欧拉示性数不会改变。只有当空腔、管道、凹处或者突起出现时它的值才会改变

让我们再一次考虑那个包含一个立方体形空腔的立方体吧。通过计数可以发现它有16个顶点、24条棱和12个面。于是欧拉示性数算出来是4，正好是2加上空腔个数的2倍。接下来再验证一个内含三棱锥形空腔的五棱锥。这个几何体有10个顶点、16条棱和10个面。欧拉示性数又等于4。你可以随便选取几何体和空腔的形状，而欧拉示性数总是4。

这个公式最吸引人的特点在于立方体可以换成四棱锥、二十面体也可以换成十二面体，几何体既可以是直角的也可以是斜的，但是欧拉示性数从不会改变。在没有空腔的时候它是2。如果几何体内藏着一个空腔，则欧拉示性数是4，无论几何体和空腔的形状如何。如果几何体内包含两个空腔，则欧拉示性数是6。同样地欧拉示性数和几何体是立方体还是二十面体、空腔是两个八面体还是一个八面体和一个四棱锥或者是一个立方体和一个四面体等等都没关系。当然如果除了空腔，几何体还有突起（bulge）、凹处（indenation）或者管道（tunnel）（译者注：译者对这三个术语的确切中文并不知晓，如有误请告知译者，非常感谢。下文中这些词不再加注），那么公式还要做进一步的修改。不过我们下面的论述依然成立。

显然这个公式试图告诉我们一些事情。所有的实心几何体--无论它们是什么形状的--在某种意义下都是彼此等价的，但是它们却与有一个空腔的几何体不同。反之后者也是彼此等价的，不论几何体的形状和空腔的轮廓是什么，但是它们又和有两个空腔的几何体不同。依此类推。那么吕利耶给出的公式能用来对几何体进行分类吗？

事实上它可以。在这个公式的帮助下所有的几何体都可以被分在明确定义的不同类别中。几何体可以被伸长或者缩短，甚至压扁，但是欧拉示性数不会改变。只有当空腔、管道、凹处或者突起出现时它的值才会改变。这些空腔、管道、凹处、突起也可以被翻转、扭转、弯曲、变斜而不影响欧拉示性数。欧拉示性数就提供了一个所谓的不变量：其数值不会改变，即使几何体被变成了看上去相当不同的形状。某种意义上这就像哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡城的岛屿可大可小，可圆可方，却不影响所求线路的存在与否。

一旦这种几何学开始被建立成了数学家们的一个重要研究领域，它就需要有个名字。“位置计算法（calculus of position）”或者“位置分析（analysis situs）”并不好记，毕竟当一个人被问到从事的职业时，说他是一个“位置计算学家”或者“位置分析家”听起来并不合适。而创造一个名字的使命落在了哥廷根大学的约翰·贝内迪克特·利斯廷（Johann Benedict Listing）身上。