纽结01 假定一个纽结是由一条一定长度的 柔软的线首尾相接而形成的 , 这条线上带有 分布均匀的同种静电荷 ; 根据同性电荷相斥

2003 年第 4 期 19 数海拾贝 纽结的表示与分类吴振奎 ( 天津商学院 ,300122) 　　2002 年春节 , 一种象征中华民族喜庆 、 祥和的饰物 —— — 中国结 ( 见图 1 ) 风靡全国 , 且走向了世界 . 其实 “结” , 在中国有 着悠久的 历 史 和 文 化 背 景 . 图 2 中便有 “结” 的身 影 ,除 了 它 自 身 的 优 美 ( 对称 、 简洁 、 和谐 ) 外 , 还 而 “结” 在数学中的出现与描述 , 是在 “拓扑 学” 出现之后的事 ,且它被定义为 “处在三维 : 空间里的任何简单封闭曲线” . 不具有自由端的结 , 可以象链条那样以 复杂的方式连接起来 . 高斯率先将 “结” 作为数学对象引入 , 他 认为纽结和连结的分析是 “几何部位” 的基本 对象之一 . 19 世纪末 , 黎斯汀 ( I. B. Listing) 给出最简非平凡纽结 [1 ] 象征着如意 、 吉祥等 . 图1 之一 ,8 字结 ( 见图 3) 的群表 达式为 : { ( x , y ) | yx - 1 图3 yxy - 1 =x - 1 yxy - 1 x }. 结的种类繁多 , 且千变万化 , 因而判断 结的等价 问 题 , 是 拓 扑 学 中 的 一 个 深 奥 问 题 . 至少一个世纪以来 ,数学家们一直在努力 寻找一种把不同的纽结区分开来的有效方中国年画中的 “结” 图2 法. 没有打结的圆圈称为平凡结 . 最简单的打结曲线是三叶纽结 . 图 4 是 　　 “结” 尽管 在生活中也许出现得很早 , 然 2 2 2 　　 证明 : = ∑m 2 a 2 b + mc 2 = 2 ∑ 4a 2 2 4a + b + c 2 当且仅当 △ABC 为正三角形时等号成立 . 利用上述方法和凸函数的性质 ,易得 ∑ ∑ 4a 2 2 2 2a + (a + b ) + (a + c ) 4a 2 2 a + 2 ab + 2 ac 2a 2 ∑ m 参考文献 : a k b k k c +m ≤ k - 1 　( k ≥ ) . 2 2 ≤ = [1 ] 　 Bottema 等著 . 几何不等式 [M] . 单 　 O. 墫译 . 北京 : 北 ∑ + b + c =2 , a 京大学出版社 ,1991. [ 2 ] 　 　 . Cordon 不等式的加强 [J ] . 中等数学 ,1998 (5) . 杨 晋 ? 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 20 中 等 数 学 全部不多于 9 个重点的三叶纽结在平面上的 投影图 [2 ] ( 它们至多有 9 个两重交点 ,且在重 点处两线穿过时断开) . 图5 不同的 ,即它们不是拓扑等价的 ,似乎就应该 排除所有可能导致它们拓扑等价的上述变形 方法 . 显然 ,沿这个思路进行证明是比较困难 的 . 因此 ,数学家一般从另一个角度考虑这个 问题 ,即寻找所谓 “拓扑不变量” — 纽结的 —— 在任何上述变形下都不变的性质 . 如果两个 纽结的拓扑不变量不一样 , 则它们肯定不是 拓扑等价的 . 1928 年 , 美 国 数 学 家 亚 历 山 大 (J . W. Alexander) 给出了第一个拓扑不变量 , 他发现 [4 ] 一种系统化步骤 , 用来寻找代表特定结的特图4 征代数表示 —— — 亚历山大多项式 ( 拓扑学中 ) 称为 “不变式” . 如果一个纽结能通过伸缩和扭曲等方法 ( 但是不能把它剪断再粘起来) 变形为另一个 两个结的亚历山大多项式若不相同 , 则 这两个结肯定不等价 ; 反过来 ,即使具有相同 多项式的结 ,也不一定相同 ,因为它还不能区 ( 分 “左旋” “右旋”其中有 84 个至多有 9 个 或 纽结 ,那么 , 这两个纽结在本质上就是相同 的 ,数学上称它们是 “拓扑等价” ( 又称同痕 的 或相同的) . 20 世纪 20 年代 , 德国数学家瑞德迈斯 交叉的纽结的区分) . 最简单的例子就是平结 和老奶奶结 . 它们的亚历山大多项式相同 ,但 它们是本质上不同的两个纽结 ( 见图 6) . 特 ( K. W. F. Reidemeister) 引入了纽结投影图 上的 3 种变换 , 它们均可通过纽结在空间的 变换来实现 . 这样 ,对于拓扑等价的纽结直接 可从投影图上去判断 , 即投影图等价对应着 纽结拓扑等价 ; 反之亦然 . 图 5 中 ( 1) ～ ( 3) 是 3 个貌似不同的纽结 ( 其实是同痕或拓扑等价的) ,通过 ( 4) 、5) 彼 ( [3 ] 图6 此变换成等价的过程 . 这样一来 , 从投影图观察纽结相同相对 容易些了 . 但是 ,要证明两个纽结在本质上是 1985 年 , 新西兰数学家琼斯 ( V. Jones) 从 数学物理的角度 , 提出结的另一种拓扑不变 量 ,它是一种比亚历山大多项式性能更强的 http://www.cnki.net ? 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2003 年第 4 期 21 新多项式 ,在许多情况下它们很容易判定一 个结跟它的镜像之间的区别 . 这样一来 ,琼斯 “算子代数” “结” 同 的理论联系起来 . 琼斯多 项式的意义在于 : 当用亚历山大多项式不能 区分两个本质上不同的纽结时 , 往往用琼斯 多项式便能区分开来 . 如平结和老奶奶结的 琼斯多项式就不相同 . 但是 ,仍然存在着亚历山大多项式和琼 斯多项式都相同而非拓扑等价的纽结 . 于是 , 数学家不得不继续寻找新的不变量 ( 比如 HOMFL Y 多项式 , Kauffman 多项式等) . 相邻部分 ,从而使得纽结的总静电势能达到 最小 ( 势能最小原理) . 这个最小能量就是纽 结的一个不变量 . 1992 年 , 美国数学家布莱森 ( S. Blason ) 等 4 人又取得如下一些成果 : 最简单的纽结 , 也就是说能量最小的纽结 , 确是人们所预期 的普通圆圈 , 其能量为 4 , 它根本就没有打 π 结 ; 能量小于 6 + 4 的纽结只有一个 ,它就是 没有打结的普通圆圈 ; 如果一个纽结在某个 二维平面上的投影有 c 个交点 , 则其能量至 π 少为 2 c + 4 , 虽然这个下界大有改进的余 地 ; 能 量 为 E 的 纽 结 至 多 有 01264 × 了纽结理论中一个前景无限广阔的研究方向 . 又威力巨大 ,为何人们这么久竟未发现它 ! 世界原本是简洁的 ,数学也是 . 意义非常广泛的问题中的一个最简单 、 最自 然的特例 . 这类问题就是 : 如何表明将一个空 间嵌入另一个空间的不同方法之间的区别 . 这类问题遍及数学的许多领域 , 而纽结的分 类问 题 则 更 在 从 量 子 物 理 学 中 的 费 因 曼 ( Fineman) 图到 DNA 分子的酶切等诸多领域 [5 ] 美国 新 泽 西 州 特 杰 尔 大 学 的 霍 斯 特 (J . Hoste) 等 5 人稍后寻找到能把琼斯多项式 和亚历山大多项式包括在内的更一般表达 式 :只应用 3 个变量的几个幂和系数来表达 结的多项式 ( 见图 7) . 图7 它们的多项式分别为 : ( 1) Pl = YZ ( 2) Pl = X - 1 + X 2 - 1 Y Z - 1 2 - 1 - X - 2 - 1 Z; - 2 Z - 2X Y- X Y ; 2 ( 3) Pl = Y - 2 Z2 - 2 XY - 1 - X - 2 Y2 ; ( 4) Pl = X - 1 Y - 1 Z2 - XY - 1 - X - 1 Y - 1 . 20 世纪末 ,这样的一个新不变量已经被 中有广泛应用 . 参考文献 : 找到 ,它不是一个多项式 , 而是一个数 . 令人 感兴趣的是 , 它竟源于经典物理学中的 “能 量” 概念 . 1987 年 , 日本数学家福原提出了这样一 [1 ] 　В Г 巴尔佳斯基等 . 拓扑学奇趣 [ M] . 裘光明译 . 北 . . [2 ] 　 数学百科全书编译委员会 . 数学百科全书 ( 第 3 卷 ) [M] . 北京 : 科学出版社 ,1998. 种设想 : 假定一个纽结是由一条一定长度的 柔软的线首尾相接而形成的 , 这条线上带有 分布均匀的同种静电荷 ; 根据同性电荷相斥 的原理 ,纽结的任何一部分都会尽量远离其 [3 ] 　 斯蒂芬? 巴尔 . 拓扑实验 [ M] . 许 　 明译 . 上海 : 上海教 [4] 　 王敬庚 . 从一个线绳魔术谈纽结 [J ] . 科学 ,2002 (5) . [5 ] 　吴振奎 , 吴 　　 . 数学中的美 ( 第 2 版) [ M] . 上海 : 上 ? 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ( 11658) E 个 . 显然 ,把能量作为纽结的拓扑不变量 ,开辟 令人不解的是 : 新的不变式如此简单而 我们还想指出 : 纽结的分类问题是一类 京 : 北京大学出版社 ,1987. 育出版社 ,2002. 海教育出版社 ,2002. http://www.cnki.net