每一個右括向量 ，都獨特地伴隨一個左括向量 ，這兩個向量都對應於同樣的量子態

来源: 于 2011-09-10 07:15:22 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

量子態

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量子力學
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
不確定性原理
入門、數學表述
查 • 論 • 編 • 歷

在量子力學裏，量子態抽象地設定了一個量子系統的物理狀態。當我們描述一個量子系統時，我們希望能夠既簡易、又明確地描述這個量子系統的各種物理狀態，怎樣從一個物理狀態變換到另外一個物理狀態。量子態的概念可以幫助我們達到這目標。量子態是一個抽象的術語。我們用量子態來表明，一個量子系統的物理狀態。

每一個量子態都可以用存在於希爾伯特空間的態向量來表示。有時候，因為物理作用，一個量子態會變換到另外一個量子態。這過程可以用態向量的數學來表達。物理學家常用狄拉克標記來標記量子態或態向量。量子態或態向量的線性組合可以描述量子態的干涉現象。

目录

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[编辑] 概念

[编辑] 物理狀態

讓我們先從經典力學的一個例子，來探索一個物理系統的狀態與相關概念。試想一個物理系統，裡面有一個質量為 m\,\! 的粒子，自由地移動於一維空間。假設，在時間 t=0\,\! ，粒子的位置 q\,\! 是 q_0\,\! ，動量 p\,\! 是 p_0\,\! 。這些初始條件設定了系統的狀態 \sigma_0\,\! ，標記為 \sigma_0= (p_0,\,q_0) \,\! 。

過一段時間，在 t>0\,\! ，我們試著測量這粒子的運動參數。在這個簡單的物理系統裏，我們能夠測量的物理量，基本上是它的位置 q(t)\,\! 與動量 p(t)\,\! 。其它物理量的都是這兩個物理量的函數。這裏，我們稱可以被測量的物理量為可觀察量。

知道系統在 t=0\,\! 狀態 \sigma_0\,\! ，應用牛頓運動定律，我們可以計算出可觀察量在任何時間 t>0\,\! 的量值。這量值應該完全符合我們測量的結果。標記這些計算的量值為 \langle p(t) \rangle_{\sigma_0}\,\! 與 \langle q(t) \rangle_{\sigma_0}\,\!。 在我們這個簡單的例子裏，粒子以等速移動。因此

\langle p(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0\,\! ，
\langle q(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0 t+q_0\,\! 。

現在，假設粒子的位置的初始條件是機率密度函數 f(q)\,\! ，動量的初始條件是機率分佈函數 g(p)\,\! 。這兩個機率分佈函數完全地描述這物理系統的狀態 \sigma_0\,\! 。可觀察量 q(t)\,\! 與 p(t)\,\! 變成隨機變量。任何測量的結果都是隨機的，無法準確地預測。可是，假若，給予一個系綜的同樣的物理系統，對於每一個物理系統做同樣的測量，得到的結果會呈機率分佈。我們可以預測可觀察量在 \sigma_0\,\! 狀態的期望值。標記 p(t)\,\! 的期望值為 \langle p(t) \rangle _\sigma\,\! 。

[编辑] 量子態

一個量子態的某些性質，可以經過測量而得知其物理量。這些可以得知的物理量，稱為可觀察量。所有可觀察量的機率分佈設定了量子系統的量子態。

[编辑] 本徵態

假若，對於許多同樣的量子態的某一個可觀察量做測量，結果都一樣。那麼，這量子態是這個可觀察量的本徵態，又稱確定態。量子態可以是幾個本徵態的疊加。一個可觀察量的本徵態可能不是另外一個可觀察量的本徵態。既然，實際上，我們只能得知一個量子系統的每一個可觀察量。

假若，一個量子態不是一個可觀察量的本徵態，對於這量子態的這個可觀察量的測量，答案是機率性的；也就是說，給予一個系綜許多相同的量子系統，每一個量子系統的量子態都一樣，都是某個可觀察量的很多不同的本徵態的疊加，對於這可觀察量做同樣的測量，獲得的答案可以表達為機率分佈。這是量子力學與經典力學之間，大不相同的一點。在經典力學裏，測量的結果本質上是決定性的，而不是機率性的。

對於任何可觀察量 A\,\! ，我們通常可以製備一個本徵態 \sigma_A\,\! 。對於這本徵態 \sigma_A\,\! 的可觀察量 A\,\! 所做的一個測量，獲得的結果是明確的。給予一系綜這樣的系統，對於每一個本徵態 \sigma_A\,\! 的可觀察量 A\,\! 所做的測量，答案都是一樣的。本徵態 \sigma_A\,\! 又稱為 A\,\! 的本徵態。

假設一個量子系統的量子態 \sigma\,\! 原本不是 A\,\! 的本徵態。那麼，對於這量子態的可觀察量 A\,\! 所做的一個測量，會將量子態塌縮為 A\,\! 的一個本徵態 \sigma_A\,\! ，測量的結果是這本徵態的本徵值 a\,\! 。假若我們立刻再測量可觀察量 A\,\! ，由於量子態仍舊是同樣的本徵態 \sigma_A\,\! ，所得到的測量值也是同樣的本徵值 a\,\! 。

思考兩個不相容可觀察量 A\,\! 與 B\,\! 。假設一個量子系統原本處於 B\,\! 的本徵態 \sigma_B\,\! 。假若我們只測量 B\,\! ，我們不會發現到任何統計行為。可是假若我們先測量 A\,\! ，量子系統會塌縮成 A\,\! 的本徵態 \sigma_A\,\! 。假若，我們立刻再測量 B\,\! ，我們會得到統計性的答案。

[编辑] 薛丁格繪景或海森堡繪景

在前面的講述，可觀察量 P(t)\,\! ， Q(t)\,\! 可以相依於時間，而量子態 \sigma\,\! 則不相依於時間。這方法稱為海森堡繪景。我們可以等價地使可觀察量不相依於時間，又使量子態相依於時間。這方法是薛丁格繪景。概念上，這兩種繪景是等價地。兩種繪景都常常用在量子力學。非相對論性量子力學通常表述於薛丁格繪景，而在相對論性狀況，像是量子場論，則海森堡繪景是比較喜好的方法。

[编辑] 量子力學形式論

主条目：量子力學的數學表述

[编辑] 量子態是希爾伯特空間的射線

量子力學通常表述於線性代數。在一個量子系統裏，每一個量子態都對應於希爾伯特空間的一個向量，稱為態向量。假若，一個向量是另外一個向量的標量倍數，則這兩個向量都對應於同樣的量子態。（換句話說，每一個量子態都是希爾伯特空間的一個射線）。

或者，我們只准許歸一化的向量代表量子態。這樣，所有量子態的集合對應於希爾伯特空間的單位球。假若，兩個歸一化態向量，唯一的不同處是它們的相位因子。那麼，這兩個態向量仍舊對應於同樣的量子態。

[编辑] 狄拉克標記

主条目：狄拉克標記

在量子力學裏，數學運算時常用到線性算符，內積，對偶空間，與厄米共軛。為了讓運算更加簡易，避免更深入研讀線性代數的需要，保羅·狄拉克發明了一種標記法，狄拉克標記。這標記法能夠精確地表達量子態。簡略表述如下：

  • 向量標記形式為 |\psi\rangle\,\! ；其中 \psi\,\! 可以用任何符號，字母，數字，或單字。這與通常的數學標記顯然地不同。通常，向量以粗體字母，或者在上方加了一支矢號的字母來標記。
  • 稱向量為右括向量。
  • 每一個右括向量 |\psi\rangle\,\! ，都獨特地伴隨一個左括向量 \langle\psi|\,\! ，這兩個向量都對應於同樣的量子態。
  • 兩個向量的內積，可以寫為 \lang \psi_1|\psi_2\rang\,\! 。

[编辑] 單粒子系統的基底量子態

與任何向量空間一樣，設定一個希爾伯特空間的正交歸一的基底量子態，|{k_i}\rang \qquad i=1,\,2,\,3,\,\ldots\,\! 。那麼，任何右括向量 |\psi\rang\,\! 可以展開為這基底量子態的線性組合。

| \psi \rang = \sum_i c_i |{k_i}\rangle\,\! ；

其中，係數 c_i\,\! 是複值係數。

用物理術語來描述， |\psi\rang\,\! 是量子態 |{k_i}\rang\,\! 的疊加。由於這基底滿足正交歸一性，

c_i=\lang {k_i} | \psi \rang\,\! ，
\sum_i |c_i|^2 = 1\,\! 。

在量子力學的測量問題裏，這種展開式佔有很重要的角色。特別是，假若 |{k_i}\rang\,\! 是一個可觀察量 k\,\! 的本徵值為 k_i\,\! 的本徵態。那麼，對於量子態 |\psi\rang\,\! 的可觀察量 k\,\! 的一個測量，得到的結果為 k_i\,\! 的機率是 |c_i|^2\,\! 。

一個常見的例子是位置基底。這個基底是由位置這可觀察量的本徵態構成的。假若這些本徵態是不兼併的，那麼，每一個右括向量 |\psi\rang\,\! 都對應於一個三維空間的複值函數：

\psi(\mathbf{r}) \equiv \lang \mathbf{r} | \psi \rang \,\! 。

這函數稱為對應於 |\psi\rang\,\! 的波函數。

[编辑] 態疊加原理

主条目：態疊加原理

設定 |\alpha\rangle\,\! and |\beta\rangle\,\! 為兩個不同的量子態。它們的線性疊加 c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang\,\! 是另外一個量子態（尚未歸一化）。思考 \theta\,\! 為實值的量子態 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! ，雖然與 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! 對應於同樣的量子態，他們並無法互相替換。可是， |\phi\rang+|\psi\rang\,\! 和 e^{i\theta}(|\phi\rang+|\psi\rang)\,\! 肯定地對應於同樣的量子態。我們可以這樣說，整體的相位因子並無物理性質，但相對的相位因子的物理性質很重要。

雙縫實驗草圖，從光源 a\,\! 散發出來的單色光，照射在一座有兩條狹縫 b\,\! 與 c\,\! 的不透明擋牆 S2\,\! 。在擋牆的後面，設立了一個照相底片或某種偵測屏障 F\,\! ，用來紀錄到達 F\,\! 的任何位置 d\,\! 的光波數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光波在偵測屏障 F\,\! 的干涉圖案

例如，在雙縫實驗裏，光子的量子態是兩個不同的量子態的疊加。其中一個是通過狹縫 b\,\! 的量子態。另外一個是通過狹縫 c\,\! 的量子態。光子抵達偵測屏障的位置 d\,\! ，這位置離開兩條狹縫的距離之差值 bd-cd\,\! ，與兩個量子態的相對的相位有關。而這相對的相位，在偵測屏障的某些位置，又造成了建設性干涉，或摧毀性干涉。

另外一個例子，拉比振動，可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統。假若系統的兩個本徵態的本徵能級不一樣，那麼，因為態疊加的相對相位隨著時間而改變，疊加後的量子態會反來復去的震動於兩個本徵態的線性組合。

[编辑] 純態與混態

主条目：純態

前面所講述的量子態都是純態，可以用一個右括向量來代表。一個混態是一個系綜的純態。混態是用一個密度矩陣，或密度算符，來描述。密度矩陣可以描述純態和混態。用方程式來定義，

\rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |\,\! ；

其中，\rho\,\! 是密度矩陣，p_s\,\! 是純態 |\psi_s\rangle\,\! 在系綜裏所佔的比例。

我們可以用一個很簡單的公式，來判斷一個密度矩陣，到底是描述純態還是混態。首先，必須將量子態歸一化。假若，矩陣的跡值 tr(\rho^2)=tr(\rho)=1\,\! ，則所描述的是純態；否則，假若 tr(\rho^2)<1\,\! ，則所描述的是混態。另外一個等價的判斷式用馮諾伊曼熵來決定量子態的種類：純態的馮諾伊曼熵是 0 ;而混態的馮諾伊曼熵則大於 0 。

在量子力學裏，測量的規則可以特別簡單的用密度矩陣來表達。舉例而言，對應於一個可觀察量 A\,\! 的一個測量的期望值是

\langle A \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)\,\! ；

其中，|\alpha_i\rangle\,\! 是A\,\! 的本徵態，a_i\,\! 是本徵值。

特別注意，在這裏，一共發生了兩種不同的平均運算。一種是純態的基底右括向量 |\psi_s\rangle\,\! 的量子平均。另外一種是個統計平均，每一個量子態 |\psi_s\rangle\,\! 的機率是 p_s\,\! 。

我們也可以用這些不同的平均運算，來判斷純態或混態：純態是量子態相干的疊加；而混態是量子態不相干的疊加