第25卷 第 3期 力 学 迸 V01. 25 N0. 3
1995年 8 月25口 ADVANCES IN MECHANICS Aug. 25, 1995
提要 简要回顾了湍流重正化群理论的发展, 介绍了该理论的主要内容及得到的主
要结果, 并评述了该理论存在的问题. 同时也简单介绍了笔者为解决这些问题而做
的一些工作.
关键词 湍流; 重正化群; 对应原理; 远程相互作用近似
1 重正化群理论的物理背景
70年代初, WilS0n[1ˉ’z]成功地利用重正化群方法研究了临界现象. 在此之后, 重正化群
方法在物理的许多领域发挥了重要作用. 能成功地利用重正化群方法来研究的物理现象, 其
共同的特征是无特征尺度) 它的动力学过程可用下列标度关系描述:
k为波数, w为圆频率. 推导出形如 (1.1) 标度关系中的指数是重正化群方法的主要目的.
由于系统无特征尺度, 经研究发现标度关系 (1.1) 具有普适性, 只依赖于系统的对称性, 与
原微观参数 (裸参数) 无关.
人们从各种实验观察中发现, 不同的物理系统在临界点附近具有相类似的性质, 井由此
归结出标度律, 其基本思想是临界点附近的长程相关决定了所有奇异性质. 系统接近临界点
时, 关联长度莒艹腮, 备种物理量在临界点附近的奇异性质是由美联长度茗在临界点的发散
性质所引起的, 关联长度C是唯十决定各物理量在临界点附近奇异性质的量. 小范围的细节
与临界现象无关. 既然在临界点关联长度莒艹%, 故用任何有限的自然尺度来描述物理系统
都能得到相同的结果. 正由于临界点的这种性质, 可以成功地运用重正化群方法处理临界现
象问题.
以铁磁相变为例, 可以概括重正化群变换的基本步骤为 (1) 进行粗粒平均, 缩小分辨
率. 就是使用的 “尺子变长”, 变为原先尺子的6倍. 这即是自旋集团归并, 将含8d个自旋
’ 国家自然科学基金资助项目:
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的集团作为一个整体(d为空间维数), 用粗粒平均找到集团的有效自旋. (2) 将尺寸和自旋
重新标度, 使其与原来模型一致. 我们简称重正化群变换为R.手续, 即R.(HO)=H1, 其中
H为系统哈密尔顿量. 这样循环做下去. 可以得到一个重正化群变换序列H.‖=R.(H,.).
在临界点, 自旋涨落的关联长度莒为无穷大, 有限尺度效应被抹掉, 系统呈白相似性, 这样
自然有R.(Hn)=H., 这表明了在临界点,重正化群变换出现不动点. 通过分析不动点附近
的变换性质, 从而可抓住相变的主要特征. 我们把R.的集合称为重正化群 (renormaliza-
Tí0n gm呷),简称 RNG={R.ls>1}. 通常绐定一个哈密尔顿量H中,往往含有一组确定的
参数, 可以用这些参数为坐标轴, 构成一个“参数空间”, 其中每个点代表一个哈密尔顿量.
重正化群的作用对象就是这样的参数空间, 可以形象地把重正化群变换看成是参数空间中代
这即为重正化群微分方程, 在一般情形下, 它很复杂. 如果参数空间中的一点μ* 在重正化
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则点泸称为不动点. 重正化群方法之所以能描述连续相变, 就因为临界点与不动点对应.
利用重正化群方法, 并结合具体的物理模型研究铁磁相变问题, 可以推得备临界指数,
得到与实验相符的结果“叫, 若刊用重正化群方法分析动力系统, 则可得到形 如 (1.1) 标
度关系中的指数[5].
2 湍流i正化群理论的发展
1958年, Kraichnan 伽] 开始将量子场论中的方法应用于湍流研究中, 推导出 了一套封闭
的积分微分方程, 建立了使湍流问题封闭的直接相互作用理论. 在该理论中, 随机Ga川盯变
换下的动力学关系的不变性条件被破坏, 在计算各向同性湍流场惯性 -了- 区 域 的 能 谱 函 数
E(k)时得到 E(k)〇Ckˉ3/2, 和 Kolmogorov _ 5/3 律相矛盾. Kraichnan [879] 为了克服上述弱
点, 沿着流体质点的路径对直接相互作用理论进行修正,得到了拉格朗 日 -历史直接相互作用
理论. 修正后的理论中, 伽利略不变性得到了保证, 计算湍流惯性子区域时, 得到能谱函数
E(k) =CK'gz/akˉ5/3 岭
其中 CK =1.77 和实验范围相符. Kraichnan [8ˉ11] 的一系列工作对人们认识湍流现象有着~
定的帮助, 利用 Kraichnan 理论计算湍流场得到了一些和实验相符的结果叫, 但该理论数
学上过于复杂, 又只是采用逼近的方法及一些假设使湍流问题封闭.
由于高 Reynolds 数湍流扬中的高波数小涡处于统计定常和统计平衡状态, 特别茌惯性
子区域能谱函数是普适的, 流动和边界无直接关系, 这样该区域的流动元特征尺度. 由于该
性质, 人们看到湍流现象和临界现象之间具有某种相似性, 在研究临界现象问题中发挥重要
作用的重正化群方法自然被用到湍流研究中.
1975 年 Ma 和 Mazenko [扪 应用重重化群方法 分 析 动 力 系 统. Forstci-、 Nelson 和
stephen唧41 (通称 FNS) 首次利用 J/Ia 和 M眈眦0提出的重正化群方法研究在 Gauss 分
布随机力作用下, 其 Nfvví町-ST0k6S 方程的速度场脉动在大尺度、 长时间情况下的红外渐近
(infrared limit) 特性. 他们对 Navier-Stokes 方程进行 Fourier 变换, 将速度分量v 和
随机力分量 f 按波数属于 q<Acˉ' 和 /leˉ'<q<A 分解为 忻丹f< 和 v>、f>, 然后将高波数速
度分量 v> 用 v穴尸 和 f> 表示, 代入 Navier-Stokes 方程, 对 f> 求平均, 得到仅包含 v< 和
f< 的方程, 这即是粗粒平均. FNS 再对粗粒平均后的方程进行重新标度, 得到形式上 和 原
Navier-Stokes 方程相类似的方程, 这即为重正化群方法的重新标度步骤. 通过这样的重正
化群变换, 他们找到对应于不同随机扰动下的不动点, 井推出 k->0、 w艹0时对应于不同随
机力作用下的能谱函数, 发现在不同随机力作用下的 Navier-Stokes 方程的红外渐近性质是
不同的. 但是由于未能将随机力的特性和湍流场的可观测量联系起来, FNS没有得到湍流场
的有关常数的具体数值结果.
Fournier 和 Frish [川 从另外角 度 出 发, 利 用 EDQNM (eddy damped quasi-normal
mode) 逼近, 得到和 FNS 相同的红外渐近下的能谱函数形式, 他们还对FNS未曾考虑的更
广泛随机力作用的情况作了研究. DeDominícs 和 Martin [16117] 将 FNS 理论进行了推广.
他们应用场论的方法对更广泛形式的随机力作用下的 Navier-St0kes 方程进行了研究, 在随
机力两点关联正比于 kˉd 时, 推导出能谱函数 E(k)〇ckˉ5/3, 和湍流惯性子区域 KOlm0g0r0v
一 5/3 律相吻合,
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当利用 重正化群方法分析在随机力作用下, 其Navicr-Stokes方程的速度脉动茌k->:C、
@艹〇3 时的紫外渐近 (ultravi0let limif) 特性时, 由于耦合参数真什) 越来 越 太, 致 使 以
克仆) 为参数的微扰失败 柑] . Yakh矾 叫 在随机力作用下的 Naviel'-Stokes 方程的左边增添
一一附加项 _F0k2/3v(k,(0), 亦即引进一正比于 102/3 的负粘性耗散项, 然后逐次对低波数随机
力分量求平均, 研究 k->CC、 (0->00 紫外渐近下的流体行为, 得到能谱函数
并算得 μ =0.4, 较好地描述了湍流场中实验所观测到的间隙现象. 建筑在分数维理论 基础
上的湍流5模型得到了类似的结果 胍 , 若将湍流运动和多分枝聚合态物理作类比, 可以得
到相同的 μ值洲, LCvich还指出他们理论中出现的非整数维数即为 Mandelbrot 所引进的
分数维数, 而并非 Wi]s0n 重正化群理论中用于连续分析的非整数维数.
Rose 酬 利用 重正化群方法分析得到了湍流场标量输运的亚格子模型, 在他的方法中段
有引进随机扰动力, 而直接对 Navíel--Stokes 方程中的高波数速度分量求平均, 推得与低波
数速度分量弱相关的涡输运系数. MCComb 等人 [26ˉ32] 采用 R056 的方法, 并假设速度分量
的能谱分布服从 K01m0g0r0v-5/3 律, 推导出了用以表征小涡对大涡作用的重正化涡粘性 公
式. Y. Zhou 等人 【32’33] 又T随机力作用下的 Navíel'-Stokes 方程采用 Bose 方法推导出 了_重正
化涡粘性公式.
上述的工作为人们系统地利用重正化群方法研 究 湍 流 砚 象 奠 定 了 基 础. Yakhot 和
Orszag [3卜45] 在 PNS 等人工御侮基础 .f二, 较系统地利用重正化群方法 分 析 了 湍 流 场. 高
R町nolds数湍流场中的小满呈各向同性, 处于统计定常和统计平衡状态, 并不直接依赖于边
界条件. 为了表征边界对这些小涡的作用 和保证这些小涡处于统 计 定 常 状 态, 就 必 须 在
Navier-Stokes 方程中附加相当于产生湍流能量的随机扰动力. Yakhot 和 Orszag 认为湍流
运动在惯性子区域可以用随机力作用 下的 Navicr-Stokes 方程描述, 这即是所谓的对应原理
(wrrespondence principle) . 他们按 FNS 的方法对高波数随机力分量进行逐次平均. 在
平均过程中, 高波数速度分量对低波数速度分量的作用相当于粘性, 这样就出现重正化粘性
(re删malized viSc0Sity) . 他们假设高波数随机力分量对低波数速度分量的作 用 很 弱,
采用远程相互作用近似 (distant-interaction approximation) , 忽略在对高波数随机力分量
平均过程中出现的三阶非线性项, 并通过对惯性项所作的微扰展开计算了湍流场, 在随机力
的两点关联正比于 k叫í 时, 导出了 Kolmogorov-5/3 律, 并利用 Kraichnan 湍流直接相互作
用理论的结果, 求得湍流KO1伽g0mv常数 CK = 1.617. 他们还计算了湍流速度偏斜因子, 并
利用重正化群方法处理湍流标量输运, 求得 Batchelor 常数 CB, : 1.161. Yakhot 和 Orszag
还利用他们的理论结果推得湍流大涡模拟中的亚格子模型, 导出了Sm盯g0flnsky涡粘性公式.
Yakhot 和 Orgzag 利用重正化群方法研究一般剪切湍流场, 他们利用所推得的重正化粘
性公式导出 了湍流模式理论中的代数 K-畜 模型, 并排得湍流能量K和湍流耗散率 肓所 满 足
的方程, 在此基础上进一步计算湍流场的 Von Karman 常数和均匀湍流场的能量随时间的衰
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变指数, 并推导出湍流模式理论中的湍流微分输运模型. Rubinstein 和 B删皿等人 [46-491 利
用 Yakhot 和 Orszag 湍流重正化群方法及其理论结果, 推导出一般剪切湍流场中的二阶封闭
模式和湍流标量场的输运模型.
Y. Zhou 等人 [钊ˉ52] 利用 Yakhot 和 Orszag 湍流重正化群方法和 Rose 重正化群方法研
究磁流体中的湍流现象及其湍流亚格子模型. 在磁流体运动以及分层流动中, 流场呈各向异
性, Rubinstein 等人 [5肝叫 试图研究各向异性随机扰动力对湍流速度场和标量场的影响. 另
外, 重正化群方法还被用来研究可压缩流体的长时间、 大尺度下的红外渐近行为 伽] .
本节我们将稍为详细地介绍湍流 RNG 理论. 虽然湍流 RNG 理论得到很大发展, 加深
了人们对湍流的认识, 但也存在一些问题, 人们提出了一些疑问 剐ˉ5町 . 在解决这些问题的
过程中, 笔者给出了一些结果, 下面也将作介绍.
3.1 动力学方程
在 FNS[X3’H] 及 DeDominicis 和 Martin帅717] 等人工作 的基础上, Yakh0r 和
Orszag胴 提出对应原理, 即湍流运动在惯性子区域讨以用下列方程予以描述:
其中 fi (k,0)) 为随机力 fi (X91) 的 FO叮íer 变换, dí位空间维数, D0 为常数.
选择一足够高的波数 1107: 0妯)作为截断波数, 这里 kd 为 K01m0g01'0v 耗散波数. 由于
当 ]6′>0(kd) 时2 湍流能谱按指数衰减, 故其对 k<</10 波数范围上的大涡影响极小, 可以
忽略. 速度 v5(X.t) 的 FOurícr 变换为
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3.2 i正化群变换
为了消除式 (3.6) 中的高波数速度分量v刃 将式 (3.7) 代入 (3.6), 然后对高波数随机力
f> 求平均, 精确到0(兄ã), 可得伽]
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显然, 式 (3.9) 提供了附加粘性
接下来, Yakh0t-Orszag 不是像 FNS"8'川 那样对式 (3.13) 进行重新标度, 而是走
的另外一条路, 他们令r艹0, 逐次对很窄范围的高波数随机力 f> 求平均, 由 式 (3.10) 可
以建立关于重正化粘性 响) 的循环迭代微分关系式
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常数, 详见[6口, 这里不整述, 下面将简单介绍一下笔者在决®和®两个问题方面所做的
工作.
为了解决 Yakhot-O1-szag 在求 Kolmogorov 常数时理论不 自 洽问题, 我们对重正化粘性
公式 (3.17), (3.23) 进行了重新推导”Z] . 考虑到低波数速度分量和高波数随机力分量是
相关的, 所以在对高波数随机力取平均的过程中, 不但将 (3.6) 中的v>用表达式 (3.7)
代入, 而且还将v<中的v>用式 (3.7) 代入, 这样对高波数随机力取平均, 精确 到0(蜊
可得相应附加粘性项为
D.,/lg S d 1 CH"-d)'-1
然后建立关于重正化粘性的循环迭代微分关系式7 逐次将 (1>’6 7 1í0cˉ' 范围内的盲 波 数 随
机力分量平均. 相应的结果石í Yakhot--Orszag 的结果之间的差别仅在于将Ad换为M, 鹰换
为 矶. 由于 耶 与 8 无关, 对任何 E 值 1ã§=0.2=ã3(8 =0), 这样就可以采用单一的 参 量
值 6 = 4 来计算湍流场, 克服了在同一计算中采用不同 6 值的矛盾.
前述, Yakhot-Orszag 在计算 Batchelor 常数中, 用重正化群方法计算 Prandtl 数时,
仅取微扰展开到0微微项得到 P71=0.7179. 为改进他们的计算, 我们保留展开式中的椭3和
M2俨项, 经过非常复杂的计算 酬, 最后得到考虑更高阶影响后的 Prandfl 数
P1- =0.4706 (3.53)
而
CBa=CKPr:0.675 (3.54)
这个数值正和 CB, 的实验值范围 0.5<CB.<0.8 相吻合. Ya恤0卜〇跖Zag利用重正化群方法
分析湍流标量输运问题时, 只考虑到湍流速度 Gauss 分布的部分对湍流标量输运的影响, 但
由于速度模式之间的非线性耦合将引起湍流速度偏离 Gauss 分布, 这对湍流的标量输运有着
重要影响. 经计算分析, 展开式中 涮俨项反映了湍流速度偏离Gauss分布的影响, 而潞3 项
的影响相对小得多.
4 湍流i正化群理论的展望
湍流是一直困扰着火们的理论物理中最困难的问题之一, 长期以来国内外许多科学家和
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学者为此付出了辛勤的劳动. 重正化群方法在临界现象的研究中发挥着重要的作用, 由于湍
流现象与临界现象之间具有一定的相似性, 以Yakhot-〇叫g为代表的一些学者试图利用重
正化群方法研究湍流现象. 利用重正化群方法分析湍流问题而发展起来的湍流重正化群理
论, 已经得到了一些与实验相符的结果. 但目前湍流重正化群理论是不完善的.
连续相变问题中处理“紫外”发散,而湍流问题中却是“红外”发散,这二者有着巨大
的差别, 所以到目前湍流重正化群理论还没有得到如 Wi150n 在临界现象中取得的成功, 众
所周知, 在强耦合问题中<例如湍流>, RNG展开是不能被控制的, 虽然我们可以用 RNG方
法处理湍流问题, 但必须取所有展开项, 任何截断都有可能导致基本的失误. 这些基本的理
论问题还没有得到解决, 所以在具体应用重正化群方法计算湍流场时所用的一些假设, 如远
程相互作用近似, 是Y岫矶-〇胍g理论中的基本假设[35-371581, 而目前人们对其物理背景
以及数学上的正确程度还不清楚 [57-591. 另外, 关于对应原理也不能绐以合理释, 对诸如
三阶非线性项 (在Yakhoi-Ofszag的工作中是略去这些项的> 的作用也不消楚 [35-561.
尽管如此, 对于人们了解、 认识复杂的湍流现象, 湍流重正化群理论已经和将会起着一
定的作用, 这是研究湍流的新途径. 今后人们仍然会在这一领域开展积极的探索. 湍流重正
化群理论是建立在各向同性湍流场分析基础上的, 但目前人们在将它推广到一般剪切湍流场
方面, 作出了有益的尝试阳-吲咖.
可以成功地用重正化群方法来研究的物理现象,其特征为无特征尺度,而分形表征的正是
具有白相似性、 无特征尺度事物的几何结构特征. 目前, 人们已从较多的实验观测中发现湍
流在~定尺度范围内存在分形现象1蛐蛐, 其上限为表征湍流枷,何结构的积分尺度L, 下
限为湍流 K咖鲶。酗尺度〃. 这样, 湍流重正化群方法和湍流分形现象之问可能会有一定
的联系, Levich佃-121 利用重正化群方法研究流体的紫外渐进行为 时, 得到能谱函数
E(k)0¢1,-5/3(kL>-μ/3, 其中,,=灿 这和从分形观点得到的结果相一致唧‖, 湍流重正化
群方法和湍流分形现象之间更深刻的联系以及重正化群方法能否为分形和非线性动力系统之
间架起一座桥梁, 有待于人们的进一步研究;
由于湍流现象的复杂性, 人们正试图用各种新的工具, 从各个方面对其进行研究, 我们
认为重正化群方法作为分析临界现象的有力工具对人们认识、 丁解湍流现象有着不可忽视的
价值.
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RENORMALIZATION GROUP THEORY OF TURBULENCE
Wu Feng Wang Xiaohong
Department of Modern Mechanics, University of
Science and Technology of China. l-lefei 230026
Abstract In this paper the developments of RNG theory of turbulence are re-
viewed briefly. The principal contents and the main results of this theory are
described. Problems that remain to be solved in this theory are also discussed.
And some approaches that present paper’s authors have advanced for solving the
problems are showed.
Keywords turbulence; renormalization group (RNG) ; correspondence
principle; distant-interaction approximation
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