phymath01 重整化群和临界现象 量子相变从微观角度来看, 一个系统的量子相变是指在 零温下由这个系统的 H amilt

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第 29 卷 第 4 期 2009 年 12 月文章编号: 100020542( 2009) 0420325 227 物 理 学 进 展 PROGRESS IN PH YSICS V ol. 29 No. 4 Dec. 2009 量子相变和量子临界现象金国钧 , 冯 * 端 ( 南京大学固体微结构国家重点实验室和物理系, 南京 210093) 摘要: 本文综述凝聚态物理学中的量子相变和 量子临 界现象, 首先 考察了 相变中 存在量 子效应 的可能性 , 通 过 横磁 场 Ising 模型介 绍了量子相变的基本特征; 接下来对照热临界现象, 引入了量子标度和 量子重正 化的基本概 念 和操 作方式; 然后利用量子临界现象的方案, 分析了密度驱动、 无序驱 动和关联驱 动的金属2绝 缘体相变; 继续利 用 量子临界性的概念探讨如重电子化合物、 铜氧化 物和巡游铁 磁体这 类复杂的 相互作 用多粒 子系统; 最后 选择量 子 点、 碳纳米管和单层石墨为例, 介绍了量子临界性在低维和纳米系统研究中的作用。 关键词: 量子相变; 量子临界性; 标度; 重正化; 金属2绝 缘体相变; 关联电子系统 中图分类号: O48 文献标识码: A 文的主要内容为正在撰写中的5凝聚态物理学6下卷 的一章。作者深感这一主题在凝聚态物理学发展中 的重要性, 故将其整理后先期发表, 以促进学术界的 在当代凝聚态物理学中一个非常重要的物理问 题是, 在零温和一些确定的非热变量( 如压强、 成分 或者磁场) 的条件下, 找到一个系统的能量最低的基 态。经常会发现, 当这些相关参量取不同值的时候, 基态会有质的不同。这表明, 即使在绝对零温的情 况下, 材料在这些参量发生改变的时候一定发生了 相变。一般来讲, 这就是量子相变[ 1~ 6] 。 和由温度驱动的热相变明显不同, 量子相变的 发生是源于描述系统基本相互作用的参量之间的竞 争。这意味着, 一个系统的相变并不依赖于温度的 改变, 而是由系统的 H amilt on 量中的其它参 量决 定。宏观上, 相变发生在调制参量( 如压强、 成分或 者磁场) 的一个特定的临界值。系统的两个不同的 量子基态被这个临界值分开。一个比较吸引人的特 点是量子相变中存在有趣的临界现象。这种量子临 界现象对凝聚态物质系统, 特别是相互作用多粒子 系统的物理性质带来重要的, 甚至是决定性的作用。 处理量子临界现象的主要理论工具是热临界现象中 常用的标度理论和重正化群方法的延伸。 国内文献中已对量子相变和量子临界现象有所 介绍 , 然而本文 将对此作比较 系统的综述。本 [ 7, 8] 0 引言 重视。量子相变和量子临界现象涉及到凝聚态物理 学中宽广和深刻的物理内容, 要对其作恰到好处的 介绍, 将受限于作者的能力和 水平, 希 望读者批评 指正。 1 量子相变从微观角度来看, 一个系统的量子相变是指在 零温下由这个系统的 H amilt on 量中的参数改变而 引起的相变。当跨过临界点时, 量子力学的基态发 生改变。和有限温相变相比, 零温相变主要是以量 子效应为中心的。在大 量为人们所熟 悉的热相变 中 , 序参量本身可以是量子的, 比如在超导或者超 流的情况, 但是对相变相关的长波行为起主导作用 的还是序参量的经典热涨落。 1. 1 量子效应和相变 在极低温下一些物理系统的相变过程中量子性 质不能被忽视。量子相变经常被称作零温相变, 但 也许有人会争辩说, 这种认识是一个受限制的和不 完整的观点。低温甚至零温下的相变可以是量子的 [9] 收稿日期: 2009209201 基金项目: 国家自 然 科学 基 金( 批 准号: 10424401, 10674058, 60876065) 和 国家 重 大基 础研 究 计划 ( 批准 号: 2006CB921803, 2009CB929504) 的资助 * Ema il: gjin@ nju. edu. cn 326 物 理 学 进 展 第 29 卷 也可能是经典的, 这取决于量子关联和经典效应那 个更占主导地位 [ 6] 。事实上, 零温极限本身并不保 证相变的量子效应。进一步讲, 由于零温的不可达 到性, 零温下非热变量的变化引起的相变并不能在 真实的实验中被观察到。但是, 低温以及极低温相 变可以在实验上被观察到, 并能为零温临界现象这 一渐近极限提供信息。统计物理学中一些基本模型 的标度行为并不在零温极限显示量子效应, 而是仍 遵循经典临界行为的判据。这在一些发生相变的特 定区域是合理的, 也就是说, 标度方程在零温极限的 表现本身并不保证相变性质的量子效应。 在热临界现象中 [ 10~ 12] , 一个非常重要的物理量 是热涨落的关联长度, N T) = N | S( T ) | ( 0 - M 被满足, 量子临界的渐近行为才会发生。 判据( 3) 式 给出了发生量子相变的必要且充分条件。 量子临界现象, 或者说/ 相变点邻域0 的量子效 应, 大量地在凝聚物质系统中出现。 当转变温度 T c > 0, 根据( 1) 式和( 2) 式, 在 T y T c 时, N y ] , 但 是 K仍然是有限的。 所以临界点 T c 的邻域( | S | y 0) 总是表现出经典行为。 利用判据( 3) 以及( 1) 和 ( 2) 三个表达式, 可以很清楚地看到, 量子临界现象 可以发生, 也就是说量子效应将渗透到有限温度临 界区 | S( T ) | n 1, 只要满足 T c( N/ K < | T - T c | n T c 0 ) ( 4) 对于 T c > 0 时, 这个条件被很好地定义, 也可延伸 到零温极限 T c y 0, 只要同时有 T y 0, 以使 | S| n 1 得到保证。 很明显, 如果 0 N ( T c ) < K T) ( ( 5) 由( 4) 式定义的相变区的量子部分是存在的。 这个 1/ M ( 1) 其中 | S( T) | = | T - T c | / T c 定义了相变现象发生 的临界点邻域, M 是临界指数, N 是所谓的零温关联 0 长度。 我们必须记住, 关联长度 N T ) 仅描述经典现 ( 象。 长度 N 并不是一个普适量, 只能在具体的凝聚 0 物质系统中被确定; 但值得强调, N 依赖于系统的内 0 禀参数, 特别是临界温度 T c 。 为了刻画多粒子系统的量子效应, 我们可以利 用 de Broglie 热波长 K T) = ( 2 条件可以被写成 T H < K / N ( T c ) 的形式。 0 0 我们已经注意到, 依赖于一个特定系统的非普 适性质, 其低温临界行为可以是量子的或经典的。 一 般而言, 我们可以假定, 经典高温、 经典低温和量子 的临界性质构成了临界行为的三种类型。 这三种临 界现象类型决定于热波长 K由高温下 K< N变到足 够低温下 K> N时, 至少有一些临界性质的改变, 反 之亦然。 特别是存在经典( D< 1) 和量子( D> 1) 的 渡越, 这种渡越描述了经典高温现象和 T y 0 时量 子临界现象的不同。 根据前面的讨论, 对于任意物理系统或统计模 型, 我们至少有两个参量去控制它们的相变。 一个是 温度 T, 另一个是非热量, 这里用 X 表示。 因此, 我们 必须记得, 描述关联长度 N仅依赖于温度是不完全 的, 事实上它也依赖于参数 X, 所以 N= N T , X ) 。 ( 热 力学量以及其它的相关量对 X 的依赖性必须像对T 的依赖性一样被考虑进去。 原因是, 出现在 T c ( X) 或者等价地 X c ( T ) 的相 变可 在固定 的 X 下 改变 T ( T2 驱动相变) 或者是固定的 T 下改变 X ( X2 驱动 相变) 来得到。 一般来说, X 驱动相变的性质和 T 驱动相变的 性质有很大的不同, 但存 在着相应的可类比性。 在 ( 4) 和( 5) 式中, 用 X 代换T 以及X c 代换T c , 我们可 以根据变量 X 做唯像的分析。 这种分析直接得出关 联长度 N T, X ) 的标度关系形式, 这和在高温区且 ( X ~ 0 时与 T 相关的相变是一样的。 仅有的差别是, 描写对于 S( T) 和 ?X) 的标度关系的临界指数大小 S( 2 2Ph mk BT H 2 H 0 = KT - H ( 2) 其中 K = ( 2P2 / mk B ) , 而 H是热波长指数。 0 h 通常情 况下, H= 1/ 2, 但是为了包容所有可能的量子统计 模型, 我们仅假定 H> 0。 后面我们将看到, H= 1/ z, 其中 z 是一个系统的动力学临界指数[ 13] 。 参数 m 可 以表示单个粒子的真实质量或者是每个包含相互作 用的复合粒子的有效质量。 如果注意到, 波函数的交叠会对相变点附近的 热力学以及相关性质带来量子效应的影响, 可以建 议一个判据 D= K > 1 N 作量子相变。 这个判据最早是由 Suzuki 提出的 ( 3) 在平衡相变点 T c 附近, 满足( 3) 式的相变可以被称 [ 14] 。 这个判据与文献[ 9] 中为推导量子简并温度所使用 的条件类似, 那时要求热波长 K超过平均粒子间距 a。 实际上, 这里 的判据是 一个基 本观念 的直接 结 果。 这个基本观念认为, 相变是一种宏观合作现象, 而在尺度小于经典涨落的关联长度 N的范围内发生 的现象是不相关的。 只有判据( 3) 式在临界点邻域 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 327 一般是不同的。 没有理由可以假定, 在考察 S( T) 和 S( ?X ) 的渐近行为时指数应该相等。 当然符合 T \ X 对应的标度关系中的一致性是存在的。 不过, 除了 非常特殊的情况, 我们也不能指望完全的对应关系, 包括各自的临界指数以及标度振幅, 特别是热波长 K T) , 对 X 驱动相变并没有类比物。 ( 1. 2 横场 Ising 模型 横磁场中的 Ising 模型是演示二级量子相变的 最简单的模型。 Gennes 是第一个在赝自旋图象下 de 将这种模型引进来研究在一些双势阱中铁电系统的 无序 2 有 序 转 变 问 题 的, 比 如 对 磷 酸 二 氢 钾 ( KH 2 PO 4 或 KDP ) H= - J i [ 15] z i 系统性质的两个不对易算符间的相对强度变化而导 致的。 实际上, 可以预计到, 对于现在的模型, 量子相 变是由横场 # 与交换参量 J 之间的竞争引起的。 因 此, 考虑使用比率 #/ J 来描述零温时从有序相3Sz 4 X 0 到无序相3S 4 = 0 的转变是合理的。 从重正化 群理论的观点来看, 相变与在 #/ J = ( #/ J ) c 下不稳 的零温不动点的存在是有关系的。 联系于量子临界 点, 我们可以找到一组临界指数来描述不同的物理 量在相变点的奇异行为。 通过重正化群变换, 我们还 可以得到在前面已提到的两个不动点分别处于 #/ J = 0 和 #/ J = ] 的结果。 横场中的 Ising 模型可以由实验来证实。 一个典 型的材料是离子晶体 LiH oF 4 。 这种稀土绝缘体的低 温磁性质在微观尺度下已经被研究得很清楚。 最显 著的特征是, 在温度低于 2 K 时系统中只有处于+ 3 价的 H o 离子上具有自旋自由度, 同时近邻的 H o 离 子之间的自旋通过磁偶极相互作用发生耦合。 这些 自旋的方向通常与晶轴的方向一致, 指向只有向上 和向下。 这种在格点上的自旋排布可以由 Ising 模型 来描述。 在没有外磁场的情况下, 系统的基态是充分 极化的铁磁相: 所有的自旋都向上或都向下。 图 1 是关于 LiH oF4 磁性质的实验测量结果的 示意图, 其中坐标分别为温度 T 和磁场强度 #。 有序 相在有限温相变线以内。 这条线终结于量子相变点, 在量子相变点处铁磁序仅由量子涨落来破坏。 在无 外磁场、 零温时, 系统将是完全的有序相, 而在有限 温时将会出现少量的自旋发生反转。 也就是说, 如果 晶体在绝对零度时所有的自旋都向上, 热涨落将会 引起一些自旋的反转而向下, 反之亦然。 随着温度的 升高, 少数自旋的数目会增多, 直到自旋向上与向下 的数目相同。 这是传统的由热涨落引发的二级相变 z 。 H amilton 量为 其 - H ES S z i+ 1 ES i z i - #ES i x i ( 6) 其中 J 为最近邻自旋之间的交换参量, H 为沿 z 方 向的磁场, # 为垂直于 z 方向的横场。 由( 6) 式所描述的模型是经典 Ising 模型的一个 重要的推广[ 16] , 通过横场或是隧穿项提供了量子涨 落。 当处在有限的转变温度时可以发现, 这时的临界 行为不受横场量子效应的影响, 这点与经典的 Ising 模型是相同的。 但是当 T = 0时, 横场在临界值 #c 处 会驱动相变。 这种量子相变是由于系统基态的剧烈 改变而造成的。 T = 0, 当 # y #c 时系统的临界行 在 为与 T X 0 时经典的临界行为是完全不同的。 例如, 经典的一维 Ising 模型不存在相变, 但我们 可以发 现, 横场 Ising 模型在 T = 0 时是存在相变的, 而且 可以 精 确 求 解。 Pfeut y 提 供 了 一 个 早 期 的 理 论 处理[ 17] 。 我们考虑( 6) 式中 H = 0 和 J 取固定值的最简 单情况。 从物理的角度来说不难证实, 在 T = 0 时有 两个平凡不动点: 一个不动点是 # = 0, 此时系统存 在长程磁有序, 序参量3S 4 > 0; 另外一个不动点在 #= ] 处, 由于横场的存在而破坏了长程磁有序, 此 时序参量3S 4 = 0。 取值为 # = 0 和 # = ] 的稳定 不动点分别是有序相和无序相的吸引子。 因此我们 可以认为, 如果调节 #, 在临界值 # = #c 处, 存在从 有序相3S z 4 > 0 到无序相3Sz 4 = 0 的零温相变。 在 #c 附近时, 与热临界现象类似, 我们可以找到一组 用来描述量子临界点( QCP ) 的临界指数。 er tz 在 H 其经典论文中提出和推广了许多有关量子临界现象 的重要概念和方法 [ 18] z z 。 图1 关于 LiHoF4 的温度与横磁场的实验测量相图。 引 自文献[ 19] 从量子力学的本质上来看, 量子相变是由决定 328 物 理 学 进 展 第 29 卷 过程。 对于 LiH oF 4 , 发生铁磁相向顺磁相的转变的 临界温度大约为 1. 5 K。 LiH oF 4 的一个新奇的性质是可以通过调节一 个完全不同的参量来破坏铁磁有序性, 甚至在绝对 零度下这种铁磁有序性的破坏也是可能的。 当外场 # 与 Ising 自旋方向以一个直角作用时, 量子隧穿效 应就发生在自旋向上和自旋向下态之间。 如果外场 超过临界值 #c ( 在 LiH oF 4 中大约 50 kOe) 时, 这种 量子隧穿就会频繁发生, 甚至在绝对零度下, 都足以 使得系统的基态成为顺磁相。 也就是说, 仅由量子涨 落效应引发相变是可能的。 然而, 与先前研究的热相 变不同, 不能认为顺磁相是在真实的时间下发生的 自旋向上和向下态之间的涨落; 实际上系统的基态 波函数是特殊的一个由自旋向上和向下态叠加的量 子相干态。 这种量子顺磁相的性质是容易理解的。 我们自然会问, 在 # 和T 同时取非零值时, 系统 的行为是什么样的。 零场的经典相变点和零温的量 子相变点是由一条区分铁磁相和顺磁相的二级相变 曲线连接起来的。 热顺磁性和量子顺磁性两者的动 力学特性是完全不同的, 但是这两者所处的相图区 域仍然是连续的而且也不存在 任何的热力学 奇异 性。 取而代之的是平滑的贯穿其间的/ 量子临界区0 的渡越。 在后面我们还将对量子相变的相图做更详 细的讨论。 1. 3 横场 Ising 模型的平均场处理 对横场 Ising 模型的最简单处理是采用平均场 方法 写出 S = ScosH S = SsinH , 这里 H是自旋偏离 z 轴的取向角。 若以 p 代表配位 数, 则单格点的能量可以写成如下形式 E = - pJ S2 cos 2 H- #S sinH ( 7) 2 为方便, 取自旋 S = 1, 我们可以找到能量最小值, 由 sinH= #/ pJ ( 8) 确定。 从这个条件我们能够看到, 如果 # < pJ , 基态 是部分极化的, 即当 # X 0 时, 3Sz 4 和3Sx 4 两者都不 是零; 但当 # \ pJ , 它沿 x 方向极化, 即3Sx 4 = 1 和 3S 4 = 0。 因此, 当 # 从 0 增加到 pJ , 系统经历一个 从铁磁相(3S 4 X 0) 到顺磁相( 3S 4 = 0) 的转变。 为了研究处在有限温的横场 Ising 模型的行为, z z z z i x i [ 16] 和热相变相似, 我们通常用平均场的方法处理。 利用 平均场近似, 我们可以把外磁场为零时的( 6) 式中 的 H amilt on 量写成 H = - pJ 3Sz 4 或者等价地写成 H = - H eff # + Sz k 是总自旋矢量。 i 把( 9) 式对角化, 我们能够找出平均到每个座 位的能量本征值 E= ? z ES i z i - # ES i x i ( 9) ES i i ( 10) 这里 H eff = #i + pJ 3Sz 4k 是一个有效场, 而 Si = Sx i i p 2 J 2 3Sz 42 + #2 2 2 z 2 ( 11) 2 还有平均磁化强度沿 z 方向分量的自洽方程 3Sz 4 = pJ 3S 4 tanh p 2 J 2 3S z 4 2 + #2 p J 3S 4 + # kBT ( 12) 以及沿 x 方向分量的方程 3S 4 = x # t anh p J 3Sz 4 2 + # 2 2 2 p 2 J 23S z 4 2 + #2 kB T ( 13) 当 T = 0 时, 磁化强度的自洽方程可以简化为 3S z 4 = 3S 4 = x pJ 3S z 4 , 2 z 2 2 p J 3S 4 + # # p 2 J 23Sz 4 2 + #2 2 ( 14) 从( 14) 式的第一 个零温方程得到在临界比值 ( #/ J ) c = p 附 近消 失 的磁 化强 度 m = 3S z 4 W | g | 1/ 2 , 这里约化参数 | g | = | ( #/ J ) - ( #/ J ) c | 度 量了在参数空间里偏离临界点的大小。 在零温相变 下, 序参量的指数也被确定为平均场的值 B= 1/ 2。 当( #/ J ) > ( #/ J ) c 时, 存在一 条有限温度 的失稳 线, 这 时 m 消 失。这 条 线 接 近 零 温 临 界 点 时 由 T c W| g | 1/ 2 给出。 它定义了移动指数, 也取平均场 的值 W= 1/ 2。 我们很容易验证, 对于上面所作的近 似, 无论是零温还是有限温, 所有的临界指数在两种 状况下的结果都是和平均场一致的。 从( 12) 和( 13) 两式的自洽解, 我们能够得到图 2 所示的平均场下的相图。 T = 0 时, 我们可以确 在 定 # c = pJ 。 对于 # < pJ 的情况, 铁磁有序状态出 现, 即3Sz 4 X 0; 当 # \ pJ 时, 铁磁序消失, 即3Sz 4 = 0。 12) 式, 热相变点由下式 从( # # tanh k BT = pJ ( 15) 。 我们首先 研究不加沿 z 方向 的外磁场 的 H amilt on 量 的基 态。 半经 典近似 下, 我 们可 以 在 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 329 就可以应用于描述序参量涨落。 对于任何发生在某个有限温度 T c 下的相变, 当 z | S | < T 1/ M 时, 量子力学变得不重要, 换句话说, 接 c 近转变点的临界行为是完全经典的。 这等于说明了 所有有限温度下的相变都可以被认为是/ 经典的0。 量子力学在微观尺度上仍然是重要的, 但在宏观尺 度上经典热涨落占统治地位, 并控制了临界行为。 受 非热参量 X 如压强或磁场的影响发生在零温的相图2 在平均场近似下, 平均磁化强度对 温度的依 赖关系。 引自文献[ 20] 变, 其行为大多数由量子涨落控制。 结果是零温下的 相变被称为量子相变。 在低温下, 存在量子 2 经典渡越现象。 当温度固 定, 而 X 逼近于 X c ( T) 时, 临界行为从经典变为渐 近量子形式。 如图 3 所 示, 利用改变非热参量如压 强、 磁场、 杂质浓度, 临界线 T c ( X) 从低温区延伸到 零温临界点 T c ( X c ) 。 确定。 利用 T = 0 的情况, 我们同样可以证实 #c = pJ 。 应当指出, 一维横场 Ising 链的量子 H amilton 量 能够被精确求解。 从精确求解得到的临界值是 #c = J , 而平均场理论对一维近邻相互作用链的 #c 给出 了过高的估计, 即 #c = 2J 。 1. 4 相图 现在已经清楚, 本质上来讲, 量子相变是零温下 由调节非热参量如压强、 成分或磁场来实现的, 并能 在很宽的参量范围内影响凝聚态物质的性质。 这些 相变 是 基 态 竞 争 的 结 果。 序 只 是 被 来 源 于 H eisenberg 不确定性原理的量子涨落所破坏。 为了研究量子相变, 我们还必须知道系统的低 能激发。 当然, 量子临界行为在零温之上甚至到达室 温都可能被很好地观察到。 一旦一个系统的量子临 界点被确定, 它就能作为一个出发点去探索整个相 图。 1 和 2 分别显示了通过实验测量和平均场计 图 算得到的 Ising 系统的简单相图。 这里我们将讨论存 在量子相变的相图的一般特征。 也许有人会问, 什么时候量子力学效应会影响 渐近的临界行为。 一般而言, 只要温度低于所研究系 统的某个特征能量, 量子力学效应就会变得重要起 来。 为从 k 1. 1 作进一步的讨论, 我们另外比较两个 能量尺度, 一个是 长距离序 参量 涨落的 典型能 量 2 X , 另一个是平均热动能 kB T 。Xc 联系于典型的涨 2 hc h 落时间尺度 tc , 即对应于动力学的驰豫时间, 可以合 理地写成 2Xc W| S | h M z 图3 量子相变点附 近的示意 性相图。 垂直轴 T 表示温 度; 水平轴 X 代表控制参量, 被用于调节系统通过量子临 界点 在临界温度 T c 附近, 相变现象发生, 对 Gibbs 自由能利用序参量 <( r ) 作幂级数的 Landau 展开是 正确的。 临界温度的邻域既包括平均场的范围, 又包 括在非常靠近 T c 的强涨落的 Ginzbur g 临界区域。 在 T c 附近, 热涨落和有序化发生, 此时它被称为/ 经 典相变区0。 在相变区域的某子域, 量子涨落对相变 性质有关键性影响, 则此子域称为/ 量子相变区0。 这 里我们将用/ 量子临界现象0 来说明量子效应渗透 于整个 g n 1 的相变区域。 经典和量子涨落的交互作用产生很有意思的相 图, 如图 3。 图中以纵轴代表温度T , 横轴代表调节系 统跨越量子相变点的参量 X, 实线标记了有限温度 下有序相和无序相之间的边界。 一个真实的相变可 以在低温下利用改变 X 而出现。 量子相变点可看作 是有限温度相变线的终点。 经典涨落将在有限温度 ( 16) 这里 S 是约化温度。 这个典型的频率标度行为在接 近连续相变点时趋于零。 2 X > kB T 时, 量子力学 当h c 2 效应变得重要; 反过来, 当hXc n kB T 时, 纯经典处理 330 物 理 学 进 展 第 29 卷 相变的边界附近占主导地位, 但随着温度降低, 经典 临界区会变得越来越窄, 甚至有可能在实验中观测 不到。 在高于量子临界点的有限温度, 虚线代表了令 人关注的量子临界区域的边界, 在该区域内, 起主导 作用的临界奇异性可以被观测到。 根据其行为是由序参量的热涨落还是由量子涨 落所控制, 我们通过两条虚线区分三个不同区域。 在 热无序区, 长程序主要被热涨落所破坏。 作为对比, 在量子无序区, 物理性质主要由量子涨落支配, 系统 行为本质上与 X > X c 的量子无序基态相类似。 在两 者之间就是所谓的量子临界区域, 两种涨落在其中 都起到重要作 用。 其边界 是由 条件 kBT > 2 X W hc z | X - X c | M 确定。 调节参量 X 使系统趋于临界区, 而热涨落使其远离临界区。 因此, 量子临界区的物理 性质由量子临界基态的热激发控制, 但与传统的准 一些物理量表现出由临界指数表征的非解析的或发 散的幂次关系。 这些指数并非完全独立, 而是满足标 度关系, 这对热临界现象和量子临界现象都是如此。 为了研究靠近零温不动点的标度性质, 我们一 般可以采用 X- X c , 或无量纲的约化参量 g = ( X X c ) / Y, 来度量离开参量空间中量子临界点 X c 的距 离。 和 Y可以用系统中不同的实际参量来代替。 X 为 方便, 我们通常使用磁结构中的 # 和 J 。 于是, 临界 指数可以按照以下的方式来定义。 如果我们固定交换参量 J , 则基态能量密度的 奇异部分可以用来定义第一个临界指数 A 即 , f s W| # - #c z 2- A ( 17) B 第二个临界指数 B决定于磁化强度与横场的关系, m = 3S 4 = 52 f s 5H 2 5f s 5H H= 0 W| # - #c | ( 18) 粒子激发是不同的。 这导致量子临界区反常的有限 温性质, 如铜氧化物超导体在正常态的电阻率表现 出线性温度依赖关系, 这是明显的非 F ermi 液体行 [ 21] 为 。 当关联长度远大于微观尺度时, 普适行为可 以在量子临界点附近被观察到。 顺便说, 虽然在低温下实际材料中, 一级相变是 频繁发生的, 但是一级相变中的量子相变还很少被 研究, 也很少有结果能用上。 大致来说, 在一级相变 或非连续相变的平衡点, 有序化和热涨落出现有限 的长度尺度, 往往标度方法不可行, 所以量子涨落在 一级相变中比在连续相变中有更强的效应。 我们这 里只讨论连续量子相变。 磁化率与横场的关系决定了第三个临界指数 C, V= H= 0 W| #- #c | - C ( 19) 第四个临界指数 D来自于定义在 # 临界值上的磁场 强度对外场的关系, m W H 1/ D, 当 # = # c 还有关联长度决定了第五个临界指数 M , N W| #- #c | - M 十分明显, 当 # y #c 时, N y ] 。 与热临界现象作类比, 也可用约化量 g 代替 S 来一般地定义临界指数 A B C D和 M 也就是, f s W 、、、 。 | g | 2- A( 替代了比热 c W| g | - A) , m W| g | B, V W | g | - C, m( H , | g | = 0) W| H | 1/ D 和N W| g | - M。 此 外, 动力学关联时间满足 z z tc W| #- #c | - M W| g | - M ( 20) ( 21) 2 量子标度和重正化 在一个系统的量子相变点附近, 其相关物理性 质是问题中某些独立变量的齐次函数, 这时就表现 出标度行为。 这是人们在研究热临界现象时发展的 标度理论的推广 [ 4] 。 对于量子临界性, 可以通过考察 特征长度及特征时间的存在性来研究其标度行为, 而且在量子临界点附近应该有一组标度变换。 临界 点决定着相变的不稳不动点。 与不稳不动点有关的 几个临界指数规定了相变的普适类。 这些临界指数 描述了一个多粒子系统在零温附近的关联长度、 磁 化率和临界慢化等物理量的发散特性。 临界指数的 确定依赖于重正化群方法。 2. 1 临界指数 在二级相变点的邻域, 无论是在有限温或零温, ( 22) 从这些表达式中, 我们得到六个临界指数 A B C, D , , , M和 z。 , 还有另一个重要的指数 G 它与临界点序参 , 量关联函数的行为有关。 因为关联长度在 #- # c = 0 处发散, 所以系统没有特征长度, 而序参量的关联函 数 G( r ) 以 G( r ) W1/ r d- 2+ G 的形式随 r 迅速衰减。 换 一种方式, 我们可以对 G( r ) 进行 F ourier 变换, 通过 G( k) W k2- G 在波矢空间来定义 G。 在量子相变的问 题中, G的定义涉及到指数 z , 例如, 在临界点关联函 数应该满足 G( r ) W r d+ z- 2+ G 1 ( 23) 在这里的量子场合, 我们习惯上把加和 d + z 视为有 效维数。 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 331 就像我们所熟知的热临界现象一样, 以上的临 界指数并非独立的。 它们满足四个标度律, 即 A+ 2B+ C= 2 A+ B( D+ 1) = 2 A M= 2 + d C+ MG- 2) = 0 ( ( 24a) ( 24b) ( 24c) ( 24d) 换下的改变。 在描述标度变换下的重正化群这一数 学形式中, 标度不变的量子临界点是与重正化群方 程的不动点相联系的。 当系统靠近量子临界点时, 关联区域里强烈相 互作用的自旋可以被理解为一个新的有效自旋。 可 以想象, 强烈相互作用的自旋组成的块被一个新的 有效自旋所代替, 从而系统构成一个新的晶格。 接下 来的问题是要寻求有效自旋之间的新的耦合作用以 及对有效自旋作用的新的磁场。 与处理热临界现象 一样, 我们标记新晶格上各物理参量带上一撇, 包括 长度标度 Lc, 交换参量 Jc, 外场 H c, 横场 #c, 以及临 界参量 gc。 从旧晶格到新晶格的标度变换下的重正 化需要三个临界指数 w, u 和 v 来描述, 即 Jc = b wJ , gc = bug , H c = bvH 其中第三个标度律, 即所谓超标度关系, 将临界指数 和系统的维数 d 联系起来。 可以论证, 在量子相变中 这个标度律必须被修改为 A+ Md + z ) = 2 ( 这再一次表明 d + z 起着有效维数的作用。 [ 2] ( 25) 系统的有效维数从 d 变到d + z 反映了空2时的 关联 。 这是在量子相变中出现的一个很关键的新 特征。 在统计力学里, 通过对空间中粒子的所有可能 组态, 加上 Bolt zmann 因子 exp(- E/ kB T ) 作为权 重, 来求平均, 来得到系统的性质, 其中 E 代表能量, kB 是 Bolt zmann 常数。 这是经典热力学的处理方式。 在量子力学中相似地有量子概率, 它代表一个粒子 在一段时间中通过的所有路径, 以 Schr? dinger 因子 2 exp( iE t / 2) 作加权平均, 这里h 是 P lanck 常数除以 h 2P。 展一个量 子途径的 统计力 学来理 解量子 相 发 变, 涉及到组合这两方面的不确定性。 令人感到惊奇 的是, Bolt zmann 因子和 Schr? dinger 因子在形式上 很相似, 这意味着 将两者结合起来 描述是可能的。 Schr? dinger 因子中的 时间 变量相 当于 Bolt zmann 2/ 因子中的h kBT , 当然两个因子还差个虚数 i 。 因此, 一个相变的量子描述和经典描述很相似, 除了空间 中组态变化, 还要加上/ 虚时0。 这种量子理论和统计 力学的统一性对于描述临界点有重要的用途, 因为 维数是决定普适类的少数几个因素之一。 虚时现在 被看作另一个维度, 它对普适类的影响会改变临界 指数。 2. 2 量子标度变换 ( 26) 由于在不动点处, ( #/ J )c = ( #/ J ) , 故 # 具有与J 相 同的指数, 即 #c = b- w # [ 22] 。 量子相变显示了系统基态性质的一种非解析行 为, 可以用一个控制参量 g 的函数来描述。 零温下自 由能密度的奇异部分可写为 f s = Jf (| g | , H / J) ( 27) f ( x, y) 为一个标度函数。 可以合理地假定, 热临界 现象中自由能密度的齐次性条件在量子临界现象中 也是合适的。 若选择长度标度的改变为 Lc = L/ b, 新 的自由能密度和关联长度就是 f c s = Jcf ( | gc | , Hc/ Jc) = bdf - 1 s ( 28) ( 29) N | gc | , H c/ Jc) = b N | g | , H / J ) c( ( f s ( | g | , H / J ) = J b( d+ w) 将前面定义的带撇的各量代入以上两个方程, 可得 f bu | g | , b( v+ w) H / J , u ( v w) + N| g | , H/ J ) = bc b | g | , b ( N u H/J 由于 b 是任意的, 可取 b | g | = 1, 从而 fs ( d+ w) / u H/J =| g| f 1, ( v+ w) / u J | g| N= | g | - 1/ uN 1, c H/ J | g | ( v+ w) / u ( 30) ( 31) 理解物理系统在空间和时间维度下的标度变换 性质是量子临界现象理论研究中非常基本的步骤。 原因在于, 当系统靠近量子临界点时, 在空间与时间 中一些自由度关联的区域尺寸增大。 这些区域的典 型尺寸和其弛豫时间定义了关联长度 N和弛豫时间 t c。 以横场 Ising 模型( 6) 式为例, 在量子临界点, 所 有自旋均是关联的, 具有发散的关联长度, 系统具有 标度不变性。 由此可见, 为理解量子临界现象, 有必 要考察互作用、 磁场、 磁化强度等物理参量在标度变 考虑到零外场下基态能量密度和关联长度的临 界指数的定义, 从上面两个方程得到 M 1/ u, A+ M d + w) = 2 = ( ( 32) 其中第二式是量子超标度关系, 将临界指数 M A 与 , 系统的维度 d 以及重正化交换参量 J 的临界指数 w 联系在一起。 这与通常的有限温临界现象的超标度 关系有本质的区别, 因为这里用( d + w) 代替了 d。 后面我们将证明, w 代表了动力学临界指数, 即 w = z。 另外, 结合( 30) 式和( 18) 式可以得到 332 Mv + w) = B+ C ( 2. 3 动力学指数的卷入 物 理 学 进 展 第 29 卷 度为 tc = b- z t 作如下合理的标度假设, $Ec = bw $E 和 $tc = b- z $t 的, 即 $Ec$tc = bz- w $E $t \ 2 h 结果我们必须有 w= z 于是量子超标度关系可以写成( 25) 式。 需要注意到 的是, ( 24c) 式中的维数 d 已经由有效维数 d eff = d + z 所取代。 另外, 通过讨论关联函数, 我们可以得 到第四个独立的标度关系 2B= M d + z - 2 + G ( ) ( 38) 除了 d 被换成 d + z, 这和( 24d) 式是等效的。 维度的移动将对量子相变产生重要的结果。 一 方面, 量子系统的指数和对应的维度为 d eff = d + z 的经典系统的指数是一样的。 d = 1 的横场 Ising 在 模型中, 决定于零温不稳不动点的临界指数为 B= 1/ 8, A= 0, M 1, 和 C= 1. 75, 这和 Onsager 的二维 = Ising 模型的临界指数相同; 另一方面, 既然( d + z) 大于 d, 它就容易达到上临界维数 d c , 这时临界指数 就符合 T = 0 时的平均场理论的计算值了。 由于热 相变的上临界维数 d c = 4, 因此对于横场 Ising 模 型, z = 1, 有效维数 d eff = d + z = 4 在低于热相变 上临界维数的 Euclid 维数 d = 3 就达到了上临界维 数。 应当指出, 在量子统计动力学中, 静态性质和动 力学性质的耦合将导致量子相变的普适类少于热相 变的普适类。 同属于一个经典普适类的系统, 如果它 们有不同的动力学, 就可能显示出不同的量子临界 行为。 这和热相变的动力学普适类的结果一致 2. 4 与温度有关的标度 因为所有的物理过程都发生在零温以上, 所以 有必要扩展标度性分析到有限但低的温度区域。 因 为温度相当于一个能量参量, 它必须被系统的特征 能量如 Ising 模型中的交换参量 J 所重正化, 所以我 们有 ( T / J )c = bz ( T/ J ) ( 39) [ 13] ( 34) 从( 33) 和( 34) 两式可知, 能量涨落和时间涨落可以 ( 35) ( 36) 如前面已经讨论过的, 量子相变的一个主要特 征是热力学因素和动力学因素相互影响。 这种相互 影响的结果就是, 一个有限温情况下的 d2 维量子系 统在 T y 0 时可以用( d + z) 2 维的经典系统描述, 其中 z 是动力学临界指数。 很明显, 量子相变的重要 特征可以在经典的方式下得到很好的研究。 这样我 们需要关心动力学指数 z。 对横场 Ising 模型, 动力学 指数可以确认为 z = 1。 z = 1 的场合可以看出, 用 对 2/ kBT 作为时间单位, 附加的维度处在有限的范围 h 内; 只有当 T y 0 的极限, 它是无限大的。 一个量子 问题可以类比地用一个( d + 1) 2 维的经典问题进行 计算解决。 也就是说, 从具有相同的相变行为来看, 任何一个( d + 1) 2 维晶格的统计问题都可以看成是 一个同构的 d2 维 晶格上的 量子力学 H amilton 系 统, 这额外的一维就是 it , 其中 t 是时间。 关于 d2 维 量子自 旋系 统和 ( d + 1) 2 维经 典 Ising 系统之间关系的早期研究可以追溯到 20 世纪 的 70 年代 。 值得注意, 时间在零温时扮演了极 为基本和关键的角色, 从而静态性质就和动力学性 质耦合起来。 如前所述, 可以建立量子力学和统计力 学在数学上的对应, 在这种对应中时间起到了一个 额外维度的作用。 这在 Ising 模型中尤其明显, 并能 够推广到其它模型。 在统计力学的分析中, 考虑非零 温的效应相当于采用时间维度上有限的尺度。 有限 尺寸的标度模型可以用来分析非零温时的数据。 非 零温时行为的改变可以是一个相变或渡越。 在零温下, 临界涨落有量子特征。 这意味着在图 3 的相图中不同量子态之间的涨落符合 H eisenberg 的不确定性关系。 k 2. 1 中, 我们已引入量子临界 在 现象里的标度概念, 并定义了临界指数, 这里我们强 调动力学指数在量子相变中所起的特殊作用。 我们已经遇到了如何确定超标度关系( 32) 式 中的 w 的问题。 临界涨落的量子特征使得我们能将 动力学指数 z 和 w 建立起联系。 既然在重正化群变 换中, 临界指数 w 决定交换参量 J 和横场 # 的标度 变换, 即 Jc = b J 及 #c = b #, 能量应当被扩大 b 即 Ec = bw E ( 33) 另一方面, 在接近零温的临 界点, 时间 t 可以 重标 - w - w w [ 23~ 25] 我们可以期望, 不确定性关系 $E $t \ 2 是标度不变 h ( 37) 。 倍, 以使 H amilt on 量 H( gc) 和 H( g) 有相同的能级, 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 333 T0 ? z [ # - # c( T ) ] M 2 这样对温度就像场那样引入了标度的变换。 z > 当 0, 重正化群方程的流向总是远离零温不动点, 所以 我们可以说温度是一个相关场。 这种情况对于横场 Ising 模型( z = 1) 和许多其它多粒子问题都适用。 现在我们来分析温度是如何出现在标度方程里 的。 回到( 30) 和( 31) 式, 同时考虑附加的重正化条 件( 39) 式, 我们发现, 自由能密度和关联长度与温 度的关系为 f s = | g | 2- Af 和 H /J , T/J B C + M z ( 41) | g| | g| 对于一维横场 Ising 模型我们可以预期, 接近于 N= | g | - M K N = K c + 1 + a0 ( 48) 从这个表达式我们可以发现, 第三项存在温度依赖 性, 而渡越线可以定义为 T = [ #- #c ( T ) ] < ( 49) 这里 < = M 被称之为渡越指数。 z 在相图的非临界点 区域, 即( #/ J ) > ( #/ J ) c , 渡越线将 K N 或者标度函 数 f ( K N) 的行为划分为两个不同的区域。 从有限温关联长度的表达式 N= ( K 0 - K c - a 0 T 0 ) ? 我们得到在 T2g 相图上临界线的方程, 即 T c 作为关 联长度发散的温度集合。 这由方程 K 0 - K c - a 0 T 0 2 ? = g( T c ) = 0 给出, 并导致 T c W| ( #/ J ) - ( #/ J ) c | 1/ 2 2 - M H/J T/ J , z | g | B+ C | g | M ( 40) N c 零温的不稳不动点时, 一个重正化群方程的展开式 可以写成一个简单的递推关系 K n+ 1 = K c + b ( K n - K c ) ( 42) 它是从充分接近临界点 K c = ( #/ J ) c 的任意 K 0 = ( #/ J ) 开始作重复迭代。 当系统的长度标度通过因 子 b 改变, 在接近临界点时, 这个方程可以在物理上 被看作用来表述横场与交换参量之比的相应变化。 对于有限但低温的情况, ( 42) 式可以推广到包 括 T 0 = T / J 的最低阶, ? K n+ 1 = K c + b ( K n - K c - T n ) ? 其 T n 满足 ? T n+ 1 = b T n ? ? z u 2 u W| g( T = 0) | 1/ 2 ( 50) 在这里临界线对于温度是解析的。 一般来说, 临界线 是由 T c = | g | 给出, 这定义了移动指数 W在上面 。 讨论的例子中, W 1/ 2。 = 图 4 给出了对 d > 1 的横场 Ising 模型在 T2g 平 面上典型的相图。 箭头表示了重正化群方程的流线 的方向。 注意到这个流线总是离开由 T = 0 和 g = 0 表示的量子临界点, 说明这个量子临界点是完全非 稳的。 这里还有另一个对于流线方向需注意的特点。 ( 43) ( 44) 2 W 这涉及到沿有限温相变临界线 T c ( g ) 的流向。 这个 事实表明, 沿这条线的临界行为被标志有限温临界 行为的另一个不动点所控制。 注意到在 K n+ 1 的低温展开式中引入了解析的 T 项 ? 的贡献。 n = 0 出发, 迭代 n 次, 我们可以得到如下 从 方程 K n = Kc + b ( K0 - Kc - a0 T 0 ) + a0 ( b T 0 ) ? ? n 2z n nu 2 nz 2 ( 45) 这里 a 0 = 1/ ( b - b ) 。 取长度 L = b , 我们最后得 到 KL = Kc + L u ( K 0 - K c - a 0 T 2 ) + a0 ( L zT 0 ) 2 ? 0 ? ( 46) 因为 L 是任意的, 我们重复标度过程直到 L ( K 0 K c - a 0 T ) = 1, 这个长度标度定义了关联长度 ? N= 1 #c ( T ) ] - M 2 1/ u W[ # ( K0 - Kc - a0 T 0 ) ? ( 47) 这里使用了关联长度指数 M 1/ u 以及 # c ( T) = # c = + ( a 0/ J ) T 。 利用 N的表达式, 我们可以求得在长度标度 N时 2 2 0 u 图4 横场 Ising 模型在空间维数 d > 1 时的相图 标度方法的一个有意义的特征是, 它可以确定 存在临界性时某些物理量随温度变化产生的奇异行 为。 沿着临界线, 物理量如关联长度、 磁化系数等的 发散性会由一组与量子临界点的临界指数有所区别 的临界指数来控制, 如可标记为 ?? 于是我们有 M C等。 、 两组临界指数, 与量子临界点有关控制零温奇异性 334 物 理 学 进 展 第 29 卷 的指数, 和沿着有限温临界线控制发散的指数。 如我 们前面所指出, 沿临界线的流向总是远离量子临界 点。 因此, 一定有另一个不动点控制有限温相变, 而 这种相变属于另一个非量子相变的普适类, 即带波 纹的临界指数不同于 T = 0 的临界指数。 当延伸量子相图到有限温时, 我们需要注意考 察系统的低临界维度 d L 。 在这个维度以下, 系统没 有有限温相变, 因为零温有序相都会被热激发低能 模式所破坏, 如对于横场 Ising 模型 d L = 1。 这时对 于有限温没有临界线, 而且系统随温度的行为需要 修正。 2. 5 横场 Ising 系统的实空间重正化 渡越、 不稳不动点、 吸引子、 参量空间的流线、 相 关场和非相关场这些概念在描述量子临界现象的物 理行为时十分有用。 标度方法可以十分有力地描述 量子相变的临界行为, 但是不能直接得出临界指数, 所以发展一个可以直接得到临界指数的理论十分必 要。 重正化群为描述量子临界现象提供了合适的数 学工具。 虽然也可以把横场 Ising 模型从实空间形式( 6) 式变换到动量空间形式, 随后在场论方法下进行重 正化处理 , 作为一个具体的例子, 我们仍然用实空 间的重 正 化 群 理 论 来 考 察 一 维 的 横 场 Ising 模 型[ 26] 。 为方便起见, 我们可以对零外场下的( 6) 式作 正则 变 换 得 到 描 述 横 场 Ising 模 型 的 等 价 H amilt on 量 H= - J X 0。 在标准的块重正化方法中, 我们取 标度因子 b = 2。 这样一个块的 H amilt on 量为 H12 = - J S S - #( S + S ) z x 1 x 2 z 1 z 2 [ 6] 的矩阵形式是 - 2# - J - J 2# 0 0 0 0 0 0 0 - J 0 0 - J 0 H12 = ( 53) 解本征方程 H12 | i4 = E | i4, 我们可以得到四个本 i 征值和相应的本征态。 这里我们只给出后面要用到 的基态的能量和波函数 E = - ( 4#2 + J 2 ) 1/ 2 , 0 | 04 = ( 1 + a 2 ) - 1/ 2 ( | { { 4 + a | | | 4) ( 54) 其中 a= 2 2 4# + J - 2# / J ( 55) 和第一激发态的能量和波函数 E = - J , | 14 = 2- 1/ 2 ( | { | 4 + | | { 4) 1 ( 56) 这两个能量最低 的态取作虚拟的自旋量子数 Sc = 1/ 2 的两个态, Sc = 1/ 2 代表块的有效自旋, 故 有 | 04 y | { c4, | 14 y | | c4 新的块 H amilt on 量形式为 H = E | { c43 { c | + E | | c43 | c | c 0 1 S - #cSc z + Cc 满足 #c = 和 1 0 Cc = E + E = 2 ( 57) ( 58) 上式最右边定义了重正化的横场 #c 和常数Cc。 它们 E- E 1 0 1 = 2 2 1 2 4#2 + J 2 - J ( 59) E S i S i+ 1 - # E S i i i x x z ( 51) x 在没有横场 # 时, Ising 链在 T = 0 时是有序的, 3S 4 4# + J + J 2 2 ( 60) 这两个方程中的第一个表示了作用在新的有效自旋 上的重正化横场的递推关系。 下一步是计算有效自旋之间的耦合。 最简单的 ( 52) 办法是根据块有效自旋的 x 分量Sc x , 写出原始自旋 相应的分量 Sxi , 即 S x = K x 。 i Sc 参量 K由下列矩阵元 3 { c | Sx | | c4 = K { c | Sc x | | c4 S K( 61) 3 确定, 于是 K= 1+ a 2( 1+ a 2 ) ( 62) 选 S 的本征态 | { 4 和 | | 4 为基矢, 并引入升降算 符, S+ = ( Sx + iS y ) / 2 和 S- = ( Sx - iS y ) / 2, 所以 S x = S+ + S- 。 于是我们得到如下方程 S | { 4 = 0, S | | 4 = | { 4, S | { 4 = + 1 | { 4 S | | 4 = 0, S | { 4 = | | 4, S | | 4 = - 1 | | | 4 我们可以通 过 Sz 和 S z 的 本征 态 乘 积来 构 造 块 1 2 H amilt on 量 ( 52) 式的 基 矢, 即 | { { 4 = | { 4 2 | { 41 , | | | 4 = | | 42 | | 41 , | { | 4 = | { 42 | | 4 1 , 和 | | { 4 = | | 4 2 | { 4 1 , 这样 H amilt on 量 z + + z 其中 a 由( 55) 式给出。 定义格点 12 组成的块和格点 34 组成的块之间的交换参量 Jc 为 JcSc 12 Sc 34 = J S 2 S 3 化简此式有 Jc = JK , 或具体写为 2 x x x x 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 335 Jc = J (1+ a)2 J ( J - 2# + 4 #2 + J 2 ) 2 = 2 2( 1+ a ) 4( 4#2 + J 2 - 2# 4# 2 + J 2 ) 给出, 当 b = 2 时我们得到 M 1. 47。 = 为寻求动力学指数 z, 需要注意到在不稳不动 点( #/ J ) c , 横场的递推关系( 59) 式可以写为 #c = # 既然 #c/ # = b- z , 于是 z= ln 2K / * * ( 63) 结合( 59) 及( 63) 两式, 并定义变量 K = #/ J , 我们得到如下递推关系 Kc = 2( 1 + 4K - 1) ( 1+ 4K - 2K 1+ 4K ) ( 1+ 1+ 4K 2 - 2K ) 2 ( 64) 这个方程可以用迭代法求解, 譬如从 K 0 可以得到 K 1 = Kc 0 , 然后从 K 1 可以得到 K 2 = Kc 1 , 等等。 序 列( K 0 , K 1 , K 2 , , , K n ) 产生 了一 个重正 化群方 程 流向。 物理上, 这个序列表示了对无限链上的自旋进 行连续的组合操作, 不断地将其转换成新的有效自 旋。 每次操作, 系统的尺度就用因子 b = 2 重新进行 标度, 也就是 Lc = L/ b。 不动点由方程 K * = f ( K * ) 决定。 这样上面的方程变为 4K + 2K ( 1 + 4K ) - ( 1 + 4K ) + 2K * 2 + K * ( 1 + 4K * 2 ) 1/ 2 + K * + 1 = 0 * * * 3 * 2 * 2 1/ 2 * 2 3/ 2 2 2 2 1+ 4K * 2K * 2 - 1 ( 68) 1+ 4K * 2 - 1 lnb ( 69) 从 b = 2 和 K = 1. 277, 可以得到 z = 0. 55。 横场中的一维 Ising 模型可以精确求解[ 1 7] 。 量 子临界点出现在( #/ J ) c = 1, 关联长度的指数 M = 1, 动力学指数也是 z = 1。 由于我们在进行实空间重 正化处理时采用的是小的、 有限尺寸的块, 这种方法 带来与精确结果不同的临界指数值。 实际上这个方 法可以利用增大块的尺度来优化。 如若选取的块有 五个自旋, 就是 b = 5, 重正化方法可以给出( #/ J ) c = 1. 0797 和 z = 0. 705, 这就和精确解比较接近了。 ( 65) 容易验证, K = 0 和 K = ] 是方程的两个平凡 解。 还有一个非平凡解须用数值方法求解, 其值为 K = 1. 277。 可以确认, 前面两个解是稳定不动点, 第三个是不稳的。 实际上, 若从 K < ( #/ J ) c 开始进 行迭代, 系统一直到达 K * = #/ J = 0 点, 这是经典 Ising 相; 相反, 若从 K > ( #/ J ) c 开始迭代, 系统就 会到达K = #/ J = ] 点, 这是量子无序相。 十分明 显, K * = ( #/ J ) c = 1. 277 就是划分磁有序相和磁 无序相的量子临界点。 这些结果示于图 5。 * * 3 金属 2 绝缘体相变金属 2 绝缘体相变是量子相变中引人入胜的主 题。 根据文献[ 9] 中第 6 章、 9 章和第 13 章的介绍 第 我们已经知道, 金属 2 绝缘体转变具有三种类型, 分 别为密度驱动的转变、 无序驱动的转变和关联驱动 的转变。 尽管我们无法找到可以表征这些相变的序 参量, 但临界现象的概念被证明对描述金属 2 绝缘 体转变是十分有用的。 在文献[ 4] 中, 可以找到有关 金属 2 绝缘体转变的系统描述。 3. 1 密度驱动的相变 密度驱动的金属 2 绝缘体相变可以依靠改变电 子数或化学势产生。 这种相变可以发生在无相互作 用系统, 对应于能带填充, 它也被叫做 Wilson 转变。 根据能带理论, 拥有填满 s带和空的p 带的由二 价原子组成的晶体, 在原子间距足够大时是绝缘的。 随着原子间距的降低, s 和 p 带之间的带隙逐渐减 小, 甚至变为负的。 而当带隙等于或小于零时, 晶体 将变成金属性的。 这就是大多数二价金属形成的原 因和直观的理解。 然而, 即使在足够小的原子间距 下, 二价金属也可能变成半导体或者绝缘体, 当然这 仍依赖于带隙变化。 下面我们来讨论这个问题。 我们可以取 | g | = | L- Lc | 来作为控制参量, 其中 L是化学势, 而 Lc 是在T = 0 K 时发生金属 2绝 图5 横场 Ising 链重正化过程的流向图 在不稳不动点附近, 我们如( 42) 式那样展开递 推关系到一阶 K n+ 1 = K * + bu ( K n - K * ) 方法, 这个指数可以从下面的表达式 lnb M = * * ln[ ( K n+ 1 - K ) / ( K n - K ) ] lnb = ln( 5Kc/ 5K ) K * ( 66) 其中 u = M1 而 M 是关联长度的临界指数。 通过数值 ( 67) 336 物 理 学 进 展 第 29 卷 缘体转变的化学势临界值。 靠近相变点的自由能密 度的奇异部分可以写作 f s W| L- Lc | 2- A ( 70) ( 71) 它定义了临界指数 A 压缩率可被定义为 。 2 J W5 f s / 5L2 W| L- Lc | - A 有时把相变的控制参量从 | L- Lc | 换到 | n- nc | 也 是很有用的, 这里 n 是载流子密度而n c 是其临界值。 这些量之间的关系为 n W 5f s / 5 L W| L- Lc | 1- A ( 72) 图6 为考察电子间无相互作用系统的能带填充导致 的金属 2 绝缘体转变, 我们可以从一个 d 维空间中 的超立方晶格出发来建立一个紧束缚能带模型。 对 于一个给定的自旋方向, 每个格点上的电子数 n 接 近临界值 n c = 1 时, 系统将从金属态向绝缘态转变。 这种相变是一个量子临界现象, 对此我们可以考察 其临界指数。 我们引进一个特征长度 N作为屏蔽长 度, 这个长度在发生金属 2 绝缘体转变时发散。 描述 这个零 温相 变 的一 个 自然 的变 量 是 从化 学 势 或 Fermi 能级 L到带顶 E t 的距离, 例如, g = L- E t 。 根 据这个变量, N W| g | , 而有奇异行为的基态自由 能密度的表达式依然是 f s W| g | 2- A。 临界指数 M A 和 仍满足超标度关系 A+ Md + z) = 2。 ( 从实验上测量一个二价金属( 下面考虑镱) 的 电阻率与温度及压强的关系, 可以被用来研究密度 驱动的金属 2 绝缘体转变 [ 27] 。 这种材料有一个类半 金属( semi2met al2like) 能带结构, 即两个非关 联电 子的宽带在 Fermi 能处相交, 如图 6 所示。 外加一个 压力可增加两个能带之间的杂化程度而使排斥效应 增强, 造成交叠区的态密度减小。 系统 H amilt on 量 可写为 H= - M 具有对称能带结 构的 二价半 金属 的态密 度, 显示 出 由杂化程度 增加造 成的金 属 2 绝 缘体转 变。 参量 选 择为 $ = 10 eV, Vc U 4. 3 eV, 曲线分别对应于 V = 4. 0, 4. 4 和 5. 0 eV。 引自文献[ 28] 两个杂化能带之间的能隙为 $g = 2 V + 2 $ 4 2 1/ 2 - $ ( 74) 当 V > Vc 时存在能隙, 其中 V c = ( 3/ 4) $ 是金属2 绝缘体转变的标志。 V 接近 Vc 时的能隙为 当 $g D 3( V- Vc ) ( 75) 在此处考虑的对称带中, 较低的杂化能带的带顶到 F er mi 能级的距离 正是上面 所定义的 带隙的 半宽 度, 即 L- E 1t = 当 V 趋近 Vc 时, 我们得到 L- E 1t = 3 ( V - Vc ) 2 ( 77) 1 g $ 2 ( 76) 这个关系可以用来表示到临界点的距离, 在此金属 E t c c + Et c + VE c c + c c 1ij 2ij t jR ij R ? 1iR 2iR ? 2iR 1iR iR ? 1iR 1jR ? 2iR 2jR c 2 绝缘体转变的发生是用变量 g = L- E 1t 描述的。 进一步, 接近相变点时能隙的变化用此变量来 ( 73) 表示, 而能隙指数可以确定为 M = 1。 z 同样由指数决 定着自由能、 压缩率等热力学量的临界行为, 正如前 面所讨论的无相互作用填充能带跃迁一样。 由此可 见, 增加杂化程度, 例如给半金属加压, 提供了一个 实现简单的密度驱动 金属 2 绝缘体转 变的物理方 法。 控制参量是 g = L- E 1t W( V- Vc ) 或就用( P P c ) 。 7 确认了镱在压力诱导下的金属 2 绝缘体转 图 变, 测量使用了磁共振方法。 对于给定的压力, 线宽 $H 随温度线性增加, 显示了探针杂质通过基质导 带电 子 的 Korr inga 型 弛 豫。随 着 压 强 的 增 大, d $H / dT 下降, 直到临界点 P c = 12. 5 kbar 处变得 其中 tlij 是处于带 l 上的单电子在格点 i , j 之间的跃 迁振幅; c ? 和 c liR 分别是处于带 l 及格点 i 上自旋为 liR R的电子的产生和湮灭算符; V 是杂化或混合项, 使 电子从一个能带跃迁到另一个能带。 我们考虑一种 两带相对于保持固定的 F ermi 能级对称的二价金属 的情况。 这种情况下的两个能带的色散关系为 E = 1k E 和 E2k = E + $/ 2, 其中 E = k k lk Et ij lij exp[ ik # ( Ri - Rj ) ] , 而 $ 是能带宽度, 且对两个带是相同的。 上面的 H amilt on 量可以很容易地对角化, 得到 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 337 很小。 在接近于 P c 处, d$H / dT 随 P - P c 线性下降, 这 和密度驱动的金属 2 绝缘体转变的标度理论一致。 Anderson H amilt on 量, H= EE | i i i43i |+ Et i ij | i43j | 这里 | i4 是 i 格点的 Dirac 态矢, E 是i 格点的电子能 i 级, 而 t ij 则是 i 和 j 格点间的跃迁积分。 正如已经知 道的, 上述 H amilton 量的本征态在特定的能量区是 扩展的, 而超出这个区则是局域的。 在这里我们涉及 到迁移率边附近的波函数行为, 它把局域态和扩展 态分离开来。 从无序 Anderson H amilton 量出发, 考 虑到波函数之间的关联, 通过变换长度和能量尺度 的重正化群过程是可以被实现的[ 30] 。 在重正化过程 中, 通过混合近邻态并执行一系列正交变换, 以使跃图7 当 压 强 趋 近 金 属 2 绝 缘 体 转 变 的 临 界 值 时, Kor ringa 线宽的斜率 作为压 强的 函数, 其中 临界 压强为 P c D 12. 5 kbar 。 引自文献[ 29] 迁能量 t ij 降低。 对于局域化本征态, 这样的一个过 程是可以收敛的。 收敛的极限就是迁移率边 E c 。 因 此, 我们能够给出关于临界距离的另外一个定义 c g = E- E Ec ( 80) 标度理论可以被推广到有限温情况, 当 T X 0 时自由能的表达式为 f s W| g | 2- A F ( T / T c) M z ( 78) 两个定义本质上是相互联系的。 在重正化过程中, 将 使用所有 距离和 能量 的重 标度, 即 r y r/ b, E y E z , 以及 g y gbu 。 的符号将分别标记局域态和扩 b g 展态。 动力学和统计力学间的相互影响表明, 某些物 理量的频率依赖性有助于理解量子临界点的物理意 义。 即使不进行微观处理, 对于作为温度和频率函数 的电导率的临界行为, 也可以从标度讨论得到一些 2 一般性的预言。 对于三维系统, 当hX m kBT 时, 我们 1/ 2 可以观察到量子涨落的电导率, 即 R W X z ; 而当hX c 其中 特 征 温 度 T c W| g | 。特 征 温 度 T c W | V - Vc | 给出了态密度在 Fermi 能级处的峰宽度 并提供了在发生金属 2 绝缘体转变之前的金属区部 分的相关能量尺度。 3. 2 无序驱动的相变 在非相互作用电子系统中, 无序可以驱动的金 属 2 绝缘体转变, 被叫做 Anderson 转变。 在文献[ 9] 的 k 9. 3 中, 我们已经利用简单的量子模型对其研 究过。 这里我们将对由成分无序调制的电导率变化 做一个深入分析。 已经清楚, 在杂相系统中电导率 R 会随着散射体密度 Q的增加而降低, 直到在临界散 射体密度 Q 处达到零。 c 在局域化的经典图像下, 扩 散粒子随着散射体密度的增加会被限制在散射粒子 围成的笼子中。 然而, 当量子效应对电子起主要作用 时, 对于输运性质必须考虑两个竞争效应: 一是扩散 率应当增加, 因为量子效应允许电子隧穿出经典情 况下会限制电子的笼子; 二是量子干涉和弱局域化 效应会增强背散射振幅。 无论如何, 定义一个相对于 临界点的距离始终是方便的, 即 g= Q- Q c Q c ( 79) n kB T 时, 热能大小限制了量子涨落, 导致了直流电 导率按 Rc WT 1/ z 变化。 对于中间的温度和频率, 一个 2 / 仅依赖于比值hX kBT 的普适渡越函数内插于两个 极限行为之间。 标度分析的目的就是用一个统一的 图像去描写电导率对温度、 频率以及成分的依赖性, 和建立标度函数。 一般地, 在小 X g 及 T 的情况下, 包含温度效应 、 的动力学电导率服从广义的齐次函数 R g, T , X = b ( ) - M - ( d- 2) R( b g , b T , b X) R( 1, g - M z 1/ M z z ( 81) ( 82) 如果选择 b = g , 上式给出 R g, T , X = g ( ) Md- 2) ( T,g - M z X) 在( 82) 式中, 我们可以看到一个关键点, 即当 X= 0 z 时量 R - Md- 2) 只是 g- M T 的函数, 而不是分别地与 g g ( 和 T 联系。 实验数据塌缩到一条标度曲线上, 对于热 相变中的标度确认在历史上是非常重要的, 这对于 量子相变也是同样有用的。 为了描述无序系统中的 Anderson 转变, 我们给 出单电子紧束缚模型 H amilt on 量, 即著名的 无序 338 物 理 学 进 展 第 29 卷 取 X= T = 0, 我们便可以得到零温下的静态电 导率行为 R( g, 0, 0) W g s 这里 s 为电导率指数, s = Md - 2) ( ( 83) ( 84) 显然, 在量子临界点 g = 0 处, 零温动力学电导率 R ( W X d- 2) / z , 和温度依赖静态电导率 R W T ( d- 2) / z 。 ( 82) 式表明, g 不是唯一的距临界点的相关距 离。 在零频处, 有两个相关变量 g 和T 。 对于 g X 0 或 T X 0 的情况, 系统是偏离临界点的, 并且 M z 分 和 别度量了 g 和 T 的相关性。 电导率对温度和频率的 依赖性曾在无定形 NbSi 合金中得到测量, 主要集中 在零温金属 2 绝缘体转变附近。 从实验数据可以确 认标度关系的存在, 并且与以上的标度分析一致。 在 1/ 图 8 中, 样品的临界行为显示了 R( T = 0, X W X 2 ) 这便是为人熟知的 Wegner 标度律。 由于 2 + E展开 的收敛性较差, 对于 s 和 M没有可靠的理论值。 然而 就无序来讲, 根据对于临界行为趋于稳态的条件, 可 以得到 H arris 判据[ 31] , 即 M\ 2/ d。 = 3 时的数值 d 计算表明, M 的取值范围为 1. 321. 5。 我们可以进一步考虑电导率的频率和 温度效 应。 通过选择 b = X 1/ z 和 b = T - 1/ z , 我们可以得到 ( R g, T, X = X d- 2) / z R( gX ( ) 1/ zM , T X 1 , 1) ( 85) 和 R T, X= 0) W T , 这和量子标度分析的预言是 ( 一致的。 就如内嵌图所示, 对于多数金属样品来说, 从 1. 4 到 16 K 之间, 电导率是随 T 1/ 2 线性变化的。 动 力学指数 z = 2 也和对于此合金系统在接近金属 2 绝缘体转变时其它先前的工作结果相一致。 1/ 2 和 R g, T , X = T ( ) ( d- 2) / z R( gT - 1/ zM , 1, T - 1 X) ( 86) 图8 非晶 NbSi 合金的量子临界电导率标度。 a) 电导率随频率平方根的变化; ( b) 电导率随温度的变化。 ( 内嵌图给出零 温极限下的 R W T 1/ 2 结果。 引自文献[ 32, 33] 这里我们要指出, Anderson 转变是完全由无序 驱动的。 如果一个金属 2 绝缘体转变同时包含了电 子相互作用和无序, 比如掺杂半导体, 那么它就涉及 到 Anderson2Mot t 转变, 并且这类相变是一个拥有 巨大实验兴趣的问题。 3. 3 关联驱动的相变 考察关联驱动的金属 2 绝缘体转变, 即 Mot t 转 变, 可以用一个简单的模型来进行说明 。 这里我 们考虑密度为 Q的一组氢原子。 设位于格点 Rl 上的 氢原子核产生一个方阱势, 相对于这个格点处在 r i 处的电子受到的作用势可以表示为 [ 34] V( r i ) = - V0 , 0, 当 | r i - Rl | [ w 当 | r i - Rl | > w ( 87) 这里的 w 是阱宽, V0 是吸引势的深度, 且被假设为 只提供一个束缚态。 电子的量子行为可以描述成两 个部分, 即有利于电子在整个系统中作扩展运动的 电子动能和限制电子在质子附近作局域运动的方阱 势。 事实上, 单个质子产生的吸引势( 87) 式由于其 它电子和其它氢原子核的存在而减弱。 我们可以假 设, 电子实际上受到的是一个与密度相关的屏蔽势 V( r) = - V( Q , ) 0, 当 | r - Rl | [ w 当 | r - Rl | > w ( 88) 在稀释极限下, V( Q y 0) = V 0 仍然成立, 所有电子 都束缚在它们各自的氢原子核周围, 这时对应的状 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 339 态为气 相。 以证 明, 这 里存 在着 一个 临 界密 度 可 2 2 2 c V( Q ) = P 2 / ( 8 mw ) 。 h 密度在此之上, 电子受到的 吸引势被其它粒子所屏蔽, 它就脱离格点上氢原子 核的束缚, 系统便处于等离子状态相。 在晶体中等离子相是电子动能算符的基态, 然 而与之相对应的电子势能算符则更倾向于气相。 原 因是, 电子倾向于扩展到整个系统中以使动能最小, 但是电子之间的相互作用则倾向于使它们局域化, 以让势能最小。 电子的动能和势能的竞争决定了零 温下它们的导电性质。 基态可以表现为电子的巡游 态或者局域态性质。 通过改变动能和势能的相对强 度, 就可以诱导出相变。 这是一个宏观合作现象, 因 为所有原子都会因为它们之间的相互作用而同时发 生解束缚。 我们可以用外界作用来移动这一能量平 衡状态, 比如对样品施加压力来驱动金属 2 绝缘体 转变。 这种金属 2 绝缘体转变属于量子相变。 化合物 BaVS3 的金属2 绝缘体转变提供了一个 纯 Mott 转变的实例。 本质上, BaVS3 是一个各向同 性的三维非磁 Mott 系统。 实验上, 单晶电阻率测量 是在流体静压力范围 1 bar 到 25 kbar 之间进行的。 图 9 显示了温度 2 压强之间关系的相图。 在压力下, 从金属到绝缘体的转变温度降低了, 并且在趋于临 界压强 P cr = 20 kbar 处变为零。 在大于临界压强 P cr 时, 系统表现为奇异金属相。 在金属相内出现宽的前 兆区不是一个标准性质。 然而, 在一部分 Mot t 型材 料中这是普遍的, 在铁磁矿的 Verwey 转变以上也 可以看到类似的行为。 发生是由相关 H amilt on 量中的参量之间的竞争引 起的。 最著名的例子就是 H ubbard 模型, 即 H= Et ijR ij R c iRc jR + U E n iRn ? i ? 两个竞争参量是对应于最近邻交叠积分 tij 的带宽 B 和 Coulomb 排斥能 U, 正如文献[ 9] 中 k 13. 1 中所 讨论的那样。 对于一个电子密度固定为 n = 1 的系 统来讲, 随比率 U/ B 的增加, 我们可以期望找到一 个从金属到绝缘体的零温相变, 绝缘体时电子被冻 结在座位上。 对于每个原子只有一个电子的 H ubbard 模型, 重正化群方法可以被用来研究其金属 2 绝缘体转变 和零 温 不 动 点 行 为 。在 临 界 值 即 U/ B = ( U/ B) c 处, 不稳不动点把参量空间分成两部分。 当 U/ B > ( U/ B) c 时, 重正化群方程趋于强排斥吸引 子, 这为绝缘反铁磁相。 对于 U/ B < ( U/ B) c 情况, 重正化群方程将趋向 U/ B = 0, 即 F ermi 液体不动 点, 为金属相吸引子。 这种方法可以计算出零温临界 指数的值, 其精度依赖于重正化过程中的近似。 下面我们将对 Mott 转变的标度行为给出一个 简单的讨论。 对于半满填充的 H ubbard 模型, 我们 可以将控制参量选择为 | g | W| U- U c | , 这里 Uc 是 Coulomb 排斥能的临界值, 在此临界值处发生相变。 按照通常做法, 自由能密度中的奇异部分的标度为 f s W| U - U c | 2- A 2 2 [ 36, 37] ( 89) 这里再一次定义了指数 A 为了找到相应的压缩率 J 。 = 5 f s / 5L 的标度性, 有必要在接近于控制关联诱 导相变的不动点处, 找出的化学势的标度性质。 一般 而言, 因为 L是一个能量参量, 它满足 L c = bz L U U 其中 z 为动力学临界指数, 它在零温下支配着相互 作用 U 在金属 2 绝缘体转变点的标度性。 由上面的 方程, 我们可以导出自由能密度的标度形式 f s W| U - U c | 2- Af L/ U z | U - Uc | M ( 90) 从这个表达式 我们可以知道压缩率具 体的标度行图9 从电阻率测量得到的 BaVS3 的 P2T 相图。 线是 实 金属 2 绝缘体的相界; 虚线是前 兆区的边界。 两个 黑条标志 非 F ermi 液 体区的 范围, 其电阻 率在 温 度为 1 K < T < 40 K 时满足 $Q~ T n ( n = 1. 221. 3) 。 引自文献[ 35] 为, J W| g | 。 事实上, Mot t 绝缘体有两个基本性 质, 即绝缘性和不可压缩性。 特别地, 不可压缩性是 Mot t 绝缘体显著区别于 Ander son 局域化绝缘体的 性质。 对于 Anderson 局域化绝缘体, 它的压缩率一 般不为零, 这是因为局域在杂质周围的非相干态对 压缩率的贡献。 对于 Mot t 绝缘体相, 电荷压缩率为 零, 但是对于金属相则不为零。 - A 从微观上来看, 关联驱动金属 2 绝缘体转变的 340 物 理 学 进 展 第 29 卷 在文献[ 9] 的 k 19. 4. 3 中引入的 Gut zwiller 变 分法是研究关联驱动的金属 2 绝缘体转变的有效方 法。 原始分析请见文献[ 38] 。 对比于 Gutzwiller 近似 下求得的基态能量, 我们发现 A= 0。 进一步的分析 可以获得关联长度指数 M 1/ 2 以及动力学指数 z = = 1。 从计算来看很清楚地有, 维度在 Gut zwiller 方 法中不起作用。 这表明, 这种方法代表了关联驱动的 Mott 转变的平均场解。 当把 Gut zwiller 代数代入到 量子超标度关系 A+ Md + z) = 2 中时, 我们可以发 ( 现 d = d c = 3。 对于关联驱动的 Mot t 绝缘体转变来 说, d c 是上临界维数, 超过 d c 时, Gutzwiller 方法就 给出了这个现象的正确描述。 在相互作用系统中, 存在两类金属 2 绝缘体转 变。 一类是源自 H amilton 量中参量的竞争, 称为关 联驱动的金属 2 绝缘体转变, 如本节前面所介绍的; 另一类是密度驱动的转变, 它是通过改变载流子数 目或化学势来实现的, 就如 k 3. 1 中研究过的那样。 这两类相变存在于同一个系统中一般也是可能的, 如图 10 所示。 t 绝缘转变可以通过在固定 n = 1 Mot 情况下改变 U/ Uc 来实现, 或当 U > U c 时改变化学 势来实现。 这些相变不一定属于相同的普适类, 即它 们可以被拥有不同临界指数的不同不动点所决定。 对于密度驱动的 Mott 转变, 临界行为可以表示为 gc W L- Lc ( U) , 相应的临界自由能的奇异部分通过 f s W| gc | 2 2- A c L 1 1 1 - Uc = ? U 2 2 U 1/ 2 ( 91) 这里再一次看到临界指数 A = 0, M= 1/ 2, 但是 z = c c 2。从 标 度 分 析 可 以 很 容 易 地 论 证, 对 于 这 个 Gut zwiller 方法下的密度驱动转变, 上临界指数应 为 d c = 2。 这进一步说明了 Gut zwiller 解就是 Mot t 转变的平均场结果。 新的临界指数说明了固定密度 和固定 U 的相变属于不同的普适类是可能的 [ 40] 。 4 一些块体材料的量子临界性质根据上面的讨论我们知道, 量子临界点是一个 处在零温的不动点。 初看上去, 对于作为相图中这样 一个特殊点的研究似乎是一个不值得特别重视的问 题, 只会引起少数专家的兴趣, 因为有关的相变只发 生在实验条件不可能达到的绝对零度。 然而在过去 数十年中, 理论上和实验上的发展已经表明, 上述观 点是不对的。 可以明确地说, 这种零温量子临界点的 存在是解决许多悬而未决的凝聚态物质系统问题的 关键。 进一步说, 如同在 k 2. 4 中已经分析过的, 虽 然物质不能到达位于绝对零度的量子临界点, 但在 到达量子临界点之前就已经出现许多明显的效应。 因此, 理论上考虑的一个抽象的零温量子临界点的 存在性能显著地改变实际的有限温时材料的性质。 重要的例子包括重电子化合物、 高温超导体、 稀土磁 性绝缘体和二维电子气。 量子临界现象的理论已经 成功地应用于这些材料性质的研究。 我们将限于讨 论一些典型并且重要的凝聚态物质系统中的量子临 界现象。 4. 1 重电子化合物 在文献[ 9] 的 k 13. 3. 4 中曾经介绍过, 重电子 化合物与不稳定的 f 壳层元素如 Ce、 和 Np 相联 U 系。 从考虑重电子化合物的物理性质接近量子临界 点并用标度理 论来描述的假设中可以 获得许多启 发[ 4 1] 。 在这些材料中, f 电子的行为介于局域态和离 域态之间。 然而在某个特征温度 T * 之下, 这些化合 物仍具有 Fermi 液体的行为, 如与温度无关的磁化 系数即 P auli 磁化系数 V 比热和温度间的线性关系 , C W mT T , 以及平方的电阻率 2 温度关系 Q = Q + 0 AT 2 。 当然, 电子的强相互关联显著地修正了 F er mi 液体参量。 实际上, 在 T n T * 定义了临界指数 A 这类似于( 70) 式。 c, 对 - A c 于密 度驱 动 的转 变, 压 缩率 的 奇 异部 分 有 Js W 5 f s / 5 L W| gc | c 2 。 另外, 标记相变边界的临界化 学势 L 依赖于在位 Coulomb 能 U。 在图 10 中, 限制 不可压缩 Mot t 绝缘相的相边界由下式决定 图 10 Gutzwiller 近似下半满 Hubba rd 模型的零温相 图。 同时标明了 n = 1 可公 度固定密 度和密 度 驱动的金属 2 绝缘 体转变。 前者的化 学势固 定 在 L = U/ 2, 相当于 Coulomb 排斥增加时, n = 1; 后者 的 U 是 固定的, 但 电子的 密度在 改变。 引自文献[ 39] 时, 参量 V mT , 和 A , 被强烈地重正化。 例如, 相比于简单金属, 在重电子 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 341 * 材料中, 准粒子的热有效质量 mT 比自由电子的质 量大 到 2 至 3 个 数 量 级。重 电 子 也 被 称 作 重 Fermi 子。 重电子的物理性质主要受到 RKKY 相互作用 和 Kondo 效应之间竞争的控制。 RKKY 相互作用有 利于磁性基态的出现( 参阅文献[ 9] 中 k 13. 3. 2) , 而 Kondon 效应则产生屏蔽的局域矩( 参阅文献[ 9] 中 k 13. 3. 3) 。 述 重电 子 系统 物 理 性质 的 基 本 描 H amilt on 量正是考虑了 RKKY 和 Kondo 相互作用 的 Kondo 晶格 H amilton 量, 可以由 kR 理地把特 征 温度 T 的, 即 * 和 相干 温 度 T coh 视 作等 同 M z T = T coh = | g | ( 94) 一些 Fermi 液体的行为可以通过分析标度函数 来显示, 特别是接近量子相变点时出现的增强因子。 当 H = h = 0, 自由能密度的奇异部分可以写为 T f s W| g | 2- AF ( 95) T coh 因为在特征温度 T ( 或 T coh ) 处标志着 F ermi 液体 区的开始, 这意味着 T n T coh 时, 标度函数 F ( x) 可 以进行级数展开, 而且对于 F er mi 液体展开为 x = ( T / T coh ) 的偶次幂是适当的。 结果是 f s ( T n T coh ) U| g | + T T coh 4 2- A * HK LM = EE c ? kR kR kR c - J Es i i # Si ( 92) 给出。 其中右边第一项描述了传导电子的能带性质, 包括自旋 R以及带宽 B, 第二项描述了这些电子的 磁矩 si 和处在规则晶格的座位 i 上的 f 电子的局域 磁矩 Si 之间的相互作用。 在零温下, 交换参量 J 和带 宽 B 之间的比值是决定系统物理性质的主导因素。 考虑系统存在某个临界值( J / B) c , 我们可以区分两 种情况, 当( J / B) < ( J / B) c 时, RKKY 相互作用占 主导地位并且基态是磁性的, 一般是反铁磁的; 但是 如果( J / B) > ( J / B) c , Kondo 相互作用占主导地位 并且基态是非磁性的。 两种状态之间的转变出现在 T = 0, ( J / B) = ( J / B) c 。 这是一个从具有交错磁化 强度 m s X 0 的反铁磁性的基态, 到一个 ms = 0 的非 磁性状态的转变。 这个相变是二级的, 其零温序参量 ms 在量子临界点按 m s W| g | B 连续趋于零, 这里 g = ( J / B) - ( J / B) c 测量了系统离开量子临界点的 距离, 而 B是临界指数。 在类似于图 4( 用 J / B 代替 #/ J ) 的相图上满足( J / B) < ( J / B) c , 即显 示有限 温临界行为的一侧, 有一条二级相变线, 它联结了具 有给定比率 J / B 时的 Ne? 温度。 l 这条线按 T N = | g | 消失在量子临界点, 其中 W 是移动指数, 如 k 2. 4 所定义的。 基于量子临界点的存在, 我们能够按照标度形 式构造自由能密度 f s W 1+ T T coh 2 + , ( 96) ( 97) 从展开式( 96) , 我们可以得到比热 ( C/ T W5 2 f s / 5T 2 U| g | Md- z) 这里利用了量子超标度律。 z > d 的情况, 当系统 对 接近量子相变点时, 准粒子的热质量 mT W C/ T 将 会增加。 事实上, 更精确的解释需要考虑更为复杂的 情况并利用重电子的微观模型来处理。 即使如此, 这 仍然是一个令人振奋的结果, 因为我们可以通过量 子相变的临界 指数来给出多粒子系统 质量增大的 因素。 为了从 F ermi 液体中得到均匀的磁化系数的表 述, 我 们仅需 考虑当 T = 0 时 的自 由能 密度。 从 f s ( T = 0) W| g | F ( H / H c ) , 我们可以得到 V W ( 5 2 f / 5H 2 ) H = 0 W| g | 2- A 2<H ( 98) 当系统趋近量子临界点时, 上面这个式子在 2- A2<H < 0 时导致磁化系数也是增强的。 电阻率因为不是一个热力学量, 我们无法像比 热和磁化系数那样得到它的标度行为。 无论如何, 我 们期望, 从系统的热力学 量确定的特征温度, 也给 F er mi 液体区的电阻率 2温度依赖性建立了尺度。 特 别是对于占主要地位的低温贡献, 我们可以设想依 然有 Q= Q + a( T / T coh ) 2 , 于是温度系数为 0 2 A W T -coh = | g | 2M z 2- A W| g | 2- AF T h H , + , T coh | g | B C H c ( 93) ( 99) 这里 F ( x, y, z) 是一个标度函数, 依赖于温度 T 、 共 轭于序参量的交错磁场 h 和均匀外场 H 。 相干温度 T coh = | g | M z 重电子系统接近量子临界点并且这种邻近性决 定了它们的物理行为。 这一观点为我们研究这些系 统提供了新的视角, 同时也为理解和探测存在强关 联作用的材料的性质提供了新的图像。 标度理论对 于确立各个临界指数之间的关系至关重要, 但是它 并不能确定临界指数的值。 为了获得决定材料物理 是在相图非临界一侧的渡越温度, 而特 征均匀场满足 H c = | g | <H , <H 是一个独立的临界指 数。 零温临界指数 A B C、 和 z 服从标度律 A+ 2B+ 、、 M C= 2 和量子超标度律 A Md + z) = 2。 + ( 我们可以合 342 物 理 学 进 展 第 29 卷 性质的量子临界点的普适类, 必须研究微观理论, 如 求解 Kondo 晶格模型[ 42] 。 对微观理论的结果也有进 一步实验测量上的支持[ 43] 。 我们可以通过实验获得 的临界指数建立标度律。 为了获得重电子化合物的临界指数, 实验一般 测量( J / B) 对体积 V( 也相当于压强 P ) 的 依赖关 系。 对应于( J / B) = ( J / B) c 定义临界体积 Vc , 同时 考虑当 V 接近 Vc 时, 一个物理量 Q 满足关系 Q( P ) = c | V- Vc | , 其中 c 是常数, V 是压强 P 下的体 积。 取一个参考压强 P 0 , 我们得到 V - Vc - x Q( P ) = ( 100) V0 - V c Q( P 0 ) 定义 T = V0 - Vc 和 $V = V- V0 , 后者对应于压强 0 改变 $P = P - P 0 。 对于足够小的 $V 或者压强偏离 参考值不大的情况, 可以得到 ln Q( P ) Q( P 0 ) D xJ 0 ( V0 / T ) $P 0 ( 101) 图 11 位于或低于特征温度 T coh 时, 三个不 同重电子 材料的 几个物 理量 Q 的 半对数 约化量 作为压 强的函数。 线旁 边的 数字是 它们 的斜 度。 直 引 自文献[ 44] - x 其中 V0 / T = A ( A - 1) , A = V0 / V c , 而 J0 = (0 V V V 1/ V) 5V/ 5P 是压缩率。 我们注意到( 101) 式中 $P 的 前面的系数与临界指数 x 相关, 它与物理量 Q 相联 系。在 重 电 子 材 料 如 CeRu2 Si2 、 CeAl3 、 t3 中, UP ( 101) 式对于 F ermi 液体机制下的物理量的有效性 已经得到的证实, 如图 11 所示。 图上显示的数据是 在压强变化时, 热质量的 比值 mT ( P 0 ) / mT ( P ) , 其 - z 中 mT W| g | 2- A 2M ; 零场磁化系数 V P 0 ) / V P ) , 其 ( ( 已经成 为大量近 来研究的 目标。 实验 上发现 的非 F er mi 液体行为一般出现在相图中的磁有序相, 这 表示这些系统的非 F ermi 液体态可能跟零温下的磁 不稳定性相关。 过去几年对重电子化合物的研究已经取得了大 量的进展[ 45] 。 量子临界性的方案已经成为一种有效 的途径, 来揭示这些系统中大量意外的特征。 许多系 统都发现具有量子临界性。 我们还应当注意到, 通过 实验得到的结果与以上基本线索是一致的, 但同理 论预测还存在着某些重大差异。 4. 2 欠掺杂铜氧化物 虽然常规超导体中也存在着许多量子相变的例 子 , 这里主要关心铜氧化物超导体 。 我们在文 献[ 9] 的 k 13. 3. 3 中介绍过铜氧化物超导体, 同时 在 k 18. 3. 3 和 k 18. 3. 4 中还分析了它们的超导电 性。 铜氧化物是显示以载流子掺杂导致从 Mot t 绝缘 相到 d 波超导相转变的一个典型例子。 从显示在图 12 中的铜氧化物超导体的一般相图, 我们期望两个 量子临界点: 一个在欠掺杂极限, 材料将在 x u 点经 历一个绝缘体2 超导体相变, 另一个在过掺杂极限 x o 发生超导体2 正常导体的转变。 这两个相变都是 由掺杂驱动的。 我们现 在考 虑 欠 掺 杂极 限 附 近 电 阻 率的 行 [ 4 6] [ 47] 中 VW| g | 2- A 2< M z H ; 相干温度 T coh ( P ) / T coh ( P 0 ) , 其中 T coh = | g | ; 磁 场 H c ( P ) / H c ( P 0 ) , 其 中 H c = | g | <H 和平方根系数[ A( P 0 ) / A( P ) ] 1/ 2 。 对于某一给定的材料, 图 11 显示不同数据塌缩 到一条直线上, 这样我们就可以很容易地得到临界 指数间的关系 2- A= M z 和 < = M z H ( 102) ( 103) coh 同时, 它显示电阻率的 T 项的标度由 T coh - 2 2 确定, 所 以 A WT 。 对于三维重电子化合物来说, ( 102) 式所示的结果是独特的, 因为它违反了超标度关系 2- A= M d+ z) 。 ( 注意到由实验数据得到的关系式 2 - A= M 给出的 Euclid 维数是 d = 0, 这相当于暗示 z 了某种局部的行为。 当强关联化合物沿着量子临界 线 | g | = 0 接近反铁磁量子临界点时, 参见图 4, 物 理量 V T ) , C( T ) / T 和 Q( T ) 与温度的关系呈现反 ( 常的非 Fermi 液体的形式。 它的起源以及理论描述 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 343 图 12 [ 48] 铜氧 化物的示意性相图 为 。 13 显 示 了 测 量 得 到 的 Zn 替 代 Cu 的 图 YBa 2 Cu3 O7- x 和 La 2- x Sr 2 CuO4 的面内电阻率与温度 的关系。 可见在欠掺杂材料中, Zn 替代降低了绝缘 体2 超导体转变温度直至零。 在 CuO 2 面内是无磁 Zn 性的杂质, 有填满的 d 壳层, 并且被认为对载流子有 强烈的势散射, 因此可用作一个有效探针来细致研 究掺杂后电子态的演变。 实验证实, Zn 诱导的剩余 电阻率随空穴浓度而变化, 并且由于在低掺杂区有 很大的剩余电阻率, 二维的绝缘体 2 超导体转变容 易发生。 图 13 中的电阻率数据可被解释为在零温剩余 电阻率之上的线性温度依赖性, 其表达式为 QU Q + A 0 T ( 104) 因为 Q 由 YBa 2 Cu3 O7- x 和 La 2- x Sr 2 CuO4 中的 Zn 浓 0 度来度量, 自然地可用剩余电阻率作为一个控制参 量。 根据电导率的标度理论, 电阻率可以被写成标度 形式为 Q g, T ) = N ( g= 2 d- 2 图 13 Zn 替代 Cu 的欠掺杂 YBa2 Cu3 O 7- x 和 La2- x Sr2 CuO 4 的面内电阻率与温 度的关系。 引自文献[ 49] 表达式( 107) 告诉我们, T c 随剩余电阻率的增 加而降低, 如图 14 所示的归一化的临界温度 T c / T c0 与测量的薄膜面内剩余电阻率的关系曲线。 c0 是未 T 掺 Zn 化合物的相变温度。 显见欠掺杂系统的实验数 据为近线性关系( M U 1) 。 z 因此, 在靠近欠掺杂极限 处, 这些测量提供了 d = 2时量子绝缘体 2 超导体转 变相当确凿的证据。 关于欠掺杂极限的比热和穿透 深度的更多讨论可以给出 d = 2 时, 动力学临界指 数 z = 1。 作为对比, 在较高掺杂的材料( x = 0. 2 的 La 2- x Sr2 CuO 4 和 x = 0. 07, x = 0. 12, x = 0. 17 的 YBa2 Cu 3 O 7- x ) 中显著的偏离线性行为表明, 事实上 高掺杂的化合物不再是准二维的, 不再能得到普适 的行为。 显而易见, 采用剩余电阻率作为适当的控制 参量来表征掺杂和无序驱动的绝缘体 2 超导体转变 是合理的。 除了电荷掺杂, 在 T = 0 时, 铜氧化物还有其它 的控制绝缘体 2 超导体转变的调节参量, 比如无序性 强度、 薄膜厚度和磁场。 事实上, 如果系统离相变点足 够地近, 或 许采 用哪 一个作 为调 节参 量都 是可行 的[ 46] 。 但应当注意的是, 在零磁场时对适当的控制参 量的确认仍是一个微妙的问题。 十分明显, 掺杂不仅 跟迁移载流子的密度有关, 而且会引起在欠掺杂极限 h cg F 1/M z 4e 2 T ( 105) Q - Q 0c 0 Q 0c 其中 h/ 4e 是来源于 Cooper 对的量子电阻率, c是非 普适的常数, N是通常 的空间关 联长度, 并标度 为 | g| 。 从实验事实可知, 有效质量各向异性参量 C = ( m L / m + ) 1/ 2 在欠掺杂极限附近显著地增大, 故 可以认为, 在欠掺杂极限下发生的是近二维 XY 临 界现象。 从而当 d = 2 时, 薄膜面内剩余电阻率为 Q - Q 0c 0 Q = h2 F ab z Q T 1/ M 0c 4e 0c 0 h Q - Q = F T 0c 4e2 Q - M z - M ( 106) M z 临界温度的标度形式为 kBT c = c | g | M z Q - Q 0c 0 = c Q 0c ( 107) 344 物 理 学 进 展 第 29 卷 相变现象。 其相变行为更 为复杂, 因为在电子系统 中, 磁化强度往往耦合于附加的非临界的软模。 这一 附加的软模可以导致有效的长程互作用, 从而改变 相变的特征, 使相变从具有平均场临界指数的连续 性相变转变到具有不平常临界行为的连续性相变或 者甚至是一级相变。 MnSi 合金系统中压力控制的相变是实验上研 究巡游电 子的铁 磁性量 子相 变最 为典 型的例 子。 MnSi 属于弱巡游铁磁性 材料, 另一个 典型材料是图 14 归一化临界温度与薄膜 面内剩 余电阻 率的关 系曲 线。 c0 是 未 掺 Zn 化 合 物 的 相 变 温 度。引 自 文 T 献[ 49] ZrZn2 ( 参见文献[ 9] 中 k 17. 3. 3) 。 这些金属的基态 接近于铁磁不稳定性, 从而使它们成为实现铁磁量 子相变的理想选择, 相变可以通过改变化学成分或 者增加压强来实现。 16 显示的是 MnSi 的实验测 图 量结果。 下二维向三维的渡越。 另外, 掺杂还会造成无序。 在过掺杂极限, 大致可以确认, 存在一个可以用 平均场描述的超导体 2 正常导体量子相变。 这时标 度性质可以由在固定的载流子浓度下互作用驱动相 变的 Bardeen2Cooper2Schrieffer 途径给出。 理论上, 这种相变表征为 T c W ( x o - x) , M = 1/ 2 z ( 108) 这种在过掺杂极限向平均场行为的过渡, 伴随着涨 落的减小, 表现出和实验的一致性, 如图 15 所示。 M z 图 16 从磁化系数( 黑方块) 和电阻率 ( 黑 点) 测量 得到的 M nSi 合 金的 温 度 2 压 强 关 系的 相 图。内 嵌 图 解 释 了 在 二 级 和 一 级 机 制 下 图 15 块材 La2- x Srx CuO4 的 T c 作为 x 的关系曲线。 实 线代表 M = 1 的欠掺杂场合下量子相变的渐近 z 行为; 而 虚 线代 表 当 T c = 53[ ( 0. 28 - x) / 0. 28] 1/ 2 时 M = 1/ 2 的过掺杂情况。 z 引自文 献[ 48] V( T ) 行为的差别 。 引自文献[ 51] 在零温的条件下, 通过调节控制参量实现金属 或者绝缘体从顺磁到磁有序态的转变, 这在理论上 已是一个老的话题。 在文献[ 9] 中的 k 17. 3. 2 介绍 了关于巡游电子铁磁性的经典 Stoner 理论, 它的控 制参量为 X = Jg ( E F ) , 其中 J 代表巡游电子的交换 积分, g ( E F ) 是 F ermi 能级处各自旋方向上电子的 态密度。 我们将从一个微观模型出发, 经过简单的推 导来分析巡游铁磁相变的量子临界行为[ 52~ 54] 。 在用有效场方法处理巡游铁磁体时, 一般选择 一个合适的序参量, 而其它所有自由度都被求和消 与铜氧化物相对照, 可以期望, 另一种重要的掺 杂 Mott 绝缘体, 即锰氧化物, 同样能表现出量子临 界 性。 一 个 很 有 可 能 的 例 子 是 [ 50] ( La1- x Dyx ) 0. 7 Ca0. 3 MnO3 。 实验测量显示, 可能的 量子临界点大约在 x = 0. 347。 4. 3 巡游铁磁体 巡游电子的铁磁性转变是一种十分显著的量子 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 345 掉。 对于一个铁磁体, 与之相关的可观察量就是自旋 密度 n R( x, t ) = W ( x, t) RW x, t) ( * * 十分明显的是, 参考系综没有自发磁化强度, 所 以3nR4 = 0, 配分函数可以展开为 M 的级数, Z 0 = 1+ 2J 2 dxdyM( x) M( y)3n R( x) nR( y) 40 + , 4 ( 109) 这里 W 和 W 是与空间和虚时有关的场, R是 Pauli 矩 阵。 相关的电子 2 电子相互作用是自旋密度涨落间 的自旋三重态相互作用, 其作用量可以被写作 Sint = J dx Q ( 119) QQ 0 1/ k T B dtn R( x, t) # n R( x, t) ( 110) 这里 O( M ) 和 更 高 阶 的 项 没 有 列 出 来。通 过 F ourier 变 换, 我 们 可 以 改 写 Landau2Ginzburg2W ilson 泛函为 F [ M] = 1 V 系统的完整的作用量是 S = S0 + Sint ( 111) 这里 S0 包含了除 Sint 之外的所有作用量, 即除自旋 三重态作用外的描述自由电子的项和其它的电子 2 电子之间互作用项。 一个由作用量 S0 描述的虚拟系 统被考虑成参考系综, 于是配分函数可写成 Z= ( x, t) 。 通过引进一个辅助的经典场 M( x) , 可以将 S int 项脱耦, 而 e 为 S int E T E M( q, X) [ 1 q X {q, X } J VR( q, X ] ) @M(- q, X + ) Eu 4 ( {q, X M ( q, X + , }) ) ( 120) 4 其中 q = | q | ; 而 V ( q, X = 3nR( q, X n R(- q, - X)4 0 ( 121) R ) ) 作为两点自旋密度关联函数的 F ourier 变换, 也就是 动力学自旋磁化系数; 还有 u 4 = 3nRn Rn Rn R4 0 ( 122) 是相应的四点函数, 对稳定 Gauss 不动点非常重要, 但在这里不作具体研究。 在目前的例子中, 自旋磁化率是关键的。 在低频 率和小波数情况下, 它可以被写为 Dq 2 R 0 V ( q, X = V ( q) ) | X| + Dq 2 Q D[ W , We ] * S [ W , W J dxn ( x) #n ( x) ] 0 R R * eQ ( 112) 这里为了简单, 我们采用了一个四维矢量符号 x S 近似为 Gauss 积分, 因此配分函数成 Z= Q * D[ W , We ] 2 * S [W , W ] 0 Q R D[ M] ( 113) 从这开始, 也是为简单起见, 自旋密度本身的矢量性 被忽略。 通过交换 M 和W的积分, 以及形式上对后者 的积分, 可得到 Z= 这里 Z 0 [ M] = @e Q - J dxM ( x) + 2J dxM ( x) n ( x) Q ( 123) 这里的 D 是扩散系数, V 是静态自旋磁化率, 并且 0 两者都在参考系综内。 为了达到临界值, 频率必须在 波数前趋于零。 因此, 在临界点我们有 | X| + , V ( q, X = V ( q) 1R ) 0 2 Dq 对于 d > 2 且小 q 情况下, V ( q) 为 0 V ( q) = c0 - cd- 2 qd- 2 - c2 q2 0 ( 124) ( 125) Q Q - J dxM D[ M] e Q 2 ( x) Z0 [ M] ( 114) D[ W , We ] * S [ W , W+ 2J dxM ( x) n ( x) ] 0 R * Q ( 115) 这里的 ci 是正的常数。 对于 d < 2, 电子是局域的, 需 要另外的理论来处理。 Landau2Ginzburg2Wilson 泛 函 现在 具 有 如 下 形式 F [ M] = 1 V 作为在正比于 M( x) 的外/ 磁场0 中的参考系综的配 分函数。 实际上, M( x) 可以被看作序参量算符, 其 期望值是磁化强度。 习 惯 上 定 义 Landau2Ginzburg2Wilson 泛 函 F [ M] , F [ M] = J dxM ( x) - lnZ 0 [ M] 其中 R Z0 [ M] = 3e Q 40 ( 117) 这里3 , 4 0 表示相对于参考系综作用量 S0 取平均 E T E M( q, X) q X Q 2 ( 116) d- 2 2 | X| @ g0 + q + q + 2 q @M(- q, X) + O( M 4 ) ( 126) 2J dxM ( x) n ( x) 这里我们忽略了所有展开项的前因子, 因为它们在 随后的讨论中不重要。 对于 g 0 有 g 0 = 1 - J V0 ( q = 0) ( 127) 值, 而配分函数可以表示成形式 Z= Q D[ M] e - F [ M] ( 118) 它度量了离开临界 点的裸距离。 我们可以将( 127) 式看作是对于巡游铁磁体的推广的 St oner 判据。 346 物 理 学 进 展 第 29 卷 现在 我 们 用 重 正 化 群 理 论 来 分 析 Landau2Ginzburg2Wilson 泛函。 空间维数被限制在 2 < d < 4, 于是 q 项比解析的 q 项起更重要的作 用。 Gauss 近似下, 临界序参量关联函数的行为是 在 G( q, X = 3| M( q, X | 2 4 ) ) 1 = ( 128) g + qd- 2 + q2 + X q2 / 在这个表达式中, 我们假定了所有非相关量都将重 正化( 127) 式中的 g 0 到实际的离开临界点 的距离 g。 在不动点 g = 0 处, G 的波数依赖性由指数 G来表 征, 这样临界关联函数为 G( q, X= 0) g= 0 W q2因此我们有 d d- 2 2 能提供一个新的并且更简单的方法来理解量子相变 和量子临界现象。 这里我们将通过研究量子点、 碳纳 米管和单层石墨来分析这种可能性。 5. 1 量子点中的单重态 2 三重态转变 由于可以通过磁场或电场来调控, 以及电子受 到纳米尺寸的限制, 量子点看起来是研究量子相变 的理想器件, 特别是具有相对较高的能量尺度允许 有趣的量子现 象可以在容易达到的温 度下进行观 测。 理论上对于两个量子点和三个量子点系统的量 子相变和量子临界现象也已经被研究[ 55, 56] , 但这里 我们只考虑单个量子点的一种简单的情形。 在一个半导体量子点中, 在高磁场条件下已经 观测到一种强烈而不寻常的 Kondo 效应 [ 57] 。 这个实 验结果可以采用耦合到两个单通道引线的一个量子 点中的两个单粒子态能级得到合理的解释, 如图 17 所示。 当量子点处在基态时, 自旋组态和单重态 2 三 重态转变之间会有强烈的耦合。 在相变点上, 低温电 导率接近 2e2 / h, 即所谓的幺正极限。 在偏离相变点 而且低偏压和温度的情况下, 电导率明显地减小。 量子相变对于实验结果给出了一种可能的理论 解释 。 假定通过量子点的电子输运非常接近于 单重态 2 三重态简并, 引入二能级系统的 A nderson 杂质模型, 系统的 H amilt on 量表示为 H = HL + HR + HD + HT 其中左通道( L) 和右通道( R) 的贡献是 HL( R) = L( R) k [ 58, 59] S q- 2+ G ( 129) G= 4- d ( 130) 在零频率和零波矢处, 关联函数 G 决定了零场磁化 率 V , 因此对于 Gauss 不动点可以求得指数 C, m V ~ G( q = 0, X= 0) W g- 1 S g- C ( 131) m 所以我们有 C= 1 ( 132) 在 Landau2Ginzburg2Wilson 泛函中, qd- 2 和 g 项都 是无量纲的, 这给出 ( g ~ qd- 2 ~ Nd- 2) S N 1/M ( 133) 从这个表达式, 关联长度指数 M 就可以确定为 M 1/ ( d - 2) = ( 134) 最后, 在这样一个 Gauss 不动点处, 频率和波数的标 度关系为 X Wq2 g S qz , 从而动力学临界指数 z 有关 z 2 系 N ~ N / g, 即 z= d ( 135) 以上所有的结果明显地只对 2< d < 4成立。 d [ 对 2, 在参考系综中电子是局域化, 上面的理论不成立; 当 d > 4 时, q 项比 q 项更起主导作用, 所以平均 场指数是合理的, 即 G= 0、 = 4、 1 和 M 1/ 2。 z C= = 在 F 中对四次项的分析可以产生状态方程, 于 是得到序参量本身的临界行为, 也就是临界指数 B 和 D 其结果是, 对于 2 < d < 6, 。 B= 2/ ( d - 2) , D= d/ 2 ( 136) 2 d- 2 ( 137) ( 138) EE L( R) k a ? R) kRa L( R) kR L( 量子点和通道之间的隧穿表示为 HT = E (V A knR A n a ?d nR + H . c. ) kR ( 139) 这里 A= L, R, 而 n = 1, 2 标记两个能级, 为了简单 起见, 四个隧穿矩阵元取为对称的并且完全一样的, 也就是说 VA = V。 amilton 量中最重要的贡献来 n H 自于被隔离的量子点的贡献, 其形式为 HD = 而对所有 d > 6, 这些指数分别取它们各自的平均场 值 B= 1/ 2 和 D= 3。 通过对高阶项的分析, 我们除了 d = 4 之外的上临界指数, 又可确定 d = 6 作为另一 个上临界维数。 EE nR nR dn d ?d nR - JS 1 S2 + E C ( N - N 0 ) 2 nR ( 140) 其中 N = Ed ? nR d nR 是占据量子点的所有电子的数 ? nR 目, Sn = ( 1/ 2) Ed Rc R RRRc d nRc 是两 个能级的 电子自 5 低维结构中的量子相变和临界性比起电子行为非常复杂的体材料, 低维结构可 旋。 C 和 J 分别代表荷电能和交换耦合作用。 E 通过 调整栅极电压, 选择 N 0 = 2 来获得量子点的双重占 据。 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 347 众多不同的碳纳米管在金属和半导体之间的变化依 赖于其结构, 比如直径的大小和螺旋性的排布。 纳米 管中的电子态可以通过利用周期性边界条件 Wr + ( L) = W r) 来获得, 其中 L 是手征矢量, | L | = L 就 ( 是周长。 当不存在磁场时, 环绕圆周方向 x 的波函数 Wx) 由正比于平面波 exp( ik L x) 的形式给出。 ( 周期图 17 一个二能级 量子点 和两 个单通 道引 线之 间的 耦合 性边界条件导致量子化的波矢, k L ( n) = 2P n L 的手征性。 用因子 exp( ik + y) 来标记轴向 y 的波函数, 可 以推导出一维的能带, E ? n ( k) = ? C k2+ + k2L ( n) ( 142) 这里 C是一个耦合常数, 最低导带和最高价带的能 量分别由 C| k L ( 0) | 和- C| k L ( 0) | 给出。 M 在 = 0 条件下, 带隙消失, 系统是金属性的。 除了 n = 0 的 情况, 每个能带都是二重简并的。 另一方面, 当满足 M ? 1 时, 系统是半导体性的, 能谱有一个最小带 = 隙 E g = 4PC/ 3L, 与纳米管的直径成反比。 在紧束缚 模型中, C= 3 | V | a 0 / 2, 其中 V U- 3. 03 eV 是近 邻的 P 轨道上的转移积分, a 0 U 2. 46! 是次近邻格 点之间的间距。 对于周长 L = 602800! , 很容易估算 出 E g = 0. 4520. 034 eV。 由于纳米管的能量结构来自于周期性边界条件 下波函数 的相位, AB 磁 通将提 供额外 的相移。 因 此, 当存在磁场时, k L ( n) 修正为 k L ( n, <) = 2P n L M+ < 3 <0 ( 143) M 3 ( 141) 能量 E 从而能级间距 $E = E - E 是由外磁 dn d1 d2 场来调控的。 通常情况下, 量子点内的交换作用是铁 磁性的, 即 J > 0。 和J 的相对大小控制着单重态 $E 2 三重态之间的转变。 通过外加磁场来调节能级间 距可以产生基态下的单重态 2 三重态转变。 运用数 值重正化群方法, 可以获得线性电导率和态密度的 精确结果。 利用接近简并点的一个指数小的能量尺 * 度 T , 可以验证一个新的量子相变。 在转变的三重 态的一侧, 电导率随着 T 的降低而增大到幺正极限。 在单重态的一侧, 电导率显示出作为温度函数的非 单调性变化, 在极低温下变得很小。 在一个零磁场条件下的单分子量子点上, 简单 地调节栅极电压同样可以引起两种不同自旋电子态 的叠加, 即单重态和三重态。 这种电控制量子相变已 [ 60] 见诸报道 。 两种不同 Kondo 机制的量子磁相变是 可以通过调节栅极电压来得到的。 量子点上的电子 自旋被金属电极部分地屏蔽掉了。 这种量子点和金 属通道之间的耦合提供了观测量子临界行为所必须 的强电子关联。 5. 2 碳纳米管中的金属 2 半导体转变 其中 n = 0 ? 1, ? 2, , , 而 M 0, ? 1 依赖于纳米管 = 碳纳米管的电子态是与文献[ 9] 中 k 2. 2. 4 和 k 14. 3. 2 所描述的手征性相关的。 约有三分之二的 纳米管是半导体, 剩下的三分之一是金属。 由于纳米 管 是 一 个 中 空 圆 柱 体, 磁 场 可 以 通 过 Aharonov 2Bohm( AB) 效应发挥作用( 见文献[ 9] 中 k 10. 3. 2) 。 这是一种量子现象, 就是随着电子绕封 闭一个磁通的纳米管表面运动, 电子波函数获得一 个相移。 这个相移将改变电子的干涉方式, 因此会影 响到纳米管的电子性质。 这种简单而有效地改变碳 纳米管电子性质的方式在纳米管被发现的初期已被 详细分析过 。 一个碳纳米管的能带结构可以从单层 石墨出 发, 利用 k # p 方法( 见文献[ 9] k 12. 1. 4) 计算出来。 [ 61] 其中 < 代表通过纳米管的磁通量, <0 = hc / e 是磁通 量子。 带隙以 <0 为周期在 0 和 2PC/ L 之间振荡。 当周 长为 602800! 时, 磁场大小位于 1 40028 T 之间。 AB 效应引起亚微米尺寸的金属和半导体纳米 管的电阻率随所加外磁场的大小振荡。 这就允许我 们通过改变外加磁场来调节波矢, 从而改变纳米管 的带隙结构, 如图 18 所示。 可以注意到, 每当比率 </ <0 成为一个整数, AB 效应相当于调整一下 n, 所 以能带的调制是磁场的周期函数。 有三个电学和光 学的实验已经证明, 电子态和相应的能带结构变化 可以由磁场来诱导[ 62~ 64] 。 在这种情况下, 我们可以 利用磁场将一个半导体性的纳米管转变为金属性的 纳米管, 或者反过来。 348 物 理 学 进 展 第 29 卷 对 H amilt on 量( 144) 式提供一个有效的途径, 来分 析单层石墨中电和磁的响应作为温度 T 、 载流子密 度 n、 化学势 L和磁场 B 的函数。 具体的可测量物理 d 性质有压缩率 J = 5n/ 5 L, 抗磁磁化率 V , 磁化强度 M( B) , 热容 C, 红外区的电导率 R X 。 ( ) 分析是建立在 如下的事实之上, 那就是当 T = B = L= n = 0 时, 纯净的单层石墨处于量子临 界点上, 如图 19 所显图 18 碳纳 米管轴向的 色散关系。 + 的分 支分别用 E2k 实线和虚线表示。 当轴向磁场 为零时, 存 在简并 的子能带, 但 在 有 限 的 磁 场 时 这 种 简 并 性 被 破坏 示, 并且其附近的性质可以通过标度论证来获得。 虽然自由能密度 f ( T , K L, B) 给标度分析提供 , 了一种有效的途径, 但这里我们根据( 144) 式考虑 低能作用量, 即 ? S = 2 x W( x) ( 5SR0 - iv ? # R) Wx) h r ( 5. 3 单层石墨中的量子临界标度性 Q 一种被 称 为 graphene 的 严 格二 维 石 墨 层 在 2004 年首次被分离出来, 由此吸引了人们极大的关 注 。 作为碳的一种新的存在形式, 单层石墨对基 础物理和实际应用都提供了丰富的机会[ 66] 。 我们这 里关心它的量子临界性质。 尽管单电子处理对于单层石墨中相对论电子的 行为在许多方面可能是合理的, 但是在靠近量子临 界点时, Coulomb 相互作用 可能是至关重要的 。 描述存在 Coulomb 相互作用的二维相对论性 Fermi 子系统的 H amilt on 量为 H= [ 67] [ 65] + e2 2: Q x, xc n xn xc | r - rc | ( 145) 其中 W x) 是一个两分量电子波场, x = ( r , S, s) , 其 ( 中 r 是二维位置矢量, S 是虚时, s = 1, 2, 3, 4 代表格 点和自 旋的 量子 数, 故 ? Q QQ x = dr B 4 s= 1 dS E , 而 B= 0 2/ kB T 。 x = W( x) Wx) 是电子密度。 h n ( 在低阶近似下 的 Kadanoff2Wilson 重 正 化 群 分 析 中, Wx) 的 ( n F ourier 变换产生 Wk) , k = ( k, X , s) , 其中 k 是平面 ( 波矢, 而 X = ( 2n+ 1) kBT / 2 是 Mat subara 频率。 n h 正 如对热临界现象的动量空间处理那样[ 10~ 12] , 我们可 以消除位于 +/ b < | k | < + 的短波模式, 从而得到 一个重正化的作用量。 在这样的低阶近似下, 唯一非 平凡的重正 化是 针对速 度所作 的, 有 v y v( 1 + K logb) 。 了完 成重 正化过 程, 我们 重标 度 F er mi 为 子场 Wk, X s) y Z W( b) Wbk, Z-T 1 ( b) X s) ( 146) ( , ( , 来定义 原始场和 重正化后 的场之 间的 关系, 其中 Z T ( b) = b ( 1+ K logb) 和 Z W( ( b) = bZ T ( b) 。 速度 的增加导致无量纲耦合参量 K的下降。 通过迭代重 正化群变换, 得到 K b) 和 T ( b) 的重正化群方程, ( dK b) = - K ( b) ( 2 dlnb dT ( b) = T ( b) ( 1 - K b) ) ( dlnb 这 些 方 程 通 过 T( b) = K Z T ( b) 来求解。 b 在上面表述的基础上, 我们可以发展关于物理 量一般的标度关系。 例如, 利用重正化, 单位面积的 粒子数目服从 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 E vp i i # R+ 1 2 E iX j e : | ri - rj | 2 ( 144) v D 108 cm/ s 代表电子速度, p i = - i 2 ?i 是动量算 h 符, R( R , R ) 代表蜂窝状晶格结构中两种子晶格的 x y Pauli 矩阵。 电子自旋和元胞中两个不同位置格点将 引起附加的四重简并。 144) 式中, 唯一可以调节 在( 的参量是介电常数:。 对于通常的电子气, ( 144) 中的 第一项用 E p i / 2m 来替代。 正如文献[ 9] 中 k 19. i 2 4. 2 讨论 Wigner 结晶时所指出的那样, 在高电子密 度时动能贡献为主, 然而在低电子密度时, Coulomb 相互作用为主。 但在线性的 Dir ac 谱的场合, 这种状 态发生了根本性变化。 动能和势能的相对重要性对 于所有的密度来说都是相同的, 可以通过无量纲数 2 K= e / 4:v h 来控制。 只是对于 K n 1, Coulomb 相互 作用可以忽略。 使用上面电子速度的值, 有 K D 0. 55/ : 。 对于真空中自由悬挂的单层石墨, KD 0. 55, 很 明显不能忽略 Coulomb 相互作用。 对单层石墨的实验中怎样揭示 Coulomb 相互 作用, 标度分析可以给出许多的预测。 重正化群可以 2 ( 147) Z T ( b) T 和 K b) = ( 第4期 - 2 - 1 - 1 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 北京: 科学出版社, 2005 349 n( T , L, K = b n( Z T ( b) T , Z T L, K b) ) ) ( ( 148) 这样就产生了压缩率的温度依赖性, J (T) = - 1 [ 8] [ 9] 阎守胜. 现代固体物理学导 论. 北京: 北京大 学出 版 社, 2008 冯端, 金国钧. 凝聚态物理学( 上卷) . 北京: 高等教育 出版社, 2003; Fe ng D, Jin G. Intr oduct ion to C on2 de nsed Matter Physics, Singapor e: Wor ld Scientific, 2005 2 P( 2v) 2 h 1+ K h + log v 4kBT ln2 kB T 2 ( 149) 它描述了单层石墨中压缩率的 非平庸的温度 依赖 性。 我们也可以获得依赖于密度的压缩率, n0 P J ( n) = 2v h 1+ K log ( 150) 4| n | 2 | n| 这里参考密度为 n 0 = +2 / P D 3. 8 @1015 cm- 2 。 当取 - 1 [ 10] Cr eswick R J, Fa rach H A, P oole C P J R. I ntroduc2 tion to R enor ma liz ation Gr oup Me thods in Physics, New Yor k: John Wiley Sons, 1992 E= 5. 5, 理论得到的 J- 1 ( n) 和实验测量结果相当吻 合 [ 68] [ 11] Goldenfe ld N. Lectures on P hase Tr ansitions and the R enorm alization Gr oup, New Yor k: Addison2 Wesley, 1992 。 [ 12] Binney J J, Dowrick N J, F ishe r A J, et al . The The2 or y of Cr itical Phenomena, Oxford: Pr ess, 1992 Clare ndon [ 13] [ 14] [ 15] [ 16] Hohenbe rg P G, H alper in B I. Rev . Mod . Phys, 1977, 49: 435 Suzuki M. P rog . Theor . Phys , 1976, 56: 1007 de Gennes P G. Solid Sta te Com mun , 1963, 1: 132 Chakr abar ti B K, Dutta A, Se n P. Quantum I sing Phases a nd Tr ansitions in Tr ansve rse Ising Mode ls, Ber lin: Spr inge r 2Ver lag, 1996 图 19 单层石墨的量子 临界相图, 表示出温度 T 和密度 n( 单位 为 1012 m- 2 ) 的关系。 介电 常数 取真 空状 态的值,: = 1。 量子临界点位于 n = T = 0。 引自 文献[ 67] [ 17] [ 18] [ 19] [ 20] [ 21] [ 22] [ 23] [ 24] [ 25] [ 26] Pf eut y P. Ann . Phys, 1970, 57: 79 Her tz J A. Phys. Rev , 1976, 14: 1165 Bitko D, R osenba um T F, Aeppli G. Phys . Rev . Let t , 1996, 77: 940 Brout R, M? r K A, Thom as H. Solid State Com 2 lle m un , 1966, 4: 507 Phillips P, 95: 107002 Jullien R, Pf euty P, F ie lds J N, et a l . Phys . Rev . B , 1978, 18: 3568 Elliott R J, P feuty P , Wood C. Phys. Rev. Lett , 1970, 25: 443 Young A P. J . Phys . C , 1975, 8: L309 Suzuki M. P rog . Theor . Phys , 1976, 54: 1454 Pf eut y P , Jullien R , Penson K A. in R ea l Spa ce 2 R enor ma liz ation Group, e dited by Burkhar dt T W and van Lee uwe n J M J. Ver la g, 1982 Ber lin: Springer2 Chamon C. Phys. Rev . Let t , 2005, 更多的理论推导可以给出渡越温度 2v T * ( n) = h kB n0 P | n | 1 + K log 2 | n| ( 151) 它决定了电子行为从一个区域 到另一个区域 的转 移。 如图 19 所示, Dir ac 液体和 F ermi 液体区域是通 过虚线标记的渡越温度 T * ( n) 线来区分的。 参考文献 [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] Continentino M A. Phys . Rep , 1994, 239: 179 Sondhi S L, Girvin S M, Car ini J P, et a l . Rev . Mod . Phys , 1997, 69: 315 Sachdev S. Quantum phase tr ansitions, Ca mbr idge: Cambridge Univer sity Pr ess, 1999 Continentino M A. Quantum Scaling in Many2Body Systems, Wor ld Scientific: Singapore , 2002 Vojta M. Rep . Pr og . Phys , 2003, 66: 2069 Shopova D V, Uzunov D I. Phys . Rep , 2003, 379: 1 于渌, 郝 柏林, 陈晓 松. 边缘 奇迹: 相变 和临 界现 象. [ 27] [ 28] [ 29] [ 30] McWhan D B, R ice T M, Schm idt P H . Phys. Rev , 1969, 177: 1063 Continentino M A. Phys. Lett . A , 1995, 197: 417 Continentino M A, Elschner B, Jakob G. Eur ophys. Let t , 1995, 31: 485 Wegner F Z . Phys . 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Yusuf S M, De Ter esa J M, R itter C, et al . Phys . Rev . B, 2006, 74: 144427 Pfleider er C, McMullan G J, Lonzarich G G. Physi2 ca B, 1995, 206 &207: 847 第4期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象 351 QUANTUM PHASE TRANSITION AND QUANTUM CRITICAL PHENOMENA JIN G uo2jun, F ENG Duan ( Nationa l La bor atory of Solid Sta te Micr ostr uct ures and Depa rtment of Physics , Na njing University, Nanjing, 210093, China ) Abstr act: In this pa per we review the quant um phase t ransit ions and quant um cr itical phenomena in condensed2mat ter physics. F irst ly, we consider t he possibilit y of qua nt um effe ct s in phase tr ansit ions, and intr oduce t he basic chara ct erist ics in qua nt um phase t ransit ions via t he Ising model; next, in cont rast to t he t hermal crit ica l phenomena, the fundamenta l concept s and oper at ion method of quant um sca ling and renorma lization are int roduced; aft erwards, by t he scheme of quant um crit ical scaling, we analyze t he densit y2dr iven, disor der2driven and cor relat ion2dr iven met al2insulat or t ransit ions; in t he next st age, we invest igat e complex int eract ing many 2par ticle systems by quant um crit icalit y; f ina lly, t aking quant um dot s, ca rbon nanotubes and graphene as examples, we analyze the role of quantum crit icalit y in the low2 dimensional and nano2size syst ems. Key words: quantum phase t ra nsit ions; quant um crit icalit y; sca ling; renorma liza tion; met al2insulat or tr ansitions; corr elate d elect ron syst ems

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