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《庞加莱大奖》——第五章--没有欧几里得的几何学（1）（我自己翻译的）

 

2011-02-04 23:36

 

有人在三位数学家面前放置一个立方体，并让他们描述他们看到了什么。第一位是个几何学家，他说：“我看到了一个立方体”。第二位是图论专家，她大胆地说：“我看到了由12条边连接的8个点。”第三位，一个拓扑学家，声称：“我看到了一个球。”不同数学分支的专家的世界观就浓缩在这个小笑话里。每个人都只看到他/她想看到的东西而忽视了更多的其他东西。拓扑学家无视角度、距离或者角度、距离的缺乏，还有他们关心的对象的准确形状。 每个小学生都知道欧氏几何要求他们度量，至少是比较，几何对象的角度和长度。而在十八世纪发生的一次变革把几何学从度量的束缚中解放出来。这一最终被称为拓扑学的新分支学科在不诉诸度量的前提下描述几何对象的性质。瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler）的工作开始了这场变革。 欧拉，历史上最重要的数学家之一，于1707年出生于瑞士的巴塞尔市（Basel）。他是另一位出色的瑞士数学家约翰·伯努利的学生。在1726年欧拉被老师约翰·伯努利（Johann Bernoulli）送到俄国的圣彼得堡学院以便和另一位后来成为杰出瑞士数学家的约翰之子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在一起。伯努利家族还涌现了另外一些杰出的科学家。事实上之所以圣彼得堡学院空出了位置是因为之前在这个位置的人、丹尼尔的哥哥尼古拉斯·伯努利（Nikolaus Bernoulli）刚去世了。 在子嗣和学术成果两方面欧拉都是多产的。尽管只有两任妻子，他却是13个孩子的父亲。在数学的各领域他写了超过八百部著作和论文。更令人震惊的是他的论文部分而不是子嗣，因为他一生中大部分时间处于失明状态中。他集中注意力的能力只能用惊人来形容，记住他是在这样的情况下完成大部分的工作的：没有视力，周围孩子们大喊大叫地奔跑。他晚年曾说一些他最好的成果是在怀里抱着一个孩子同时其他孩子在他脚下玩耍时得到的。 在圣彼得堡科学院期间欧拉收到了一封有趣的信，信来自风景如画的普鲁士城市哥尼斯堡（König*****erg，即现在俄罗斯的加里宁格勒市）。哥尼斯堡城被流经的普雷格尔河的支流分成了四个部分，它们由七座桥相连接。某时哥尼斯堡附近但泽市（Danzig）的市长卡尔·莱昂哈德·戈特利布·埃勒（Carl Leonhard Gottlieb Ehler）想设计一条哥尼斯堡城的旅游线路，使得游客能走遍每座桥。他并不关心线路的长度——毕竟如果游客担心路程太长，他们还是最好呆在家里吧——但是他不想让游客对线路感到厌烦。于是游客应该经过每座桥恰好一次。但是无论怎么尝试，埃勒都没能找到满足要求的线路，很快他就放弃了努力。他要寻求帮助。他觉得如果有人能找到合适的线路，那一定是在圣彼得堡的著名数学家了。于是他给欧拉写了一封信，说道：“如果您能寄给我们哥尼斯堡七桥问题的解并附上证明，那就是提供对我们价值最大的帮助了。” 一开始大数学家推脱了。他为什么要在这种简单的问题上浪费时间呢？这种问题根本不应该问数学家，而是留给促进旅游的人，城市规划者和导游的。在一封有些愤怒的回信中他认为这个问题“和数学几乎没有关系”，而且“这个问题只需要常识，我不明白你为什么希望得到数学家的解答而不是其他任何人的”。带有一点假谦虚的意味，他又写道：“为什么数学家就会比其他人更快地解决这样和数学几乎没有关系的问题呢？”他留下了没有回答的问题和“我们就是更聪明”的暗示。 一开始欧拉的估计可能是这不是给数学家的问题。确实，当时数学的所有领域都没有能处理这种谜题的工具。传统的几何学处理长度和角度，而它们在哥尼斯堡七桥问题中并无用武之地。其实德国学者戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）和他的学生克里斯蒂安·沃尔夫（Christian Wolff，1679-1754）已经提出了一个新的数学分支，他们称之为“位置分析”（analysis situs）。它可能对解决七桥问题这样的问题有点作用，但是几乎还没人知道它。 （未完待续）