希尔伯特空间就是高次元空间 在N次元的世界中，物质可进行N个方向的移 动

前沿理论的基础：浅谈希尔伯特空间的认识】 据说，爱因斯坦最初花了近七年的时间构思「广义相对论」而不可得。但在一次与希尔伯特的会谈中，他自「希尔伯特空间」理论中发现 了突破瓶颈的关键。后来仅花短短两周的时间，便完成了「广义相对论」。聪明的爱因斯坦都发现了某种妙处，我们不能不重视吧。 什么是希尔伯特空间？简单而言，就是多维抽象空间。对一般人而言，「空间」是日常活动的领域。而对数学家而言，「空间」则属于数学中几何学探讨的领域。在几何学中，线、面及立体之间的差异在于定义的次元数 不同。只能进行前、后移动的世界称为一次元世界，在这样的世界中，万事万物只被允许进行单一方向的移动；而在二次元的世界中，物质可以进行「前后」、「左 右」两种方向的移动；至于在三次元的世界中，物质可以进行「前后」、「左右」、「上下」三种方向的移动。因此，在N次元的世界中，物质可进行N个方向的移 动。因此，用比较专业的理论术语来说，希尔伯特空间就是高次元空间。 全面搞懂希尔伯特空间的理论和运用，那绝对需要理论物理博士的水平，而且还一定要是毕了业的博士生，没毕业的博士可能就是因为搞不懂希尔伯特空间的缘故。 本人想搞懂，但确实搞不懂，但作为物理爱好者，只能谈一点外围看法。 １）来历：大卫•希尔伯特在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯•诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。随后，“希尔伯特空间”这个名字已经迅速被其他科学家所接受。 ２）划分：希尔伯特空间分为数学希尔伯特空间和物理学希尔伯特空间。 数学希尔伯特空间 希尔伯特空间是欧几里得空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学的关键性概念之一。 物理学希尔伯特空间 希尔伯特空间也是量子力学的关键性概念之一。一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。 数学希尔伯特空间的描述较物理学希尔伯特空间边界条件更严谨，而物理学希尔伯特空间比数学定义广义些，物理学希尔伯特空间还可以分为量子力学和宇宙学希尔伯特空间两类描述。 ３）比较：一般而言，欧几里得空间是一个实空间，来源于对空间的直观，但是希尔伯特空间却是一个复空间，是一个抽象的空间。 ４）意义：希尔伯特空间是可以把量子概率论与爱因斯坦广义相对论及米-杨统一规范场验明正身的有力武器，希尔伯特空间也是串起线性和非线性分析(包括分形-混沌理论) 的数学工具之一，傅里叶变幻可以看作复希尔伯特空间函数分析的一个特解。 ５）有关理论和运用的具体内容：因『眼花＋头痛』，故省略。。。。。。万字符。 ６）浅识： ６.１：希尔伯特空间虽是多维抽象空间，但与欧几里得空间有“血缘”，是某种“进化”的表现，故此，其理论意义和价值很大。 ６.２：量子力学的五大假设都可以通过希尔伯特空间来描述。因此，量子力学不再“零散”，而是量子力学原理在希尔伯特空间中得到了理论上的统一。 ６.３：在相对论方面的意义 高次元空间理论则在如虫洞、时光机等能时空机器上提供了一些美丽遐想（在历久不衰的时光旅行理论中，主要也是由广义相对论演绎而出的虫洞理论）。史蒂芬霍金 在「胡桃里的宇宙」一书中认为，在高次元时空中存在众多四次元曲面，此种曲面称为膜世界。这些「膜」有些自然而然就会消失；有些则会不断地膨胀直到形成如 气球般的膜泡，此膜泡就是我们生存的宇宙。至于存在于宇宙间的一切，不过是膜泡内部投射于这片「膜」上的信息而已。或许自宇宙诞生直到现在所曾经存在的一切，是此膜泡面上所投射的信息叠加。换言之，从古到今的每一个时间点都是一片膜，而每一片膜相重叠就构成了「历 史」。如果想进行时空旅行，就设法使投射「自己」的那些信息转而投射至其他的膜上，也就是探讨跨次元的移动了。想要进行次元间的移动，就必须有能力在至少 比该次元更高一次元的世界中活动。举例说明：分别住在两条不相交的线（P1，P2）上的一次元居民，基本上只能前后移动，所以不会有所交集。但要是有一个 能在二次元活动的居民能将P1平移至另一条在线，那就有机会碰面了。 ７）浅论： 由此，我们似乎可以得出一个浅而易见的结论，即： 因为希尔伯特空间是一个模有限的无限维复线性空间，我们无法具体去描述这个无限维的复线性空间是一个怎样的空间，因此我们常说它是一个抽象空间。又由于在希尔伯特空间中基底的选择不同，“某某对象”可有不同的表象。所以，“翻手为云，覆手为雨”成为理论中的可能，就看谁的“造化好”－－使用得“当”，适应也自然“当”。

2011-04-13 17:25 回复

incinc 56位粉丝

2楼 希尔伯特空间在量子力学中的理论意义 由于在希尔伯特空间中基底的选择不同，使的量子力学有不同的表象，在希尔伯特空间中每种力学量都有一种对应的表象，我们常见的表象有动量表象，坐标表象，能量表象，福克表象等等，在不同的表象中力学量算符和态矢有不同的表示形式；另外当我们对时间演化的处理方法不同时，又可以使量子力学有不同的绘景，在不同的绘景中我们又可以写出与物质运动规律所对应的不同形式的运动方程，薛定谔和海森伯给我们描绘了两种绘景，使得我们量子力学有两种表述，一个是海森伯矩阵力学，出发点是海森伯运动方程,另一种是薛定谔波动力学，出发点是薛定谔运动方程。 狄拉克总结了海森伯的用矩阵表示力学量的做法和薛定谔的按照德布罗意思想而在原子理论中引入了的态的概念，在希尔伯特空间中提出了自己独特的表述量子论的数学形式——符号法，使量子论成为严密的理论体系，很快，他用自己的一套表示形式，很多地方被称为“神来之笔”的右矢和左矢，简洁而深刻的反映了量子力学中力学量和态矢之间的关系，把 数的对易关系类比于经典中的泊松括号，把矩阵力学纳入哈密顿公式体系，建立起非相对论量子力学中的普遍变换理论，并用之证明了海森伯，薛定谔的两种表述形式是等价的。 希尔伯特空间是我们研究微观世界的空间，当我们在这个数学的空间中定义了某种表示规则——符号法，用抽象的方式直接地处理有根本重要意义的一些量，它可以使我们用简洁精练的方式来表达物理规律，整个量子力学理论就在希尔伯特空间中建立起来了。 总之，理论物理界普遍如此看待：希尔伯特空间是一抽象的空间，如果在希尔伯特空间中选择不同的基底，就可以使量子力学原理有不同的表象，研究希尔伯特空间中的量子力学，首先需要弄清楚的是不同表象中的量子力学理论，以及表象与表象之间的关系。当规定了量子力学基本原理在希尔伯特空间中的基本表示形式后，就等于有了一种确定的语言，这种语言就是狄拉克符号。在结合不同表象下不变的基本关系——对易关系，量子力学理论就可以在希尔伯特空间中以抽象的形式基本建立起来了，就可以在这个空间中研究求解具体的问题。

2011-04-14 18:30 回复

incinc 56位粉丝	3楼 量子力学原理在希尔伯特空间中的表示形式 用波函数来描述微观粒子的运动状态，所以量子力学主要要解决的问题。关于波函数的形式的问题。在希尔伯特空间波函数一般用态矢来描述。 关于量子力学的第二个基本假设，波动力学中的态叠加原理，在希尔伯特空间中也有与之相对应的形式，是用狄拉克算符所写出的形式。关于量子力学的第三个基本假设，力学量用线性厄米算符来表示，我们在希尔伯特空间中定义了一种普遍的厄米算符。 关于量子力学的第四个基本假设，之前我们是用薛定谔方程来描述的，现在我们知道由于对时间演化的处理方法不同，可以使量子力学有不同的绘景，在这些绘景中，我们可以分别写出描述粒子运动的形式。 关于量子力学的第五个基本假设，在希尔伯特空间中，我们可以用福克表象来描述它。
2011-04-14 18:32 回复

incinc 56位粉丝

4楼 主楼『浅识6.2』中有一点不妥，就是“量子力学原理在希尔伯特空间中得到了理论上的统一”是指非相对论量子力学，并不包括相对论量子力学。 非相对论量子力学和相对论量子力学可能属于“海豹”和“企鹅”的关系。