第%卷第9期 高 能 物 理 与 核 物 理 v01.26,N0.9
2 9月 HIGH ENERGY PHYSICS AND NUCLEAR PHYSICS Sep- , 2002
1(西北大学现代物理研究所 西安 710069)
2(中国科学院近代物理研究所 兰州 730000)
摘要 通过引入等效普朋克常数,将量子系统中基本动力学变量的期望值和经
典系统中基本动力学变量的精确值的时间演化行为相比较,分析了两者产生差
异的因素,规则运动主要是和量子效应有关,而混沌运动则是和动力学效应有
关,即与系统的动力学对称性破坏相联系. 在此基础上,比较了量子相空间测不
准度和李雅谱诺夫指数,给出 了令人满意的说明.
关词 量子混沌 量子经典对应 等效普朗克常数 量子相空间不均匀度
1
近年来人们通过对与经典混沌系统相对应的量子系统的研究,已经对经典混沌在量
子系统中的表现有了一定的认识,并试图寻找与经典物理量相对应的、能够描述量子系统
混沌行为的物理量,己取得了初步的成果唧. 按照玻尔的对应原理,在普朗克常数趋于
零时,量子力学的结果应该趋向于经典结果. 而在普朗克常数不为零时,量子力学结果既
与普朗克常数的大小相关又与该系统本身的动力学性质有关,因此在与经典系统进行对
应时有必要清楚在量子经典对应中哪一种因素起了主导作用,之后才可能与相应的经典
物理量进行对应. 而这一问题在以往的文献中井没有十分明确指出.
本文通过引入等效普朗克常数山 ,在等效普朗克常数取大小不同的数值时 ,将量子力
学的结果与经典力学的结果进行了比较,从而指出了导致它们之间产生差异的因素0 并
在此基础上,比较了可量度波包在相空间中运动行为的量子相空间不均匀度山和表征经
典混沌运动的李雅普诺夫指数,结果符合很好0
2 量子经典对应中 的量子效应和动力学效应
二维形变谐振子系统的哈密顿量可写为
2001-10 -19 收稿 ,2001 - 12 _ 26 收修改稿
* 国家 自 然科学基金仇0175傀2) ,中 国科学院知识创新工程重点方向性项 目 (IUCX2-SW-N02) , 中 国科学院百人计
划经费和 973 国家重点研究发展规划项 目 (G20000774001)资助
949-954
其中 p 是系统的总动量,b 等于 0.5. 该哈密顿系统可认为是由一个二维谐振子系统 H0
附加一个形变项得到,通过改变形变强度 A 的取值,该系统可以由完全规则变成完全混
沌U卅- 当 ,1 =0.1,\c 时,系统完全规则;当 久 :0.95/ic 时,系统完全混沌- AC 是势场开放
至无穷远时形变强度 A 的取值,汨z1.矾.
按照玻尔的对应原理,量子力学的经典极限结果应该与经典力学的结果相对应,但是
如何实现这一对应原理, 目前还没有一个被大家所普遍接受的方法. 最近徐躬耦先生通
过提出等效普朗克常数对解决该问题进行了探索. 本文引入我们所研究的系统的等效普
朗克常数,在等效普朗克常数取大小不同值时,选择二维谐振子系统 H0 的相干态为初始
态,计算了基本动力学变量 P, Q 的期望值随时间的演化,并和从相干态波包中心出发的
经典粒子的运动行为进行比较,分析了两者产生差异的原因所在.
选择频率为 w0、质量为 m 的谐振子系统为参考系统并进行坐标变换,取/鬲鬲,
窨 /志和愕措分别为 删 和2 的单位,则m式就可以表示成无量刚的形式
(20)
可以看到 ,经过坐标变换后,物理量量扮演了等效普朗克常数的角色. 而且不同 m,
952 高能物理与核物理(HEP&NP) 第26卷
经典物理量之间的差异不是由于量子效应导致. 我们知道,当波包起始于相空间中的混
沌区域时,在波包随时间演化的初始阶段,波包指数型地扩散,波包的动力学对称性被破
坏,动力学变量的期望值指数型地衰减趋向于一渐进值川. 因此,A% 主要是由动力学效
应产生的,这样反映波包随时间指数型扩散特征的物理量可与经典系统中反映相空间拓
扑结构被破坏,相邻轨道指数型分离的经典物理量相对应. 在等效普朗克常数趋于零时,
波包的运动应该与相空间中的一束相轨道对应.
顾雁通过对维格纳分布函数皿 进行粗粒化从而引入了相空间分布不均匀度山 ,指出
量子态的相空间不均匀度与描述经典混沌运动的李雅普诺夫指数之间存在对应关系. 下
面给出我们的数值计算结果.
3 量子相空间不均匀度和李雅普诺夫指数
为使量子力学能够像经典统计力学描述系综的相空间分布运动那样来描述量子系统
的运动 ,Wigner 引进了描述量子系统状态的相空间分布函数山. 顾雁基于 wigner 分布函
数推导出了几率密度不均匀度,并给出了其与李雅普诺夫指数之间的对应关系. 下面,首
先对推导过程作一简单的介绍. 从 wigner 函数 W(x)的粗粒化函数
N 为系统的 自 由度. 可以证明 ,妞子任何哈密顿系统,系综分布不均匀度 h 随时间的增长
与系综轨道的李雅普诺夫指数之间存在下面关系:
式中 LE1(x)是过 x 点轨道的第~ (即最大)李雅普诺夫指数, A 表示相空间 中
|V p0(x〉 i不为 0 的区域,唧 表示在测度意义下对 x 求极大. 由于具体计算中等效普朗
克常数的存在,因此时间不可能趋向无限大,只能限制在对数时障”〕内.
图 3 绐出了形变强度 久/入C 等于 0.1 和 0.95,等效普朗克常数盖等于 1.0,波包起始
于相空间中一点(趴p, ;z,pz = (0.0,3.78;2.0,0.0)时,量子非均匀度对数值 lnh 随时间
t的演化关系. 可以看到在 A/Ac 等于 0.1 时,此时系统规则,李雅普诺夫指数为 0,lnh
随时间振荡型地增大、减小,虽然没有保持在~稳定值,但增长极慢. 由图1可知,这种
偏差主要是由于量子效应导致,当等效普朗克常数岩趋于 0 盯,两者可保持一致. 在 入/
第9期 刘芳等:二维形变谐振子系统中的子经典对应 953
XC 等于仪95时Jnh 在对数时障内 随时间
4
指数型地增长至一极大值,然后保持在该 峒1
值附近做小范围振荡,这是测不准关系的 3
直接结果. 2二
图4 中实线给出对数时障内 1nh 随时 .
间的变化曲线,虚线表示对该曲线进行拟合 1 涮uu魄Jw魄M
后得到的结果,得到量子相空间测不准度随
时间的增长率大约等于0.9. 图5给出了经
典系统中李雅普诺夫指数随形变强度变化
的图形. 图中李雅普诺夫指数随形变强度
显示出先增太后减小,而不是单调增加的这
种特征作者还在进一步的研究之中,但图5
的结果与量子结果符合很好,这里仅绐出
入/入c 等于 0.95 时的结果. 在形变强度 入/入c
等于095时,经典系统的李雅普诺夫指数
约为0A. 比较两者结果,得到量子相空间
测不准度随时间的增长率约为李雅普诺夫
指数的2倍,与式(7〉符合很好.
nh
Q
O
20 40 60 80 l 00
I
图 3 义/久c 等于 0.1 和 0.95,等效普朗克
常数为 1.0 时,量子非均匀度对数值 lnh
随时间 v的演化关系
通过引人了形变二维谐振子系统的等效普朗克常数,在等效普朗克常数取大小不
同的值时,比较了量子系统中基本动力学变量的期望值和经典系统中动力学变量的精
确值的时间演化行为. 指出在规则系统中,它们的差别主要是由于量子效应所导致,当
等效普朗克常数趋于0时,量子效应也随之趋于0,动力学变量的期望值随时间的演化
对应于同一点出发的经典粒子的相空间轨迹. 并指出正是由于量子效应导致了规则系
统中量子相空间不均匀度和经典李雅普诺夫指数间出现的偏差. 在混沌系统中 ,波包在
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相空间指数型扩散则反映了系统动力学对称性的破坏,描述量子波包在相空间中指数
型扩散行为的物理量可与描述经典系统动力学对称性被破坏,相空 间 轨道指数型分离
的物理量相对应. 等效普朗克常数趋于 0 时,波包的时间演化行为与相空间中 的一束相
轨道相对应,描述波包指数型扩散的相空间不均匀度数值与李雅普诺夫指数符合很好.
作者感谢徐躬耦先生在本工作 中所给予 的指导.
参 考 文 献 ( Referelmes)
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Quantum Classical Correspondence in a 2-Dimensional
Deformed Harmonic Oscillator System *
LIU Fangl LI Jun-Qingz XING Yong-Zhongz
1(lnstitute of Modem Physics, Northwest University, Xi'an 710069, China)
2(lnstitute of Modem Physics, The Chinese Academy of Sciences, Lanzhou 730000, China)
Abstract The time evolution of expectation values of the basic dynamic variables in a quantum sys-
tem under different effective Planck constant were compared with the exact values of the basic dynam-
ic variables in classical system. It is found, for the regular motion, the difference comes from the
quantum effect; for the chaotic motion, it comes from the dynamical effect and the destruction of the
dynamical system. With these results, a correspondence between the quantum heterogeneity of the
phase space and the Lyapunov exponent is made satisfactorily.
Key words quantum chaos, quantum classical correspondence, effective Planck constant, quantum
heterogeneity
Received 19 October 2001 , Revised 26 December 2001
* Supported by National Natural Science Foundation of China (10175082) , CAS Knowledge Innovation Project (KJCX2-SW-
N02) , 100 Talents Programme of CAS and Major State Basic Research Development Program <G20000774001〉
