通过无限深势阱理解量子力学非定域性
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“许多人在原则上都接受量子力学非定域性，
可是遇到具体实际问题时却又落入经典定域性的陷阱”
——王正行《严谨与简洁之美--王竹溪一生的物理追求》p.170
一，引子
王正行先生《严谨与简洁之美》是给王竹溪先生写的一本传记。如果我要给一个评价的话，只有Pais给爱因斯坦作的传记可以媲美，只是篇幅小很多。我2010年3月偶然获知此书，至今已经读了3遍。建议所有中国文化科技界、特别中国物理学界的人士，都去读一读。
1998年前后，中国高等科技中心（CCAST）举办的一次较大型的国际研讨会，主题是关于“量子光学与量子力学中的非局域性，因果性和实在性”。请教苏肇冰先生，苏先生说，国际上六、七十年代关于这“三性”研究得很多，深入人心并产生了深远的影响，后来国际上就产生了“which way”和“延迟选择”等重要进展。当时我国物理学界和国际物理学没有交流，失去了共同成长的机会。
二，最简单的量子力学体系——一维无限深势阱
不熟悉这个问题的读者，可以先参看附录。
我在多篇博文里反复提到，周世勋先生的《量子力学教程》是中国物理学教材中的经典，我非常感激这本教材，是它把我带进了量子力学的大门。该书概念性错误极少，但有两个小错误必须订正。其一就是p.37中，有如下一句话，无限深势阱中的定态波函数“是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波”。这句话错误的根源在于忽略了量子力学波函数具有非定域性。很高兴看到国内越来越多的教材（例如曾谨言先生（第三版），张永德先生等），都不采用周世勋先生的讲法。
一维空间中的无限深势阱体系，无疑是最简单的量子力学体系。任何理工科大学生都会首先学到它。如果给学生出考题，求这一维无限深势阱中粒子的定态波函数和能级，而学生考不出来，很少碰到！不过，只有聪明的学生能准确回答如下3个中等难度问题。
三个中等难度问题：
1. 写出体系的位置算符， 动量算符和哈密顿算符的定义域。
2. 体系的动量算符和哈密顿算符不对易的根源何在？
3. 在经典物理和量子物理中，如何定义这个问题的空间？
当然，不是每一位量子力学博士教授都能回答如下三个问题(可能有点咬文嚼字)
4. 在某一状态上的动量分布可以取任意大的数值，是否意味作粒子的速度会超光速?
5. 定态波函数是局域的(localized)吗?
6. 定态波函数是非局域的(nonlocal)吗?
三，问题的答案和量子力学非定域性
这六个问题的正确答案如下：
1，位置算符， 动量算符和哈密顿算符的定义域都是 
。
2，动量算符定义在全空间,而(全空间的)哈密顿算符包含有势能，这是这一势能导致了动量算符哈密顿算符不对易。或者说，边界条件本身意味着势分布的不均匀。
3，数学上似乎可以有一种处理：处理为一个[0,a]空间中的问题，此时波函数只定义在这个空间，没有外部。但是，在量子物理中，绝对不可以只把空间定义在[0,a]上，而必须定义为全空间 。事实上，看势场的形式，量子物理也确实是这样定义的。
在经典物理中，这两种定义没有差别。
4，本质上，量子力学中速度不是一个很容易定义的物理量。这个问题和哈密顿力学的独立变量的定义相关。
不过，马马虎虎地说，可以通过动量定义速度算符。当然，此时也可以说，速度不过是动量的另外一个说法。不过，也就是在这个马马虎虎的说法里，动量任意大，可以认为意味着速度可以任意大。即使如此，也并不意味着粒子的速度会超光速！这是因为，粒子的速度，是各种可能性的平均值，尽管有超光速的成分，但是出现的概率总是太小。
5，波是局域的localized! 或者说，物理的波局域(localized)在势阱内部。
6，波是非局域的(nonlocal)，为什么?
非定域性最初步的定义是通过狭义相对论定义的，说是类空间隔中发生的事件无因果联系。或者说，同时发生的两个事件，不可能存在因果联系。
量子力学中的非定域性不能等同于相对论中的非定域性，而是对它的一个扩展，更加深刻。量子力学非定域性的定义是：类空间隔两点事件的波函数是相互（概率）关联的。一个简单的例子是，在美国取一个自旋往南的电子，在中国取一个自旋往北的电子，在我手上合到一起，象摇骰子一样摇几下让两个电子相互熟识一下，然后分开。一个去了美国，一个留在中国了。量子力学的标准说法是，无论去了美国的电子还是留在中国的电子，都只有二分之一的可能性是原属于美国或中国的电子，而且二分之一的可能性自旋朝南或朝北。戏剧性的事件是：如果在某时刻中国有人看它一眼发现它朝南，同时，尽管美国的电子没有任何人看，却一定朝北，概率从1/2一下子变到了概率为1。这就是量子力学非定域性。注意，由于中国这边的电子自旋朝向原本就没有明确的信息，不存在把一个具体的信息瞬时传达到美国的可能性。因此，量子力学中的非定域性，并不违背信息传播速度有限的物理原则。
对于一维无限深势阱，非定域性的表现在：尽管粒子不可能进入[0,a]之外的区域，但这些区域是存在的，就会对体系的波函数产生影响。这个影响在两方面，1，影响到了粒子的能量本征函数。在[0,a]之外 
，和数学上只定义[0,a]空间是完全不同的！2，动量本征函数就定义在全空间上，尽管粒子无法进入[0,a]之外的部分，它直接导致了本征态上粒子的动量分布是一个连续的分布。这两方面和经典力学完全不同。
四，深入一点点
我经常给学生打一个比方，什么叫量子力学非定域性？当你架好了枪的时候，尽管子弹还没有出膛，但全空间中出现子弹的概率就定下了。
现在把势阱宽度a突然扩大一倍到2a，物理的态是来不及立即变化的。靠近0点附近的波函数，能否立即“感觉”势阱变宽了? 如果能，是否说量子力学有超光速传播？
标准答案如下：量子力学也不认可超光速传播！但是，原来势阱中的态的演化空间——新的希尔伯特空间——却被独一无二被决定下来了。也就是说，靠近0点附近的波函数，的确“感觉”到势阱变宽了；它在新的势阱中的命运，在势阱宽度a突然扩大一倍2a时，在就被“同时”决定了。这就是量子力学非定域性。
不是说同时发生的两个事件，不可能存在因果联系吗?
如果把势阱宽度a缓慢扩大一倍2a，问题又将如何呢?
五，您说对不对？
在中文中，“非局域”对应英文的两个截然不同的两个单词non-local和non-localized. 这两个单词的含义截然不同。在中文中，“定域”和“局域”倒是通用的。
在理论物理的所谓四大力学中，以难易程度排队(从易到难)：技术层面的量子力学，电动力学，分析力学，统计力学和概念层面的量子力学。
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“参考文献”：
1，李亚辉 ，不要只记住薛定谔，忘了海森堡，忘了矩阵力学 ，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1630&do=blog&id=442021
2，曹天德，没有数学就没有物理--兼批刘教授的错误论断之一（修正版），http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=64261&do=blog&id=444324
3，李 铭 ，世界是定域的，但量子力学的描述是非定域的，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=222979&do=blog&id=444367
4，黄秀清，惊梦！新型量子武器“波塌弹”，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=480705&do=blog&id=445021
5，李亚辉 ，神仙会：老黄轰量子案，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1630&do=blog&id=443135
6，王 号 ,当你架好了枪，科学和迷信都来捧场, http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=45556&do=blog&id=445042
7, 黄秀清 ,挑战刘全慧老师英雄帖 ,http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=480705&do=blog&id=442144
8，吕 喆 ,量子力学真相 , http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=111635&do=blog&id=445165
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附录：一维无限深势阱中粒子之量子力学处理的全部内容。取自一本大学物理学教材。
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发表评论 评论 (64 个评论)
- [24]huangzhenqiang1
- 最近科学网上有不少讨论量子力学和相对论的博文帖子。看来中国现代物理学界也有不少探索科学真理的学者。遗憾的是，你们生不逢时，在笔者《冷核聚变堆》发明专利和《新现代物理学》专著问世之后，国内外核聚变工程学界和主流非主流现代物理学界，继续这样的探讨已经毫无疑义。《冷核聚变堆》发明专利和《新现代物理学》专著详细资料见email：kexuetansuoze@sina.com，开箱密码：123456789，点击（所有邮件），从附件中下载。是继续甘当洋奴才摸黑毫无意义的探索传播过时的现代物理学知识，误人子弟。还是尽快接受新的《冷核聚变堆和新现代物理学》系统知识，提高自己的科研效率，早日培养出得意门生扬名后世？各位学者网友都有自由选择的权利。黄振强
- 博主回复(2011-5-14 15:13)：任何修改现代物理的常识，注定都是不会成功的。
- [23]yonglie
- "类时间隔中发生的事件无因果联系"——我感觉好像是“类空”？
- 博主回复(2011-5-14 15:11)：打印错误，已经更正。谢谢！
- [22]yuzh
- 你讲的全是数学
我等是凡人，只想从化学的角度说说波函数的局域(localization)和离域(delocalization)与电子的局域和离域。在一个分子的空间内（分子可以看成是一个三维势井），任何真实体系的波数都是离域的，局域的波函数是人为设定的非真实体系的波函数。对于一个局域的波函数，位于这个波函数( 或称定域分子轨道)内的电子，由于电子是不可区别的，因此，电子的交换也可以引起电子的离域的。 这就是我在我的著作中强调的，波函数的局域与电子的局域是两个不同的概念。这点，在你的博文中没有体现出来的.
当然，量子化学与量子力学不完全是一回事。这仅仅是我一个具体的看法，供参考 - 博主回复(2011-5-15 17:18)：谢谢虞老师在47楼(现在已经删去)给了一个澄清：
"是我没说清楚，波函数（分子轨道）是定域的，电子不一定是定域的，定域的电子一定是在定域的波函数描述的分子轨道内." - 博主回复(2011-5-14 15:16)：谢谢扫盲。
"波函数的局域与电子的局域是两个不同的概念"，这在量子力学中如何理解？电子是由波函数描述的，而电子是局域的，而描述电子的波函数居然不是局域的？
- [21] 匿名
- 和刘老师商榷,先说这个最简单的所谓的问题:
"3. 某一状态上的动量分布可以取任意大的数值，是否意味作粒子的速度会超光速?"
实际上,这根本就不构成问题. 钱钟书先生写的小说里边的哲学家告诉我们, 遇到一个带问号的东西,首先要看是否是一个问题.
很简单, 刘老师现在谈的量子力学, 并没有考虑相对论效应, 量子化过程只是牛顿理论中的H或者L等的量子算符化. 牛顿力学自然允许超光速的存在.
刘老师的这种文风和问题,给学生讲课很有魅力,但是哈哈哈 - 博主回复(2011-5-14 15:16)：博客文章，嘻嘻笑笑！
- [20]wliming
- 咳，学雷先生，更大的问题是，他写博文，总是写成考试卷，还不给答案。吓住一大片，想学的人都逃了。
- 博主回复(2011-5-14 06:46)：不是6个问题都有答案了吗？
只有一个思考题：不是说同时发生的两个事件，不可能存在因果联系吗? 答案就是：这里仍然还是量子非定域性，没有破坏因果律啊。
还有一个问题，把势阱宽度a缓慢扩大一倍2a，问题又将如何呢?不过是量子力学含时微扰的特例，要用一点量子力学绝热定理。结果是，除了动力学因子外，还多一个几何因子。
- [19]陈学雷
- 刘老师，我说句话可能你不爱听，但我个人觉得，这种咬文嚼字式的讨论无助于真正深化对物理问题的认识。
- 博主回复(2011-5-14 07:08)：参看16楼的博主回复。
- 博主回复(2011-5-14 06:51)：如果陈老师有具体意见最好！
您没有注意到科学网上前一段，通过无限深势阱来否定量子力学的尝试，
我觉得，总得对这个问题懂多一点才行。 您说有些咬文嚼字，也是对的。
- [18]wliming
- 有如下一句话，无限深势阱中的定态波函数“是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波”。这句话错误的根源在于忽略了量子力学波函数具有非定域性。
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从驻波的角度来讲，量子力学的波函数和经典的驻波具有完全相同的形式。你认为波函数具有不同的性质，理由何在？ - 博主回复(2011-5-14 06:58)：李老师，认为定态是驻波，是彻头彻尾的错位！
量子力学定态长的和驻波一样，在量子力学中就是驻波呐？不是！驻波暗含了行波的存在，如果行波存在，一定要有波动方程。而量子力学的基本假设里，只有薛定谔方程一个动力学方程，那么行波满足薛定谔方程吗？ 根据量子力学原理，量子力学定态是最基础的能量波动模式，不容许进一步分解。
- [17]wliming
- 我想在你这博文看到你对黄秀清的势井问题的回答。直截了当，别绕弯子卖关子。
- 博主回复(2011-5-14 06:59)：
- [16]xqhuang
- 刘老师你还是在谈数学，我从不去质疑量子力学的数学，经过近百年大师的修补，它应该是自洽的，但它的物理、特别是与波函数有关的相互作用机制肯定有问题。你我的出发点完全不同，这种争论不会有什么结果，你坚守你的数学解释，我需要的是物质和相互作用（能量交换，或交换粒子）的解释，所以我只能选择投降！现在终于理解为什么老爱与老玻能斗上几十年，一个完备的科学理论不应该出现这种尴尬局面！
- 博主回复(2011-5-14 07:06)：1，量子力学的非定域性，是最深刻的物理。不是数学。
2，物理学中有很多不能直接观察的东西，例如虚粒子。也要承认承认他们的贡献。
3，中国希望通过无限深势阱否定量子力学的人士，最早的应该算上海交通大学的一位概率论教授，文章发表了6-7篇，当时事情的动静还很大呢。结果当然是没有成功。
4，最后，老爱给了一个判定，就是量子力学的非定域特征，和老爱心爱的定域实在论是不符合的。 哈哈，任何情况下，如果你"选择投降"，我就宣布胜利。哈哈
- [15]wliming
- 博主回复(2011-5-13 21:55)：Schiff的《量子力学》对李老师可能有点老旧了，里面就有abrupt change和adiabatic change等说法。不过在曾谨言书上，就有类似的习题。
势场当然可以abrupt change改变，这个abrupt，是相对于物理状态没有变化而言的。
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能否讲深入一点？ - 博主回复(2011-5-14 07:07)：我是从后往前回答的，请参看18楼和20楼的回答。
