量空间{|φ>}中的元素，因此{|φ>}的对偶空间不是它本身。另一方面，也正是由于这种一一对应的关系，我觉得物理学中，直接把协变矢量和逆变矢量、或把左矢和右矢称作是互为对偶的矢量，是合理的。在这种概念下，我们说，张量可以用张量基展开，而对偶张量可以用相应的对偶基展开，其中张量基及其对偶基，正好一个是协变张量一个是逆变张量（或反之）。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-9-29 19:27 编辑 ]

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星空浩淼

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8^#大中小发表于 2008-9-29 18:38 只看该作者

以上讨论里没有任何地方涉及到 “内积”，两个空间上都只有线性结构。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我认为这里其实还是隐含了内积运算——即由矢量到数量之间的映射，最明显的一点，就是你在6楼帖子中的第二个公式，是基向量与对偶基向量之间的运算，运算结果是一个δ函数。矢量之间的内积运算，可以归结到基向量之间的内积运算，因此你在6楼帖子中的第二个公式，是全部的基础。关于泛函与内积运算之间关系的具体解释，我已经在楼上给出。

数学讲究高度形式化和一般化，但是一到具体解释或具体应用的时候，有些含义就出来了。比如我提到隐含的内积运算，在我所知道的任何具体应用中，定义在矢量上的线性泛函，总是来源于与该矢量相关的一个内积运算，只是把这个运算的结果（标量函数），重新解释为一个矢量，并由该矢量引出对偶空间的定义。

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季候风

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9^#大中小发表于 2008-9-29 20:13 只看该作者

引用:

用一个实例来说明：在证明N维欧氏空间的对偶空间是它本身的时候，正是利用N维欧氏空间矢量x的线性泛函f(x)=(f,x)与矢量f之间存在一一对应的关系。

一个空间及其对偶空间本来就是 “两个空间”，至多能证明它们 “同构”，对偶空间绝对不是 “空间本身”。

引用:

在这里，矢量x的线性泛函f(x)=(f,x)＝∑f_ix_i(即f_i与x_i相乘，再对i求和，i=1,2,...N)，本来作为两个矢量f和x之间的内积，是一个数量而不是矢量，或者说作为泛函是以矢量x为变量的标量函数。但是我们又可以把f(x)＝∑f_ix_i重新解释为以{f_i}为坐标基的矢量，此矢量便是N维欧氏空间的对偶空间中的矢量，而坐标基{f_i}即是对偶空间中的坐标基，即对偶基。

f_i 是一组数值，怎么可能作为对偶空间的基？对偶空间里的元素是线性函数，其基底也必须由线性函数组成。

引用:

事实上，设{e_i}(i=1,2,...N)是N维欧氏空间的坐标基，则矢量分量f_i＝（f,e_i）是矢量f在基向量e_i上的投影，

不同空间的对象怎么相互 “投影” ？

引用:

把这个投影看作是另一个空间的基向量，便构成对偶空间中的坐标基。由于对偶矢量即线性泛函f(x)=(f,x)与矢量f之间存在一一对应的关系，而矢量f又是N维欧氏空间中的矢量，因此N维欧氏空间的对偶空间是它本身。

呆会儿另开一个帖子讨论这句话

[ 本帖最后由季候风于 2008-9-29 20:48 编辑 ]

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blackhole

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10^#大中小发表于 2008-9-29 20:29 只看该作者

我记得数学上有一个定理, 是说有限维线性空间中, 对于确定的矢量a, <a, >就确定了该空间上的一个线性函数. 且二者一一对应. 所以楼上两种观点是相容的. 但对于无限维空间, 事情就复杂了.

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季候风

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11^#大中小发表于 2008-9-29 20:46 只看该作者

引用:

原帖由 blackhole 于 2008-9-29 20:29 发表
我记得数学上有一个定理, 是说有限维线性空间中, 对于确定的矢量a, 就确定了该空间上的一个线性函数. 且二者一一对应. 所以楼上两种观点是相容的. 但对于无限维空间, 事情就复杂了. ...

这个定理是说，如果有限维空间上有一个内积 (,), 那么矢量和线性函数之间就有一个1-1对应。不同的内积给出不同的对应。
楼上两种观点是不相容的。

[ 本帖最后由季候风于 2008-9-29 20:47 编辑 ]

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一直想思考

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12^#大中小发表于 2008-9-29 21:40 只看该作者

主观定义度规当然是不行了，度规是附加空间结构

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jinsong

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13^#大中小发表于 2008-9-30 00:05 只看该作者

对有限维矢量空间 $V$ 来说，他与其对偶空间 $V^*$ 同构是毫无问题的。但是这种同构依赖于基的选取，不是canonical的。但若给定 $V$ 上一个内积，就相当于给定了一个 $V \times V$ 的nonsingular pairing，这时候 $V$ 与 $V^*$ 就可以建立自然同构，即这种同构不依赖于基的选取， $V$ 中矢量坐标发生什么变化， $V^*$ 中对应矢量坐标发生对应的变化。
这个想法也可以不用基和坐标来表达，而用Riesz表示定理：内积空间 $V$ 上的任一线性函数 $f$ 都存在唯一一个 $V$ 中的矢量 $v_f$ 使得 $f(u) = <u, v_f>$ 。Riesz表示建立了 $V$ 与 $V^*$ 自然同构。这时可以在 $V^*$ 上定一个自然的内积： $<f, g> = <v_f, v_g>$ 。这个做法对任何Hilbert空间都是对的。

[ 本帖最后由 jinsong 于 2008-9-30 00:08 编辑 ]

shingo ki~~ck！

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星空浩淼

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14^#大中小发表于 2008-9-30 01:21 只看该作者

用一个实例来说明：在证明N维欧氏空间的对偶空间是它本身的时候，正是利用N维欧氏空间矢量x的线性泛函f(x)=(f,x)与矢量f之间存在一一对应的关系。一个空间及其对偶空间本来就是 “两个空间”，至多能证明它们 “同构”，对偶空间绝对不是 “空间本身”。
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我谈到的是泛函分析教材上的例子，不是我自个儿杜撰的哈

可能工科数学教材跟纯数学教材有些差异

其他的暂时不多谈，睡觉了

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季候风

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15^#大中小发表于 2008-9-30 02:50 只看该作者

回复 14# 的帖子

n 维有限维空间都同构。如果把同构的空间都当成同一个空间，那谈论各种不同的线性空间还有什么意义？谈 “逆变” “协变” 就更没意义。

不是每个配对都可以称作内积，就像不是每个有长度有方向的量都可以称作矢量。

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星空浩淼

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16^#大中小发表于 2008-9-30 11:34 只看该作者

回复15楼：
这里还有另外一种理解方式：N维欧氏空间中的矢量不必区分“逆变” 、“协变” 分量。而象四维时空这种伪欧氏空间，则需要进行这种区分。如果把时间分量用虚数表示，也不必区分“逆变” 、“协变”指标，但此时时间分量虚数，而空间分量是实数。

我前面的说明，并非说季兄哪儿有错，只是解释我的回答。季兄谈的比较严格和具有一般性，我说的则比较狭窄。在我所考虑的具体应用范围内，只要每个配对可以解释为内积，我前面所说的就没有问题。

至少，就楼主的问题而言，张量逆变分量和协变分量之间的缩并，的确对应矢量之间的内积运算（把张量用并矢式表达式，最能看出这一点来）。在季兄4楼的说明中，张量逆变分量和协变分量之间的缩并，可以归结为基dx^i和对偶基d/dx^j之间定义的内积运算：
(dx^i, d/dx^j)=δij
这里d表示偏微分符号矢量

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-9-30 11:36 编辑 ]

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zyyzsh

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17^#大中小发表于 2008-9-30 14:29 只看该作者

逆变矢量构成余切空间，协变矢量构成切空间。逆变矢量是定义在切空间上的函数---就好像你要在坐标空间上定义函数一样，你也可以在切空间上定义函数，一个逆变矢量作用在一个协变矢量上给出一个数。
协变矢量和逆变矢量本质上就是不同的，这从他们的基的不同就可以看出来。
协变矢量：A=A^i * d/dx^i
逆变矢量：W=W_j * dx^j
W(A)=W_j * A^j <dx^j,d/dx^i>=W_j * A^i。
展开的基分别是d/dx^i和 dx^j，这也是“协”和“逆”的由来。
如果有度规的话，我们也可以把一个协变矢量变成逆变的,即用度规g_ij做指标升降。
g_ij * A^i = X_i
通俗地说，协变矢量实际是沿曲线的切向量，标识曲线本身的变化；逆变矢量则是一阶微分形式，意义是向量场的梯度。画一族等高线（用梯度来描述），再任取一个切矢量。两者标积（某作用在某上得到一个数）就是此切矢量和等高线相交的次数。
协变矢量是无法替代逆变矢量作为梯度的作用的，所以它们两者本质根本不同。唯一的办法就是引入附加结构（度规），这样才能把两者联系起来。建议去看B. F. Schutz的书，Geometrical Methods of Mathematical Physics。

[ 本帖最后由 zyyzsh 于 2008-9-30 14:41 编辑 ]

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星空浩淼

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18^#大中小发表于 2008-9-30 14:48 只看该作者

展开的基分别是d/dx^i和 dx^j，这也是“协”和“逆”的由来。
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在坐标系的变换下，矢量分量的变换形式跟坐标基的变换形式是一致的还是不同的，这才是“协变”和“逆变”的概念来源吧
例如，设M是变换矩阵，N是M的逆矩阵，在基矢变换e→f=Me下
矢量分量r变换为：r→r'=Mr
而矢量分量s变换为：s→s'=Ns
则矢量分量r和矢量分量s分别是“协变”和“逆变”矢量分量。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-9-30 17:02 编辑 ]

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星空浩淼

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19^#大中小发表于 2008-9-30 17:43 只看该作者

协变矢量和逆变矢量本质上就是不同的
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
首先，同一个矢量R，既可以用基向量e_i展开，也可以用对偶基向量e^i展开：
R＝R^ie_i=R_ie^i （重复指标按照爱因斯坦求和指标求和）
其中R^i和R_i分别是矢量R的逆变分量和协变分量。
其次，对于N维欧几里德空间，在笛卡尔直角坐标系中，不必区分基向量与对偶基向量，矢量的逆变分量和协变分量没有分别，此时用来升降指标的度规张量，即是Dirac的δ_ij函数。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-9-30 17:48 编辑 ]

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季候风

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20^#大中小发表于 2008-9-30 18:50 只看该作者

内积是配对 $(,): \quad V\times V \to \mathbb C$ ,
而线性函数取值是配对 $<,>: V^* \times V \to \mathbb C$ .

如果你还坚持它们是一回事，那你怎么解释在复线性空间里内积对两个因子是 “一个半线性” ？
$(av, bw) = a\bar{b} (v,w)$ ,
但线性函数，根据定义，是 "线性" 的，
$<af, bv> = ab <f.v>$