拓扑学家无视角度、距离或者角度、距离的缺乏，还有他们关心的对象的准确形状:gr01

十四年后，在1750年，欧拉又被难住了。当然在这期间欧拉做了很多研究，但我们只关心其中和拓扑学有关的工作。在写给他的同事克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）的信中他提到了一个值得注意的事实。在研究多面体时欧拉发现直棱的的立体图形的顶点数、棱数和面数总是满足一个简单的公式：不管立体图形的形状如何，顶点数减去棱数再加上面数总是等于2。例如一个立方体有8个顶点、12条棱和6个面。正四棱锥有5个顶点、8条棱和5个面。二十面体有12个顶点、30条棱和20个面。所有这些立体图形，包括其他的无穷多个，代入欧拉的公式都得到2.你可以再试试削去一个角的立方体、削去所有角的立方体、一个底面不是正方形或者三角形而是二十边形的棱锥，你不会失望的。

一开始欧拉不知道为什么有这个公式。他在1752年发表了一篇论文，在其中他只是把这个发现称为一个事实。接下来很快欧拉在同一年又发表了一篇论文，在其中他通过把立体图形切成一些部分证明了他发现的公式。

不过这个公式是有问题的。首先它并不是欧拉发现的。法国数学家和哲学家勒内·笛卡尔（René Descartes）在130年前就发现了一个与之等价的结论。但是笛卡尔关于这个问题最初的手稿一度散佚了，直到莱布尼茨去世后留下的一份笛卡尔手稿的副本被发现，人们才知道笛卡尔的发现。

其次也是更重要的，这个公式不是总成立的。是法国数学家阿德里安-马里·勒让德尔（Adrien-Marie Legendre）在1794年首先发现它有问题。为了指出它的错误我们需要解释“凸体”的概念。一个几何体称为凸的，如果连接其中任意两个点的直线段都完整地包含于该几何体中。比如说一个立方体，选择其中两个点，比如对角的顶点，连接它们的直线段完整地包含于立方体中。于是实心的立方体是凸体。而如果钻一个穿过立方体的洞，有的两端点都在立方体中的线段就要穿过这个洞，这意味着线段的一部分就在几何体外面了，那么穿了一个洞的立方体就不是凸的。

现在看来欧拉只考虑了凸的几何体，忽视了有凹处、洞或腔的几何体。对于一些——不是全部——非凸的几何体，欧拉的公式不正确。例如考虑一个立方体，其内部包含一个立方体形状的空腔，就像一个密封的墓室。它是非凸的，因为有些立方体内部的直线段会经过空腔中空的部分。它有16个顶点、24条棱和12个面。啊哦！公式算出来是4，不是2.一定有什么地方错了。很明显欧拉在什么地方弄错了。