对一个协变矢量Xdx求微分,∇(Xdx)=∇(X)dx+X∇(dx),第一项中只对矢量的分量

来源: 于 2011-09-16 20:38:25 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

啦啦啦，提个仿射空间的问题？

Logogogo

2009-09-06 11:02:31来自: Logogogo(Pig has Dreams)

小本有两个问题：
1）协变矢量和逆变矢量有什么不同，还是说他们的区别就像是正数和负数的关系一样？
2）协变微商和普通微商的区别是什么？最好能告诉我形象的说法，因为我是个物理小本……
3）空间各点的联络是不是相同的？

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希望大牛们不吝指教！！！

  • 乡关何处

    2009-09-06 16:24:29 乡关何处 (那些花儿)

    re：1）我的理解是协变矢量和逆变矢量分别是行向量和列向量，变换规则不同。
    ps：我也是小本...

  • 2009-09-06 17:38:18 [已注销]

    我不敢称牛,随便说说啊 呵呵, 在网上做学术讨论其实是很困难的,因为仅仅有文字的传达很难做到精准.

    1)根据你的标题以及正文内容 我猜你正在学习张量分析 (*^__^*) 嘻嘻……
    你的书肯定会说类似的话语:仿射空间就是没有定义度规的矢量空间,于是在仿射空间中协变矢量和逆变矢量是彻彻底底的不同矢量,说得更啰嗦一点,这里的仿射空间不能使用"矢量"这个词,因为这样说意义不明确,你非得说是协变矢量还是逆变矢量.

    你的书肯定是按照近代数学的观点写的,它所说的逆变矢量和协变矢量大部分情况实际上指的是逆变矢量或者协变矢量在某个坐标系下的分量,而逆变和协变的差别就是坐标变换时其分量变换表现的不同行为,前者按坐标基矢变换矩阵的逆矩阵变换,后者直接按坐标基矢变换矩阵变换. 这样的学法和教法已经沿袭很多很多年,其实按照现代数学的观点逆变,协变矢量,张量(张量其实就是这两种矢量做不同次张量积后的产物)统统都是映射.更进一步说,协变矢量和逆变矢量互为泛函,各自是彼此的变量,一般的张量的实质就是多重线性泛函.

    2)协变微商和普通微商都是指某类型张量以某种标准看其变化率如何的操作,按照现代数学的观点看,这两个概念也是一种映射map,前者无关乎坐标的选择,后者是在特定坐标下的变化率.
    什么是协变微商是有严格的定义的,它作用于张量,得到协变指数高一阶的张量,其实协变微商其实只不过是一个马甲,它有另一个马甲,叫协变导数,它们的真身叫做[导数算符],满足导数算符定义的操作有无限多个,也就是说,存在很多很多"导数算符",协变微商不限定坐标系,普通微商是限定在某坐标系下谈变化率的导数算符,而联络就是协变微商和普通微商分别作用于(p,q)型张量所得的"差",这是一个形象的说法,每本讲这个的书都会给出一个复杂的具体公式.

    3)问"空间各点的联络是不是相同的?" 也就是问空间的各点上的协变微商和普通微商的"差"是不是相同的? 这个问题取决于空间的性质,不同的空间有不同的答案,对于Euclidean空间, 是相同的.对于一般Riemann空间就很可能不同了.


    如果你觉得你正在学的这些东西对你很有用或者很感兴趣,建议找本按照现代数学的观点写的书看看吧,比如梁灿彬老师的<微分几何和广义相对论>或者余扬政 冯承天写的<物理学中的几何方法>, 这都是中文版,英文版的就更多了.

  • 超不洛伊

    2009-09-06 21:31:45 超不洛伊 (異化蟲)

    1）协变矢量和逆变矢量
    ==========================
    在变换坐标的时候，分量变换方式跟坐标变换方式相同的叫协变矢量，相反的叫逆变矢量。


    2）协变微商和普通微商的区别是什么？
    ==========================
    协变微商是附加有条件的微商。相对论中所选取的附加条件是保持内积不变。


    3）空间各点的联络是不是相同的？
    ==========================
    空间点上的联络取决于此处的几何以及上面所提到的附加条件，是属于该点的一个特征量，没必要与其它点相同。

  • 超不洛伊

    2009-09-06 21:37:43 超不洛伊 (異化蟲)

    没记错的话协变矢量的基矢是dx，逆变矢量的基矢是 偏微分符号/偏微分符号x

    中学学过的矢量是逆变矢量

  • 2009-09-06 22:05:00 [已注销]

    哎 还是微分几何的语言好.

  • 超不洛伊

    2009-09-07 10:41:33 超不洛伊 (異化蟲)

    2）协变微商和普通微商的区别是什么？最好能告诉我形象的说法，
    ==========================
    对一个协变矢量Xdx求微分，按照莱布尼兹律：

    ∇(Xdx)=∇(X)dx+X∇(dx)

    第一项中只对矢量的分量X求微分，基矢dx不做变化，就是我们熟悉的普通微分。
    第二项中∇(dx)表示相邻点间基矢dx的变化，它就是一个联络。
    上面的式子其实就是一个协变微分。

    "A first course in general relativity" by Schutz B.F. (CUP, 1985)(ISBN 0521277035)就是这样引入协变微分的。这本书数学和物理都讲的很好，可能是最好的广义相对论入门书了。

  • Logogogo

    2009-09-07 14:29:10 Logogogo (Pig has Dreams)

    A first course in general relativity
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    我看到你在别处的推荐了，呵呵
    嗯，非常谢谢上面的大牛了，虽然我还是不怎么懂……