有势系统的信息有限:输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和

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输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自

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第 25卷 第 4期
物 理 学 进 展
Vol.25，No.4
2005年 12月
PROGRESSINPHYSICS
Dec.，2005
文章编号：1000?0542（2005）04?0359?9
收稿日期：2005?10?28
基金项目：国家自然科学基金资助项目（10235020，10075007）；教育部跨世纪优秀人才基金项目；高等学校博
士点专项科研基金（20050027001）
分数布朗运动和反常扩散
包景东
（北京师范大学物理系，北京 100875）
摘 要：　本文评述了分数布朗运动和反常扩散现象及描写它们的几种数学方式。报告了我们
在弹道扩散的产生条件、起源和长时间效应方面的工作。
关键词：分数布朗运动；反常扩散；连续时间无规行走；广义 Langevin方程；弹道扩散
中图分类号：O415.6
文献标识码：A
0 引言
历史上，布朗运动现象追源于 JanIngenhausz在 1785年观测木炭粉末在酒表面的运动；后
来 RobertBrown在 1828年观测花粉、尘埃、烟灰在水表面的扩散；1905年 AlbertEinstein用随
机行走解释流体分子的热运动；1926年 JeanPerrin因为测量 Avogadro常数获 Nobel物理奖。
整整一百年前，伟大的物理学家爱因斯坦在一篇开创性的文章［1］，建立了布朗运动的扩散理
论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动，粒子每隔 τ时间被撞击一次而移动距离ｌ，每次撞
击时向左和向右移动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻　ｔ，粒子已受到了
ｎ=ｔ／τ次撞击。爱因斯坦证得：粒子的平均位移为零，〈ｘ（ｔ）〉=0；方均位移写作〈ｘ2（ｔ）〉=
2Ｄｔ，这里Ｄ=ｌ2／（2τ）。其实这是扩散方程 ?ｔＰ（ｘ，ｔ）=Ｄ?2
ｘＰ（ｘ，ｔ）的高斯分布函数解的前两次
距，也是中心极限定理的直接结果。
上世纪 40年代以后，布朗运动的动力学研究开始兴起［2，3］。两个等价的方程是 Langevin
方程和 Fokker?Planck方程　［4］，前者是关于粒子轨道的随机微分方程；后者是关于分布函数随
时演化的二阶偏微分方程。人们通常认为前者更基本，因为在有些情况下写不出精确的
Fokker?Planck方程，例如色噪声和记忆阻尼。Kubo认为布朗运动可以看成一个系统受到外界
随机扰动的响应，提出了第一和第二涨落耗散定理［5］。站在更广义的角度上，用纯粹的微观
理论来对一个复杂系统的演化过程进行完全的动力学描述并不是适合的，因为哪里包含了大
量的自由度。当今大部分流行的模型是输运理论，即要区分集体自由度（相关变量）和内禀自
由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转
换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动。
近几年来，在破缺媒介及非大数定理统计下的反常扩散现象引起了人们的极大关注［6～8］，
例如在湍流、等离子体、渗透媒介、生长表面和细胞等环境中的系统就表现出偏离布朗运动的
特征。一个自由粒子的方均位移在长时间后正比于时间的分数次幂，称为分数布朗运动：
〈ｘ2（ｔ）〉∝ｔδ，其中 0<δ<1为欠扩散；δ=1是正常扩散；1<δ<2为超扩散；δ=2系弹道扩散。
从数学上看，反常扩散来自于时间和空间上的非局域性，而描写这一运动的主要手段有：连续
时间无规行走（CTRW），分数 Fokker?Planck方程，Levy飞行，Tsallis统计，广义 Langevin方程
等。现在反常扩散和输运的研究才刚刚起步，仅自由场、线性场和简谐势可以获得精确解。由
于数值求解分数 Fokker?Planck方程的困难，人们知道的有势系统的信息还很有限，目前的理
论研究大都是从唯象观点出发，导出分布函数或粒子轨道满足的方程，其中反常指数为一个自
由参数。
玻耳兹曼建立了各态历经理论，即长时间后可观测量的系综平均等于时间平均；各态历
经系统具有唯一的定态分布，分布函数在等能量面上为一常数。这也是统计物理的基础，也
就是微正则系统的等概率法则。该理论的目的在于在相空间理解不可逆的起源。其实这个问
题很重要，构成了平衡态统计物理和大部分非平衡态统计物理的基础，但很少有好的例子表明
在孤立系统（自由粒子）各态历经被破坏。近年来，分数布朗运动和非玻耳兹曼统计为这一问
题的研究打开了话题。众所周知，平衡态统计物理侧重于统计分布，非平衡态统计物理侧重于
动力学。我们感兴趣于两者的结合，也就是在什么动力学规律支配下，系统从不同的初始条件
出发，所达到的渐近稳定态有别于平衡态，而是介于牛顿确定性力学和朗之万随机力学之间。
这不仅需考虑耦合方式的非线性，而且更应该深入探讨热浴的结构。
图 1 连续时间无规行走（CTRW）模型的
图示。粒子在某一晶格位置上的
等待时间长短用一个圆圈表征，其
中等待时间正比于圆的直径
本文第 1节评述了几种描写分数布朗运动和反常扩散现象的数学手段，并与正常的布朗
运动做了比较；第 2节报告了我们最近关于弹道扩散的工作，包括产生的条件，可能的物理起
源以及在这一过程中 Kubo第一和第二涨落耗散定理的
适用性；小结被最后写在第 3节。
1 反常扩散的描述方法
1.1 连续时间无规行走（CTRW）
CTRW模型［7～10］中有两个基本要素：一次跳跃的长
度和两次跳跃之间的等待时间。两者均是随机变量，分
别由跳跃分布密度函数（pdf）φ（ｘ，ｔ）所定义。那么跳
跃长度的 pdf为 λ（ｘ）=∫∞
0 dｔφ（ｘ，ｔ），等待时间的 pdf为
ｗ（ｔ）=∫∞
r∞ dｘφ（ｘ，ｔ）。其物理意义分别是：λ（ｘ）ｄｘ表
示在间隔（ｘ，ｘ+ｄｘ）跳跃长度的几率；ｗ（ｔ）ｄｔ表示在间
隔（ｔ，ｔ+ｄｔ）一次等待时间的几率。如果跳跃长度和等
待时间是独立的，那么 φ（ｘ，ｔ）=ｗ（ｔ）λ（ｘ）。不同的
0
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CTRW过程是以平均等待时间Ｔ=∫∞
0 dｔｗ（ｔ）ｔ和跳跃长度的方均∑2 =∫∞
r∞ dｘλ（ｘ）ｘ2 是否收敛
和发散来分类的。对于标准的布朗运动，两者都是确定的；而对于反常扩散，两者之一必发散。
令Ｗ（ｘ，ｔ）代表发现无规行走者在ｔ时刻处于ｘ位置的分布密度函数，它满足一个广义主
方程
Ｗ（ｘ，ｔ）＝∫
∞
－∞
dｘ′∫
∞
0
dｔ′Ｗ（ｘ′，ｔ′）φ（ｘ－ｘ′，ｔ－ｔ′）＋Ψ（ｔ）δ（ｘ）
（1）
式中 Ψ（ｔ）=1r∫ｔ
0dｔ′ｗ（ｔ′）为（0，ｔ）时间段内粒子等待不跳的几率。
对方程（1）进行空间 Fourier变换和时间 Laplace变换，则Ｗ（ｘ，ｔ）的 Fourier?Laplace变换
满足以下的代数方程
Ｗ（ｋ，ｕ）＝
1－ｗ（ｕ）
ｕ
Ｗ0（ｋ）
1－φ（ｋ，ｕ）
（2）
这里Ｗ0（ｋ）是初始条件Ｗ0（ｘ）的 Fourier变换。
让我们考虑一个泊松等待时间分布ｗ（ｔ）=τr1exp（rｔ／τ）［Ｔ=τ］和高斯跳跃长度分布 λ
（ｘ）=（4πσ2）r1／2exp（rｘ2／（4σ2））［∑2 =2σ2］。对于初始条件　Ｗ0（ｘ）=δ（ｘ），传播子的
Fourier?Laplace变换为Ｗ（ｋ，ｕ）=（ｕ+Ｋ1ｋ2）r1，这里Ｋ1 =σ2／τ。变回到（ｘ，ｔ）空间，得到著名
的高斯传播子解：Ｗ（ｘ，ｔ）=（4πＫ1ｔ）r1／2exp（rｘ2／（4Ｋ1ｔ））。事实上，只要Ｔ和∑2同时是有限
的，就可以给出相同的结果。
接下来我们考虑平均等待Ｔ时间发散，而方均跳跃长度∑2 有限的情况，即一个长尾等待
时间分布。其分布密度函数的渐近表达式为ｗ（ｔ）≈Ａα（τ／ｔ）1+α（0<α<1），它的 Laplace变换
是ｗ（ｕ）≈1r（ｕτ）α。那么跳跃密度函数Ｗ（ｘ，ｔ）的 Fourier?Laplace变换为
Ｗ（ｋ，ｕ）＝
Ｗ0（ｋ）／ｕ
1＋Ｋαｕ－αｋ2
（3）
使用分数积分的 Laplace变换规则：Ｌ｛0ＤrＰ
ｔ　Ｗ（ｘ，ｔ）｝=ｕrＰＷ（ｘ，ｕ），ｐ≥0，我们有分数扩散方程
?Ｗ
?ｔ
＝0Ｄ1－α
ｔ　Ｋα
?2
?ｘ2Ｗ（ｘ，ｔ）
（4）
式中，Riemann?Liouville分数导数（积分）被定义成［11］
0Ｄ1－α
ｔ　Ｗ（ｘ，ｔ）＝
1
Γ（α）
?
?ｔ∫
ｔ
0
dｔ′
Ｗ（ｘ，ｔ′）
（ｔ－ｔ′）1－α
（5）
进而给出自由粒子方均位移的渐进表示式
〈ｘ2（ｔ）〉＝
2Ｋα
Γ（1＋α）
ｔα， 0＜α＜1
（6）
这里广义扩散系数Ｋα≡σ2／τα。
让我们来考查分数导数和积分的算例［6］与意义。常数　Ｃ的 1／2阶导数是0Ｄ1／2
ｘ　Ｃ=Ｃ／
π
槡　ｘ，而 1／2阶积分为0Ｄr1／2
ｘ
Ｃ=2Ｃ　ｘ／
槡 π；ｘ的 1／2阶导数是0Ｄ1／2
ｘ　ｘ=2 ｘ／
槡 π，而 1／2阶积分
为0Ｄr1／2
ｘ
=4ｘ3／2／3槡π。分数速度定义成 ν=dμ／dｔμｘ（ｔ），则粒子的轨道写作　ｘ（ｔ）=Γr1（μ）
∫ｔ
0dｔ′ν（ｔ′）（ｔrｔ′）μr1。扩散粒子的微观运动是完成了一条双绞线和处处非可微的曲线，对于
这个曲线，粒子的轨道是速度的一个功率权重的平均。事实上，它是由粒子的速度记忆效应引
起的，对于分数路径，瞬间速度和位移并不贡献到粒子的宏观运动。
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4期
包景东：分数布朗运动和反常扩散
一般阻尼和有势情况下，分数 Fokker?Planck方程表为
?Ｗ（ｘ，ν，ｔ）
?ｔ
＋ν
?Ｗ
?ｘ
＋
ｆ（ｘ）
ｍ
?Ｗ（ｘ，ν，ｔ）
?ｖ
＝γα0Ｄ1－α
ｔ　Ｌ
Y
ＦＰＷ（ｘ，ν，ｔ）
（7）
FP算子是Ｌ
Y
ＦＰ =
?
?ν
ｖ+
ｋＢＴ
ｍ
?2
?ν2。这里分数 Fokker?Planck方程仅能描述欠扩散（0<α<1），物理
上适合于长等待系统。但并不依赖于等待时间和跳跃分布的密度函数，它的推导以及线性和
简谐势场的解见文献［9，10］。
另外，从系统分布密度函数随时演化的角度，一些作者［12］引入了非线性媒质中的过阻尼
Fokker?Planck方程，即
?Ｗ（ｘ，ｔ）
?ｔ
＝
?
?ｘ
［Ｕ′（ｘ）Ｗ（ｘ，ｔ）］＋Ｄ
?2
?ｘ2［Ｗ（ｘ，ｔ）］ν
（8）
它对应一个在 Ito意义下的态有关的乘性 Langevin方程
ｘ
·
（ｔ）＝－Ｕ′（ｘ）＋ 2
槡Ｄ［Ｗ（ｘ，ｔ）］
（ν－1）／2η（ｔ）
（9）
这里 η（ｔ）是一个均值为零，方差是 1的高斯白噪声。
方程（8）已被应用到多孔媒介中的气体渗透问题，薄液体膜中的传播问题，Marshak波的
热传播以及表面生长。其稳定解为　Ｗｓｔ（ｘ）=［1r（νr1）βＶ（ｘ）］1／（νr1）
+
／Ｚ，这里
［ｆ］+ =max｛ｆ，0｝，Ｚ是归一化常数，β=Ｚνr1／（νＤ），Ｖ（ｘ）=Ｕ（ｘ）rＵ0，Ｕ0 是势的极小值。自
由粒子的方均位移为〈ｘ2（ｔ）〉∝ｔ2／（ν+1），ν<1为超扩散；ν>1为欠扩散；ν=1系正常扩散。
图 2 具有相同跳跃步数的布朗运动
（左）与 μ=1.5的 Levy飞行
（右）的比较
1.2 Levy飞行
与上述分数扩散给出的分数 Fokker?Planck方程的情形相反，我们考虑一个长跳跃过程，
即 Levy飞行。它具有有限的等待时间但跳跃长度分布的二次距发散，后者一种可能的 Fourier
变换是 λ（ｋ）=exp（rσμ1ｋ1μ）≈1rσμ1ｋ1μ，这里 1<μ<2，其对应的跳跃分布的渐进形式为 λ
（ｘ）≈Ａμσrμ1ｘ1r1rμ。自由粒子的扩散方程写作 ?ｔＷ=Ｋμ
r∞ Ｄμ
ｘＷ（ｘ，ｔ），其解是一个 Fox函数［7］
Ｗ（ｘ，ｔ）＝
1
μ｜ｘ｜
Ｈ1，1
2，2
｜ｘ｜
（Ｋμｔ）1／μ
（1，1／μ），（1，1／2）
（1，1），（1，1／2
[
]
）
（10）
自由粒子（甚至简谐势中的粒子）方均位移发散，〈ｘ2（ｔ）〉
→∞。但我们应该关注的是 Levy飞行分布的宽度而不是
二次距，那么前者定义为〈ｘ2（ｔ）〉Ｌ =∶∫Ｌ1／μ
ｔ
rＬ1／μ
ｔ dｘｘ2Ｗ（ｘ，ｔ）
≈ｔ2／μ，是一种超扩散［13，14］。这种运动还可以用满足 Levy
统计的噪声 η（ｔ）驱动的 Langevin方程　ｘ
·
（ｔ）=Ｆ（ｘ）／
（γｍ）+η（ｔ）来描述，其中 η（ｔ）分布密度函数的 Fourier
变换是
ｐ（ｋ）＝∫dηexp（－ｉｋη）ｐ（η）＝exp（－Ｄ｜ｋ｜μ）
（11）
式中 0<μ<2。方程（11）所对应的描写超扩散的分数
Fokker?Planck方程为
2
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?
?ｔ
Ｗ（ｘ，ｔ）＝－
?
?ｘ
Ｆ（ｘ）Ｗ（ｘ，ｔ）
γ
(
)
ｍ
＋Ｄ?μＷ（ｘ，ｔ）
（12）
这里 Riesz分数算符?μ由它的 Fourier变换来确定，即?μ=r（2π）r1∫dｋexp（ｉｋμ）1ｋ1μ［13］。
1.3 Tsallis统计
在标准的统计物理中，可以假设一个泛函使它在一定条件下的极值函数正好是一个满足
中心极限定理的分布密度，这个泛函就是熵。例如一个粒子的 Boltzmann?Gibbs?Shannon熵写
作Ｓ［ｑ］=rｋＢ∫dｘｐ（ｘ）ln［σｐ（ｘ）］，这里 σ是一个特征长度。在条件∫dｘｐ（ｘ）=1和〈ｘ2〉=
∫dｘｘ2ｐ（ｘ）=σ2约束下，通过引入乘子，对熵泛函求极值，可得到分布密度函数：ｐ（ｘ）=exp（r
βｘ2）／Ｚ，且能确定乘子 β=1／（2σ2）=1／ｋＢＴ。
Tsallis［15］最近引入了一个如下的广义ｑ熵
Ｓｑ［ｐ（ｘ，ｖ）］＝
1－∫ｐｑ（ｘ，ｖ）dｘdｖ
ｑ－1
（13）
约束条件是
∫ｐ（ｘ，ｖ）dｘdｖ＝1，
∫ｐｑ（ｘ，ｖ）Ｅ（ｘ，ｖ）dｘdｖ＝Ｕ
（14）
当ｑ→1，Ｓｑ恢复到通常的 Boltzmann熵。这里ｐ（ｘ，ｖ）和Ｅ（ｘ，ｖ）分别是粒子分布密度函数和能
量。通过引入 Lagrange乘子，对熵泛函求极值，得到粒子在简谐势中的稳定分布
ｐｑ（ｘ，ｖ）≈ 1－（1－ｑ）
β
2
［ω2ｘ2 ＋ｍｖ2
(
)］
1／（1－ｑ）
（15）
应该指出的是，Tsallis熵引发了关于非广延性统计的广泛研究，特别地，它被应用到折叠
蛋白质的重组、宇宙射线流、湍流、正负电子湮灭以及金融领域。但是，正如我们熟知的那样，
具有相同渐进形式的两个分布并不一定系同一分布。Tsallis分布下的噪声就与 Levy分布下
的噪声不同，并且产生的机制也不一样，前者是由于依赖分布密度函数有关的扩散系数导致
的，而后者的长尾分布实际上是来自于一个无穷的二次距造成的。
1.4 非 Ohmic摩擦
系统的运动方程由如下的广义 Langevin方程所描述：
ｍｘö（ｔ）＋ｍ∫
ｔ
0
γ（ｔ－ｓ）ｘ
·
（ｓ）dｓ＋Ｕ′（ｘ）＝ξ（ｔ）
（16）
式中的无规力 ξ（ｔ）服从高斯分布，其系综平均为零，关联满足 Kubo第二涨落耗散定理
〈ξ（ｔ）ξ（ｔ′）〉＝ｍｋＢＴγ（ｔ－ｔ′）＝2ｍｋＢＴ∫
∞
0
dω
π
Ｊ（ω）cosω（ｔ－ｔ′）
（17）
这里ｋＢ是 Boltzmann常数，Ｔ是热浴温度，热浴振子的谱密度　Ｊ（ω）为非 Ohmic形式［16］，即
Ｊ（ω）=γδ（ω／ωｒ）δr1，其中 ωｒ是一个使ｍγδ具有时间倒数量纲的参考频率。
对于不存在势的情况，方程（16）的解能用 Laplace变换法获得，粒子速度的平均和关联为
〈ｖ（ｔ）〉＝ｖ0Ｅ2－α［－（ωαｔ）2－α］
（18）
和
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包景东：分数布朗运动和反常扩散
〈ｖ（ｔ）ｖ（ｔ′）〉＝
ｋＢＴ
ｍ
Ｅ2－α［－（ωα｜ｔ－ｔ′｜）2－α］＋　ｖ2
0 －
ｋＢＴ
( )ｍ
Ｅ2－α［－（ωαｔ）2－α］Ｅ2－α［－（ωαｔ′）2－α］
（19）
式中 ω2rα
α
=γα
槇
ω1rαsinr1（απ／2），Ｅα（ｘ）是 Mittag?Leffler函数，特别地，当 α=1，Ｅ1（ｘ）退化为
指数函数ｅｘ。从方程（19）可以看出，二次速度关联函数包含了稳定和老化部分。对于等时间
情况，粒子的均方位移写作
〈ｘ2（ｔ）〉＝2
ｋＢＴ
ｍ
ｔ2Ｅ2－α，3［－（ωαｔ）2－α］
（20）
在长时间极限下，〈ｘ2（ｔ）〉≈2
ｋＢＴ
ｍ
ωr2
α
（ωαｔ）α
Γ（1+α）
。
图 3 100Mo+100Mo反应核系统的熔合几
率随质心能量的变化，其中黑点是
实验结果
1.5 应用
我们现在应用非 Ohmic摩擦模型到一个典型的重
核熔合系统：100Mo+100Mo［17］，计算其熔合几率Ｐfus作为
质心能量Ｅcm的函数，结果见图3。势被选成一个倒谐振
子势：Ｕ（ｘ）=r
1
2
ｍω2
ｂｘ2，我们用双中心核表面模型和
墙加窗一体耗散机制获得形变势能、惯性和摩擦张量，
核在鞍点的温度定义为ａＴ2 =Ｅｃｍ rＵｂ，其中能级密度参
数ａ=Ａ／10（Ａ是复合核核子数），Ｕｂ为鞍点势能。从图
中可见，正常扩散给出的熔合几率随质心能量变化较
快，而用 δ=0．7的欠扩散所计算的结果与实验值较好
地符合。这是因为复合核大形变状态，其颈部窗口近似
闭合，那么混沌修正核单体耗散使其大为降低，导致能量耗散变弱。我们认为需考虑欠扩散机
制，以符合重核熔合几率随质心能量缓慢变化这一实验结果。
总之，连续时间无轨行走（CTRW）模型和 Tsallis熵与统计模型在理论上极大地扩展了标
准的统计物理，在观念上非常吸引人；但从考虑复杂的有势层面上来看，非 Ohmic摩擦框架下
的广义 Langevin方程更容易获得反常输运的数值结果。
2 推广的热布朗运动：弹道扩散
采用 Laplace变换法，我们可以给出广义 Langevin方程（16）在无势情况的解
ｘ（ｔ）＝ｘ0 ＋ｖ0Ｈ（ｔ）＋
1
ｍ∫
ｔ
0
Ｈ（ｔ－ｔ′）ξ（ｔ′）dｔ′
ｖ（ｔ）＝ｖ0Ｈ
·
（ｔ）＋
1
ｍ∫
ｔ
0
Ｈ
·
（ｔ－ｔ′）ξ（ｔ′）dｔ′
（21）
这里ｘ0和ｖ0是粒子的初始位置和速度，响应函数Ｈ（ｔ）为　＾
Ｈ（ｓ）=［ｓ2 +ｓ＾
γ（ｓ）］r1的逆 Laplace
变换，＾
γ为阻尼核函数 γ（ｔ）的 Laplace变换。响应函数导数的一般形式可写为Ｈ
·
（ｔ）=ｂ+∑
ｊ
ｒｅｓ
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［?
Ｈ
Y
（ｓ）］exp（ｓｊ，ｔ），其中ｂ=（1+limｓ→0
＾
γ（ｓ）／ｓ）r1，ｓｊ是特征方程ｓ+＾
γ（ｓ）=0的非零根。
在长时间极限下，我们有
｛〈ｖ2（ｔ→ ∞）〉｝＝
ｋＢＴ
ｍ
＋ｂ2
｛ｖ2
0｝－
ｋＢＴ
(
)ｍ
｛〈ｘ2（ｔ→ ∞）〉｝＝　ｂ
ｋＢＴ
ｍ
＋ｂ2
｛ｖ2
0｝－
ｋＢＴ
(
)
[
]
ｍ
ｔ2
（22）
式中〈…〉和｛…｝分别代表对系综和初始态的平均。这表明：粒子方均位移正比于时间的平
方，呈现出弹道扩散，这是超扩散的极限［18］。若粒子的初始分布不是在平衡态，则可引入一个
系统的有效温度Ｔｅｆｆ=Ｔ+ｂ2（Ｔ0rＴ），这里Ｔ0=∶｛ｖ2
0｝ｍ／ｋＢ，Ｔｅｆｆ=∶〈ｖ2（ｔ→∞）〉ｍ／ｋＢ。这也
意味着系统具有非唯一的定态，也就是说对如此的非马尔科夫布朗动力学，各态历经性被破
坏，Kubo第一涨落耗散定理被破坏。其原因在于　＾
γ（ｓ）=∫∞
0 γ（ｔ）dｔ=0，即系统的有效阻尼消
失。产生弹道扩散的一个等价条件是热色噪声的低频部分被滤掉［18］。
为了探讨弹道扩散的物理起源，我们推广熟知的系统加热库（环境）模型，前者处理为布
朗粒子，两者的耦合提供了布朗粒子所受到的无规力和阻尼。总的 Hamiltonian量写作
Ｈ＝
1
2
ｍ?
ｘ2 ＋Ｕ（ｘ）＋∑
Ｎ
ｊ＝1
ｍｊ
2
（?
ｑ2
ｊ　＋ω2
ｊｑ2
ｊ）＋ｇ（ｘ，?
ｘ，ｑｊ，?
ｑｊ
[
]）
（23）
这里ｘ和ｑｊ分别是系统和环境振子的坐标。通常人们仅考虑坐标?坐标耦合，即ｇ=rｃｊｘｑｊ+
ｃ2
ｊｘ2／（2ｍｊω2
ｊ），而认为速度有关的耦合通过变换可以等价于坐标?坐标耦合。但我们发现：虽
然绝热积分环境振子的坐标后所得到的关于系统坐标的广义 Langevin方程形式上相同，但两
者的热噪声谱有很大的不同［19，20］。速度有关的耦合可以在量子超导干涉仪，带电粒子在辐射
场运动和磁场中涡旋扩散中发现。例如，如果假设热库振子的频率具有简谐分布（噪声的阻
尼和频率参数分别是 Γ和 Ω），则系统坐标和热库坐标耦合所产生的热色噪声（简谐噪声）谱
密度函数为
Ｓ（ω）＝
2γ0Ω4ｋＢＴ
（ω2 －Ω2）2 ＋Γ2ω2
（24）
式中 γ0是系统的阻尼强度。而对于系统坐标（速度）和热库速度（坐标）耦合情况，耦合项为ｇ
=rｄｊｘ?
ｑｊ（rｄｊ
?
ｘｑｊ），其所产生的热色噪声（简谐速度噪声［21］）谱密度函数是
Ｓ（ω）＝
2γ0Γ2ω2ｋＢＴ
（ω2 －Ω2）2 ＋Γ2ω2
（25）
显然，对（25）式而言，Ｓ（ω=0）=0，则ｂ=（1+γ0ΓΩr2）r1；而对（24）式而言Ｓ（0）=2γ0ｋＢＴ，
则ｂ=0。
现对无势系统添加上一个常数力Ｆ，则长时间后，粒子出现一个耗散加速度ａ=
Ｆ
ｍ
ｂ，这里
0≤ｂ≤1。对通常的布朗运动、欠扩散和超扩散情况，ｂ=0，即长时间后外力被摩擦阻力平衡；
但对弹道扩散过程，由于系统的有效阻尼为零，则外力仅被部分平衡。此外，粒子的渐进平均
速度为〈ｖ（ｔ→∞）〉=ｖ0ｂ，粒子对其的初始状态保留着部分记忆。所以我们称这一结果为介于
牛顿力学和朗之万随机力学之间的动力学［22］。另外，我们还研究了在热简谐速度噪声驱动下
的粒子在无界势和不对称周期势中运动的行为［23］。结果发现，一个闪烁棘轮整流弹道扩散所
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包景东：分数布朗运动和反常扩散
给出的定向流远大于整流正常扩散的。
图 4 在热简谐速度噪声作用下被广义 Langevin方程描述的自由粒子的速度（a）和坐
标（b）的二次距。其中热浴温度Ｔ=1．0
3 结语
在爱因斯坦 100年前创立的无规行走扩散理论中，行走是一个不连续过程，即假设在每个
节拍振荡时间内，粒子随机跳跃一次。而连续时间无规行走引入了两次成功跳跃之间有一个
等待时间分布，且等待时间分布的一次距和跳跃长度分布的二次距中有一个是发散的。其揭
示欠扩散对应于长的等待时间，由分数 Fokker?Planck方程来描写；而超扩散则意味着粒子存
在长跳跃的物理机制，Levy飞行就属于此类，这种运动也可以通过长尾分布的非高斯噪声激
励来产生。布朗运动的高斯解是中心极限定理的必然结果。便于数值模拟有势中的反常输运
的当属含非 Ohmic记忆摩擦的广义 Langevin方程。系统长时间动力学行为取决于噪声功率
谱的低频分布，因此当热色噪声的低频被滤掉，导致系统的有效摩擦消失，自由粒子呈现热扩
散的极限情形：弹道扩散。在这一过程中，Kubo第二涨落耗散定理被满足，但系统的稳定态部
分依赖于它的初始速度分布，各态历经性和平衡态被破坏。
作者感谢与德国 Aug*****urg大学的 PeterHanggi教授，中国原子能科学研究院的卓益忠研
究员和中国科学院力学研究所的赵江林博士进行过的有益讨论和交流。
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25卷
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FRACTIONALBROWNIANMOTION
ANDANOMALOUSDIFFUSION
BAOJing?dong
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ100875，Ｃｈｉｎａ）
Abstract： ThephenomenaoffractionalBrownianmotionandanomalousdiffusionandtheir
descriptivewaysinthemathematicsarereviewedanddiscussed.Ourworksforthecondition，origin
anddynamicaleffectsofballisticdiffusionarereported.
Key words： fractionalbrownian motion； anomalousdiffusion； generalized langevin
equation；non?ohmicfriction；ballisticdiffusion
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4期
包景东：分数布朗运动和反常扩散

由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转

 

换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动

由度（非相关变量）。后者在平均意义上被处理成一个热浴，集体和内禀自由度之间的能量转
换的量度就是耗散或摩擦。故许多现象能够类比成布朗运动

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