在根源上，几何由空间的不同物体间的“相似性”的概念组成。在19世纪晚期，相似性的概念通常由李群在空间上的作用给出。李群的作用通常

 

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henryharry2 2011-03-09 13:25 在超对称大统一理论里，引力以外的三种相互作用的强度，.在温度足够高的时候是融合在一起的。那么，引力作用的强度如何满 足这幅图呢？M理论出现之前，弦理论家可以证明，如果选择最简单的Calabi-Yau空间形态，引力作用差不多也能像图14.2那样与其他三种力融合。 弦理论家发现，通过小心选择Calabi-Yau空间形态(当然还有其他一些技巧)，可以尽可能避免偏离。但这样事后的调整并不能让物理学家们感到满意。 因为现在谁也不知道怎么准确预言Calabi-Yau空间的形态，依靠那些与具体形态细节强烈相关的答案是很危险的。 [attachment=2138] 然 而，Witten证明，第二次超弦革命提供了更强有力的答案。Witten考察了在弦耦合常数不一定很小的情况下，力的强度会有什么变化。他发现，引力的 变化曲线会像图14.2的虚线那样逐渐倾向于与其他力融合，不需要特别选择Calabi-Yau空间形态。尽管为时尚早，但这大概还是说明，在M理论的宏 大框架下，四种作用力的统一可能会更容易实现。 我们也有一种强相互作用中的M理论，并且如果庞加莱原理成立，引力确实会与其他三种力 融合在一起。我们的困难在于强相互作用中的很多概念都太“狡猾”了，从不轻易显示其庐山真面目——例如QCD理论中的强耦合常数和夸克的质量——现在又多 了个庞加莱原理以及(对合)超对称性。

 

henryharry2 2011-03-10 06:29 通过流形M上所有点的最大积分子流形的集合形成流形族，称为积分叶汇(foliation)。Frobenius定理指 出，当流形M上给定光滑分布，满足可积条件的分布一定是对合分布。对称空间M在等长群作用下传递，而各点迷向群相互同构，记为H。H为G的闭子群，而流形 M可表示为M ≌ G/H，并且李群G具有对合自同构变换σ，σ诱导G/H的对合自同构是使G/H在原点为孤立固定点的对称变换。正因为对称空间具有以上特点，通常可将对称 空间定义为具有对合自同构的齐性空间，即由(G, H, σ)三要素组成。 手征对称场模型、自对偶Yang-Mills场、轴对称引 力场等均存在完全可积精确解。这些完全可积物理体系常可表达为对称空间场，即为取值在对称空间(G, H, σ)上的场论，这里σ为对合自同构算子。Schwarzschild解是广义相对论目前唯一经过实验验证的解，水星轨道的近动、光线在引力场中的偏折和双 脉冲星的引力辐射等都是基于Schwarzschild解的，Schwarzschild空间正是这种最大对称空间，量子细胞场论隐含了最大对称化条件， 从目前来说只有好处没有坏处，好处是量子细胞引力论的方程要简单得多；反正到目前为止没有人真正关心过爱因斯坦场方程的非对称解，更没有人想去验证非对称 解。因此就引力而言，量子细胞场论完全解释得通；巧合的是，看起来Yang-Mills场中目前经过实验验证的解也都是满足对合的可积条件的，因此到目前 为止，暂时还没有Yang-Mills场能解释而量子细胞场论无法解释的问题。

 

henryharry2 2011-03-10 08:17 Alain Connes的非对易几何出现在几种不同的量子引力方法中，包括弦理论和圈量子引力。“非对易”指量子理论的量由不能对易的对象来代表；量子理论的这种非 对易性密切关联着这样一个事实：不能同时测量一个粒子的位置和动量。它出现在其他纲领中的不同形式都是从概念的表面出发，例如将空间和时间的坐标变成不对 易的量。      非对易几何的一个成功是它直接引出了粒子物理学的标准模型。正如Alain和他的同事们所发现的，当你将 Maxwell电磁学写成最简单的非对易几何形式时，统一电磁力和弱核力的温伯格-萨拉姆模型将自然出现。换句话说，弱相互作用连同Higgs场都将自动 显现出来。判断一个统一是否成功，就看它是否能立刻表现与自然的一致。Connes的简单思想出现了正确的弱力与电磁力的统一，这是很诱人的结果。弦理论 本该出现这样的东西，可惜没有。 非对易几何导出了中间矢量玻色子的质量是一种磁效应，当然，非对易几何没有考虑轴矢量，所以仍然需要Higgs粒子；我们比非对易几何又前进了一步，由于考虑了极矢量和轴矢量的对偶性，现在连Higgs粒子也不需要了就可以导出中间矢量玻色子的质量。

 

henryharry2 2011-03-10 08:40 广义相对论循着一条途径来决定引力对一般物理系统的影响，先写出没有引力制约该系统时的狭义相对论性方程，然后把所有 Lorentz张量换成在一般坐标变换下具有张量性质的对象；此外，把所有导数换成协变导数，并将闵可夫斯基度规换成弯曲度规gμν，于是运动方程就是广 义协变的了。这种方法仅仅适用于在Lorentz变换下具有张量性质的对象，而不适用于旋量场。从数学上说，一般线性群GL(4)的张量表示在 Lorentz变换的子群下具有张量性质，却不存在Lorentz子群作用下具有旋量性质的GL(4)的表示。 可以通过研究决定引力 对物理系统影响问题的另一条途径将旋量纳入广义相对论，即使完全撇开处理旋量的问题，这条途径本身也是很有意义的。首先让我们利用等效原理，在每一点X建 立一组坐标，它在X处为局部惯性系；在每个物理点X，我们一下就固定了局部坐标，标架的四个分量构成了四个协变矢量场而不是一个张量，这四个矢量的集合叫 做标架。给定任一逆变矢量场以后，可以用标架将它在x点的分量变换到x点的局部坐标系，其效果是把一个四维矢量换成四个标量；我们可以对协变矢量场，实际 上也可以对一般张量场如法炮制。 我们既已阐明怎样把任一张量场化为一组标量，就可以忘掉作为出发点的原来的张量；并考虑如果从标量开 始作起，我们该怎样来构造作用量了。借助这种办法，像Dirac电子场这样的旋量场可以用和任何其它场完全相同的方式纳入我们的表述体系，而它的特殊的 Lorentz变换性质不会产生特别的麻烦。在构造适当的物质作用量时，一定会碰到两个不变性原理： (1)作用量必须是广义协变的，除标架本身之外，所有的场都作为标量处理。 (2) 等效原理要求，狭义相对论应当在局部惯性系中成立，特别是我们在每一点选择哪一个局部惯性系应当无关紧要。这样一来，因为我们的标量场分量都是对于任意选 择的局部惯性系定义的，故在每一点都需要重新确定这些局部惯性系，换句话说，对于可能依赖于时空位置的Lorentz变换，场方程和作用量必须是不变的。

 

henryharry2 2011-03-10 08:41 这两个不变性原理导致了物理量的双重分类法；坐标标量或坐标张量在坐标系的变化下具有标量或张量的变换性质。 Lorentz标量或Lorentz张量或Lorentz旋量在局部惯性系的选择发生变化时按照矩阵法则变换，而无限小Lorentz群分别为恒等式或者 无限小Lorentz群的张量表示或旋量表示。为了在物理上可以接受，物质场的作用量必须既是坐标标量又是Lorentz标量。度规张量的坐标分量就是闵 可夫斯基空间的常数，由于需要在理论中引入导数，引力张量场出现在作用量里，这个作用量就自动地成为坐标标量和Lorentz标量；标架场必须以某种方式 进入作用量中，使得在包含导数的情况下，保持作用量是坐标标量和Lorentz标量。 爱因斯坦-嘉当理论(Einstein- Cartan theory)是理论物理学中将广义相对论延伸以正确处理自旋角动量。此理论以物理学家阿尔伯特•爱因斯坦以及埃利•嘉当(Élie Cartan)为名。作为古典物理中的主要理论，广义相对论却有一个缺点：其无法描述「自旋轨道耦合」(spin-orbit coupling)，亦即内禀角动量(intrinsic angular momentum)(自旋)与轨道角动量(orbital angular momentum)间的交换。存在有定量的理论证明，其显示：当物体具有自旋性质时，广义相对论必须要扩充成爱因斯坦-嘉当理论。广义相对论无法描述自旋 轨道耦合的理由根源于黎曼几何，而广义相对论是建构于其上。在黎曼几何中，里奇曲率张量(Ricci curvature tensor) 必须是对称的。因此爱因斯坦曲率张量(Einstein curvature tensor) 也必须是对称的。在广义相对论中，爱因斯坦曲率张量为局域重力建构了模型，且其(透过重力常数的联系)等同于应力-能量张量或能量-动量张量（此处我们将 能量-动量张量表示为P，是因为广义相对论中常用来表示能量-动量张量的T在爱因斯坦-嘉当理论留给仿射扭率(affine torsion)。）爱因斯坦曲率张量的对称性强迫动量张量必须是对称的。然而，当自旋与轨道角动量进行交换时，根据角动量守恒的广义式，则知动量张量为 不对称的，因此广义相对论无法适当地为自旋轨道耦合建构模型。 于1922年，埃利•嘉当提出猜想认为广义相对论应该被延伸成包括仿射 扭率(affine torsion)，其允许里奇张量可以是不对称的。虽然自旋-轨道耦合是重力物理学中相对次要的现象，爱因斯坦–嘉当理论则相当重要，因为(1) 其显示出仿射理论，而非度规理论，对于引力能提供更好的描述；(2) 其解释仿射扭率的意义，在一些量子引力理论中自然出现；(3) 其将自旋诠释为仿射扭率，在几何意义上是时空介质的位错场(field of dislocations)的一项连续近似。将黎曼几何扩充以包含了仿射扭率则称为黎曼-嘉当几何(Riemann-Cartan geometry)。

 

henryharry2 2011-03-11 06:53 我们现在来谈谈Klein思想在几何方面以及物理学方面的重要性。对于Klein而言，几何就是齐性空间，在那里，物体可 以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的。Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群。于是每一个齐性几何 对应一个不同的李群。但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且 空间不再有整体对称性。 然而，李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现在一种无穷小的层 面上。于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体。这个理 论是被Elie 嘉当真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Einstein的相对论也起着基本的作用。当然Einstein的理论极大地推动了微分几 何的全面发展。 如果你实施一个坐标变换，就可以用几何的观点来描述电磁力和牛顿引力；详情请参见温伯格的《引力论与宇宙论》。假设我们讨 论的电磁力和牛顿引力都是吸引力，那么这两种吸引力分别服从双重椭圆几何和单重椭圆几何定律；因此，极矢量与轴矢量的对偶性实际上就是双重椭圆几何与单重 椭圆几何的对偶性。另一方面，椭圆几何群对应着一个李群，这就同杨-Mills规范场有了联系，因为杨-Mills规范理论中，规范群正是一个半单李群。 这种观点是有物理上可观测效应的。考虑质子和中子之间的同位自旋，在Klein的单重椭圆几何的模型中，我们可以认为质子和中子是边界上直径相对两端两点，而边界上直径相对两端两点又必须看作是同一个点；这样就可以很自然地得出同位自旋和同位角动量的概念来。

 

henryharry2 2011-03-11 12:37 狭义相对论告诉我们，沿着一束光以与光传播速度相同的速度运动是不可能的；相对于某个选定的惯性系，原则上你能够使你的速 度尽可能地接近光速，但到达不了光速——但是不论你多么地接近光速，当你测量光束本身的速度时，你总是得到c。在我们讨论克雷默的思想之前，用几何的观点 讨论一下相对论的意义；牛顿时空是一种绝对时空，有一个绝对的坐标原点，得出光速可变的结论。因此需要抛弃坐标原点，才能得出光速不变的结论；我们知道， 仿射空间中确实不需要绝对的坐标原点。事实上，我们已经证明过罗伦兹群确实是一个仿射群；仿射空间中有相对坐标原点，实际上，相对坐标原点即是代表粒子的 粒子性的坐标原点。 这自然地引出了量子化的过程，以三维仿射空间为例，表示一个矢量需要三个维度，表示坐标原点也需要三个维度，如果将仿 射空间嵌入到矢量空间中，就只能嵌入到一个六维的相空间中，与哈密顿原理相仿；这样，坐标空间与动量空间是对偶的，这正是矩阵力学的基本原理。这样，从相 对论原理我们也可以导出量子力学的基本假设。 不仅如此，有两种在仿射变换下保持不变的坐标系，一种类似于正、反粒子之间的对称性，另外一 种是质心坐标系，Dirac理论只考虑了第一种情况，而忽视了第二种情况；这说明狭义相对论也可以扩充，那么这第二种相对论不变性有什么现实意义呢？看起 来有许多物理实验都证实这种不变性确实存在。首先，如果质心不变性成立的话，才可能有弦的存在，一根弦连接的正反两个夸克；用仿射几何的话说，正是正、反 粒子对称性再加上质心坐标的不变性。 其次，这暗示除了正、反粒子之间的湮灭外，还可能存在另一种方式的湮灭。也许，轴矢量场允许以一种质 量不对称的方式湮灭；以地球和月亮为例，相对而言，假设地球是正能态，由于吸引相互作用，可以认为月亮是负能态，通常情况下这种质量不平衡的正、负能态不 会湮灭。可是在黑洞那种极端引力场的情况下，质量不对称的湮灭很可能在黑洞视界上发生，可能这种湮灭只发生在某种特殊类型的黑洞上。看起来，天文学中已经 有不少观测事实支持这种理论，如果不存在某种强烈的湮灭过程的话，很难解释类星体、射电星系和超级γ射线的能源之谜。而直接的正、反粒子湮灭也不太可能， 因为宇宙中没有那么多的反物质，剩下唯一的可能性就是这种质量不对称的湮灭方式；你不用怀疑这种质量不对称的湮灭的可行性，其实弱相互作用就可以看成是一 种质量不对称的湮灭过程。

 

henryharry2 2011-03-11 15:14 1952年，约斯特和派斯注意到一条新的选择定则，它是以同位自旋和电荷共轭不变的有效性为基础的，此外并不需要其他什么 假设。它的最简单的(但不是最普遍的)表达是，偶数个中性π介子不能转变为奇数个中性π介子，反过来也一样。以上论点十分重要，这也可以用一种特别的理论 来解释，虽然没有那么容易：一个介子场的轴标量同位自旋三重态与核子的轴标量耦合。这里算符(正π,负π)产生(正π,负π)介子，并且湮灭(负π,正 π)介子；而π3则同时包含中性π介子的产生和湮灭项。在电荷共轭变换C下；C就是对同位自旋空间中的13平面的一种反射。 绕同位自旋空 间1轴旋转180°(操作R1)，然后，再一次运用公式。上面提到的结果表明，在乘积操作CR1下，π3→-π3。于是，中性π介子的规则结合电荷守恒就 意味着，不管是什么电荷，偶数数目的π介子不能转变为奇数数目的π介子。接着，米歇尔(L. Michel)指出，能够用在C乘上R2(绕同位自旋空间2轴的一个180度旋转)下的不变性表示这种变换，其作用是使所有电荷的π→-π，他把CR2变 换用于具有确定自旋-宇称的初态的核子-反核子湮灭。李政道和杨振宁也这样做了，他们为这样的操作起了一个现在通用的名称：G宇称。 Klein 对非Euclid几何的另一项贡献是这样的研究结果，即他观察到有两种椭圆几何，据他说这结果于1871年(Math Ann. 4, 1871, 604.)第一次得到，但发表于1874年。在二重椭圆几何中，两个点并不总是确定唯一的直线；在球面模型中当两个点在直径相对两端时这是很明显的。第二 种椭圆几何称为单重椭圆几何，在这种几何中两个点永远确定唯一的一条直线。

 

henryharry2 2011-03-11 15:16 从微分几何观点来看，正的常曲率曲面上微分型ds平方(用齐次坐标)。在两种情况下都是a平方>0。然而，在第一类 中测地线是有限长度2π/a的曲线，若半径为R，则此有限长度为2πR，并且是封闭的(回到它们自己)。在第二种类型中，测地线长为π/a或πR，并且仍 然是封闭的。 有单重椭圆几何性质的一个曲面模型是Klein提出的，这是个半球面，包括其边界；然而，边界上直径相对两端的任两点必须看 作是一个点；在半球面上的大圆弧是“直线”或是这个几何的测地线，内面上的普通角是这种几何的角。于是单重椭圆几何(有时称为椭圆几何，那时二重椭圆几何 称为球面的几何)也可在正的常曲率空间实现。 在这个模型中，至少在三维空间内我们不能把视为等同的这样两点实际连成一点；这种曲面将自 交，并且曲面上重合于自交交点处的点将看作是不同的点。单重椭圆几何的半球面模型不能在三维Euclid几何中实现，但它能在四维Euclid几何中实 现。我们一直认为极矢量和轴矢量的对偶性正是单重椭圆几何与双重椭圆几何的对偶性，现在看起来情况确实如此，从电子的自旋到G宇称都反映了这个事实，这一 点在G宇称中反映的特别明显。事实上，如果你将米歇尔的思想翻译成几何的语言，就是指的单重椭圆几何与双重椭圆几何的对偶性。

 

henryharry2 2011-03-14 06:33 可以预料相似变换群等概念是统一场论的基础，有必要了解一下。射影群的一个子群是一族仿射变换，这个子群定义如下：设在射 影平面上固定任一无穷远直线，无穷远直线上的点称为理想点或无穷远点。任何度量几何群，除了变换行列式的值必须是+1或-1外，和仿射群相同。第一个度量 几何是Euclid几何，要定义这种几何群，我们从无穷远直线开始，并假设在无穷远直线上有固定的对合变换；我们要求这个对合变换没有实的二重点，而以无 穷远处的虚圆点作为二重点。现考虑所有那样的射影变换，它们不仅使无穷远直线不变而且把对合的任何点变到对合的对应点，此即蕴含每个虚圆点变到自身。 Euclid群的这些变换，不变的是长度、角的大小，任何图形的大小与形状。用这种分类法的术语来讲，Euclid几何就是在这类变换下的一组不变量；这 类变换是：旋转、平移和反射。 要得到关于相似形的不变量，我们引进仿射群的子群，名为抛物度量群；这个群定义为一族射影变换，它使得 无穷远直线上的对合不变，这就意味着每一对相应的点变到相应的另一对点；Euclid几何是抛物度量几何的子几何。要刻划双曲度量几何，我们再回到射影几 何，在射影平面上考虑一个任意的、实的、非退化的绝对形；射影的子群使这个二次曲线不变的叫做双曲度量群。即使二重椭圆几何也能包括在这种变换观点之内， 但我们必须从三维变换群出发来刻划二维的这种度量几何。 变换下不变性的物理问题，或者物理定律的表达方式不依赖于坐标系的问题，在人们注意到Maxwell方程经典仿射几何的四维子群，即Lorentz群变换下的不变性之后，在物理思想中都变成重要；这种思想路线引向狭义相对论。

 

henryharry2 2011-03-14 07:03 在根源上，几何由空间的不同物体间的“相似性”的概念组成。在19世纪晚期，相似性的概念通常由李群在空间上的作用给出。 李群的作用通常是非常刚性的，所以嘉当几何是这种相似概念的一个推广使得曲率得以出现。当然，一个平坦的嘉当几何是没有曲率的几何。从平坦的情况开始，我 们用一般性的形式化数学术语描述嘉当几何是什么意思。爱尔兰根纲领主要处理拓扑群的齐性空间的研究，特别的，多数有用的几何(至少在19世纪和20世纪 初)刚好就是同胚于李群的李子群的商空间的齐次微分流形。正是继承自李群的微分结构给了这些齐次空间比一般的齐次空间更多的(微分类型的)结构。 嘉 当的一般方法是从一个李群G和一个李子群H开始，有一个H的右作用在标准同态的纤维上。可以表明，给定一个流形和一个M上的主H丛，若丛上给出一个形式w 满足这些条件，则该主丛局域同构于一个主齐次丛G→G/H的H丛。Maurer-Cartan形式的属性等价于建立这种同构的可积性条件。一个嘉当几何是 这个意义下的可积性条件的一种破坏，使得曲率得以出现。从齐次空间的基本数据开始，我们现在准备定义一个嘉当几何为这个结构的一个特定变形,使得曲率能够 出现。黎曼几何可以看作是欧氏几何的“变形”, 伪黎曼流形是闵可夫斯基空间的变形，配置了共形结构的微分流形(Weyl流形)可以视为共形几何的变形，一个配置了仿射联络的微分流形(但没有黎曼度量) 可以视为仿射几何的变形，等等。 物理中的例子有，若M为一四维流形而H为旋子洛伦兹群Spin(3,1), 则G可以是Spin(4,1)或Spin(3,2)；这分别对应于选择闵可夫斯基空间，de Sitter空间和反de Sitter空间。这些结构的弯曲对应物在广义相对论中很重要。(选择哪个群取决于宇宙常数的符号。)

 

henryharry2 2011-03-15 06:56 普通导数当然是坐标矢量，如果出现在作用量中的所有场都是坐标标量，那就会没有可以用来缩并协变指标的逆变指标了；所以， 为了使作用量成为坐标标量，必须引入标架场，并将导数纳入作用量中；不过纳入导数的作用量虽然是一个坐标标量，但在与位置有关的Lorentz变换下却没 有简单的变换性质；我们需要协变算符的形式把导数纳入作用量中，这种算符不仅是坐标标量，而且是一个Lorentz矢量。任何只包含场及其协变导数的作用 量，只要在普通的常数Lorentz变换下不变，就将自动地与局部惯性系的选择无关。 为了决定联络矩阵的结构，只要考虑无限接近恒等变换 的Lorentz变换就够了。总而言之，考虑引力对任何物理系统的影响可以采用规范场论类似的办法，先写出在狭义相对论中成立的物质作用量或场方程，然后 把所有的导数换为协变导数，由这种方法得到的物质作用量或场方程在任意坐标变换下是不变的，其中标架场可看成四维矢量而所有其它的场看成标量，而且也与定 义标架时我们如何选择局部惯性系无关。下面我们以切向量的平行输运为例来说明自旋联络的几何意义，并将它与非Abel规范场进行类比，表明广义相对论中局 域Lorentz不变性与非Abel规范对称性的相似性。联络矩阵可以表示为： Ωik = dωik + ωi∧ωk 此 式很像Yang-Mills场的场强表达式F = dA + A∧A，由上述类比可看出，在广义相对论中为保证局域Lorentz变换的不变性，需引入自旋联络ω，ω相当于O(n)规范场势，而相应的曲率形式Ω相当 于O(n)规范场强。当然，你也可将这一相似性看成是极矢量与轴矢量之间的对偶性。

 

henryharry2 2011-03-15 15:56 从Desargues到Chasles，射影几何里用了长度的概念；事实上，交比的概念就是用长度定义的；但长度不是射影 概念。Von Staudt决心使射影几何摆脱对长度和叠合的依靠；他的方案在他的《位置的几何学》中提出，他的方案叫做“投的代数”；在直线上任选三个点，给它们指定 符号0、1、∞，然后用一种来自Mobius的几何作图法：“投”，给任意一点配上一个符号。在综合几何学家们发展射影几何学的同时，代数几何学家们沿用 自己的方法也研究这同一个学科，新的代数概念中最早的是现在所称的齐次坐标；方案之一是Augustus Mobius创立的。Plucker也引进了齐次坐标，利用齐次坐标，Plucker给出了无穷远线、圆上无穷远点以及其他概念的代数表述。在齐次坐标系 (x,y,z)中，无穷远直线的方程是z=0；这条线在射影几何里并不是异常的，但是在我们关于几何元素的Euclid模型中，我们不得不把z=0上的点 看成无穷远的。 齐次坐标在量子细胞场论中扮演了重要的角色；在引进齐次笛卡儿坐标后，由于无穷远直线的方程是z=0，所以这条线与圆 的交点乃是圆上的无穷远虚圆点；这两个虚圆点的坐标是(1,i,0)和(1,-i,0)，它们被解释成正电荷与负电荷。同样，虽然磁单极子并不存在，我们 却可以给出“磁荷”的准确定义，在射影几何中有两条线互相垂直的定义，通过电荷与“磁荷”的两条射影直线就是互相垂直的。齐次坐标消除了对量子场论中量子 真空态的依赖，实际上，齐次坐标起的作用远不止代替量子真空状态这么简单；重子中的三个夸克是自对偶三角形的三个顶点，三个顶点分别代表三个坐标轴的无穷 远点，也是通过齐次坐标轴定义的。 不同于Kaluza-Klein理论中的第五轴，齐次坐标轴总是幻化于无形之中，达到了“无我”的 境界，有诗为证：“悄悄地我走了，正如我悄悄地来，挥一挥衣袖，不带走一片云彩!”也不同于量子场论中莫明其妙的真空态，齐次坐标轴是良定义的。由于在日 语中，“我”是用汉语“私”表示的，我们将齐次坐标轴的贡献比喻成一种“无私”的奉献。

 

henryharry2 2011-03-20 16:11 速度场的旋度，是流体角速度的量度。如果在速度场的任何地方放上微型叶轮，它的角速度度量了场的旋度。如果叶轮不转动，则 旋度在垂直于叶轮面方向上的分量为零。但是，尽管是直线流动，也可能有旋度。例如，在导管中流的水，由于摩擦效应，沿管壁流动的水要比中心的水流动得慢。 所以，即使水总是作直线运动，叶轮也会被水推转。另一方面，在曲线流动中，并不一定有旋度。如果把小叶轮放入一个经适当设计的“漩涡”里，其中流体速度与 到圆心的距离r成反比，这样的速度场在r≠0的所有点上，旋度都为零，小叶轮将不会转动。当然，叶轮仅适合于流体速度场，对于电磁场、重力场等等，就必须 想象出一种“广义的叶轮”、或者“旋度计”，用它来反映与我们所讨论的特殊向量场有关的力。 当然，用水流的类比来定义电磁场是行不通 的，由于流速与到圆心的距离成反比，距离圆心越近流速就越快，这显然有悖于常理。将粒子看成是量子细胞，同时引入射影空间的角度和长度概念，则可以很好地 解释旋度和散度的物理意义。假设电子由许多个“部分电子”组成，在前进的过程中，几个“部分电子”是齐头并进的，但是量子细胞有相位周期，所以“部分电 子”齐头并进的同时，会有旋度场产生。这也意味着，射影距离和角度是互相对偶的。 如果矢量场的散度等价于射影长度，则矢量场的旋度就 等价于射影角度。长度和角度的表达式里包含着绝对形的代数表达式，任一Euclid度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式；度量性质不是图形 本身的性质，而是图形相对于绝对形的性质；这是Cayley以一般射影关系来决定度量的思想；用Cayley的话来说：“度量几何是射影几何的一部分。”

 

henryharry2 2011-03-24 12:41 我们已经知道，线性洛伦兹群是紧致的SU(2)群。大家熟知SU(2)群存在2维表示，即其每个群元可以用2×2幺正矩阵 表示，例如用泡利矩阵；可以将每个群元用两个复数再加一个约束条件表示，再将每个复数用两个实数表示，则上述约束条件表示为四维时空中的单位球面S3。 SU(2)群流形是3参数李群，与S3微分同胚。注意到四维时空中单位球S3在SO(3)转动群作用下不变，而SU(2)群为SO(3)群的二重普适覆盖 群。 群流形S3为可平行化流形，三个Pauli矩阵展开组成群流形S3上正交活动标架，它们是SU(2)群流形上左不变1形式，满足Maurer-Cartan方程。n维李群是一光滑流形，而有时为了显示其形状，可再给群G度规结构；任意一个李群可存在多种度规结构。 和 乐群为恒等元的流形，称为可平行化流形，例如单Lie群流形是可平行化流形。可平行化流形上有n个处处非零的线性独立的切场，这是非常强的条件，许多流形 都没有如此好的特性。在n维单位球面中，仅有一维S1、三维S3和七维球面S7为可平行化流形；这是与复数、四元数、八元数的存在有关。单位复数的拓扑流 形为一维球；单位四元数的拓扑流形为三维球面S3，为SU(2)群流形；单位八元数的拓扑流形为七维球面S7。

 

henryharry2 2011-03-24 15:00 正如侯伯元、侯元宇在《物理学家用微分几何》中总结的，从微分几何观点看，场就是纤维丛的截面。纤维丛上截面是流形上函数 的推广，函数是可微分的，而对纤维丛上截面进行微分，必须约定各纤维与其邻近纤维间关系，必须引进联络。含有联络的协变导数是使截面映射到截面的线性微分 算子。规范场强F与规范势A之间的关系同纤维丛曲率与联络间关系完全相当。即规范势A相当于联络，规范场强F相当于曲率。 一般来说，一个量子动力系统由在任何一点耦合的物质场和相互作用场组成；比如，电子场与电磁场的耦合。而在数学上，这个系统就由主丛和它的伴矢丛组成，前者代表相互作用场，后者代表物质场。相互作用势，比如像电磁势，是由主丛上的纤维上的联络表示。 规范场术语 丛术语 规范(或整体规范) 主坐标丛 规范类 主纤维丛 规范势 主纤维丛上的联络 规范变换S 变换函数 相因子 平行位移 场强 曲率 源 无穷远点 极电磁作用 U(1)丛上的联络 张量轴电磁作用 ? 丛上的联络 同位自旋规范场 SU(2)丛上的联络 牛顿轴电磁作用 非平凡U(1)丛上的联络 事实上，正是规范场论的成功和其丛理论形式化体系的发现，人们发现可以从流形的观点来重新考虑各种物质结构理论，如由杨振宁和吴大峻早在1975年的《不可积相因子的概念以及规范场的全局表示》中就列出规范场和纤维丛的对应。

 

henryharry2 2011-03-27 11:50 我们在这个框架中如何描述裸奇性和宇宙监督假设呢？首先，宇宙监督假设不应该排除大爆炸（否则的话，宇宙学家就陷入大麻烦 之中）。事物总是从大爆炸跑出来而从来不会落进去。这样，我们也许想把裸奇性定义成一根类时曲线既能进又能出的某种东西。那么大爆炸问题就自动被照应到。 它不能算成是裸性的。在这个框架里我们把一个裸的TIP 定义为包含在一个PIP 中的TIP。这本质是一个局部的定义，也就是说，我们不需要观察者跑到无穷去。后来发现（彭罗斯1979），如果我们在定义（排除裸的 TIF）中用“未来”来取代“过去”，则得到在时空中排除裸的TIP的相同条件。这种裸的TIP（或等同的，TIF）在一般的时空中不发生的假设被称为强 宇宙监督假设。它的直观意义是，一个奇性点（或无穷点），在这儿是TIP 不能随意地在时空的中间“出现”，使得它可在某一有限的点，在这儿是PIP 的顶点上被“看到”。由于我们在给定的时空中也许不知道是否真的在无穷，所以观察者不需要在无穷是有意义的。此外，如果强宇宙监督假设被违反了，我们可以 在有限的时间，观察到一个粒子真的落入到一个奇点去，在奇点处物理定律不再有效（或者到达无穷，这也一样糟糕）。我们可以用相同语言来表达弱宇宙监督假 设：我们只需要用∞—TIP 来取代 PIP 即可。 上面是彭罗斯的观点，实际上无论是大爆炸还是黑洞的奇点都是广义相对论的绝对时 空观导致的病态的结论。简单分析一下就知道奇点不会产生，按照质能关系式，黑洞携带的能量与其质量成正比，如果有奇点，则黑洞的内能为无穷大，而如果按照 对合原理，黑洞的能量是有限的。我们知道，质能关系式经过了无数次的验证，而奇点没有得到验证；换句话说，对合原理一定是正确的。

 

henryharry2 2011-03-27 11:52 在相对论中，类光矢量开根号就是二分量旋量；这样就把时空几何和类光测地线在某个地方联系了起来。我们发现，牛顿引力的量 子化方案也可以被纳入到彭罗斯的旋量方案中，牛顿引力子以光速运动，当然也可以用类光矢量来表示。牛顿类光矢量开根号后，得到了正频率解和负频率解，这两 个解合并后就得到了牛顿引力子场。两个二分量旋量的外积是一个2×2的矩阵。 一个电子的自旋波函数空间是一个复二维实四维的空间，这是一 个Hilbert空间。在量子力学里一个物理态是一条射线，就可以模掉等价类。一个态φ与另一个态exp(iθ)φ是物理上等价的。它们之间只差一个相位 因子exp(iθ)，属于同一个等价类。所以一个电子的自旋态对应一个黎曼复数球面，也就是量子信息里的Bloch球面。也可以换个角度说明这个问题。 一 个电子的自旋态是两个复数，也就是四个实数，要求自旋态是归一化的，这四个实数满足一个三球面的方程。现在态已经归一化了，但还有一个相位U(1)的自由 度，也就是相位不定性，需要模去它。这个三球面模去U(1)正是二球面。倒过来说是，一个二球面上的U(1)主丛是一个三球面。二分量旋量背后的物理就是 这样，人们被迫走向黎曼复数球面，也就是复投影空间。

 

henryharry2 2011-03-27 11:53 相对论到底是什么呢？它一般被认为是以下三个理论：(1)时间和空间的理论；(2)能量和质量的理论；(3)引力与物质的理论。也许可以同时认为广义相对论是：(4)几何光学。几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说：光线从A点跑到B点，总花费最短的时间。 测 地线完全可以用几何光学来处理，你可以让光线在球面上传播，但是你知道光线很难沿着球面前进，如果可以，必须需要引力的作用，把光线限制在球面上——这大 约就是相对论了。费马原理天生就是一个相对论的理论，原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲，光子跑过的时间乘上光的速度，总等于它走过的路程。主要 的参考文献是彭罗斯和林德勒的《旋量和时空》，这需要很长的时间来阐释。我们绕过爱因斯坦，直接找到了彭罗斯。 在相对论历史上，存在一个 彭罗斯主义，这个主义的基本出发点是：“在四维时空，几何光线的切矢量是类光矢量，二分量旋量正好是类光矢量的平方根”。二分量旋量就是彭罗斯的广义相对 论。广义相对论中，虽然几何学反映物质的分布，但几何里含有更多的信息，这更多的信息就是引力。因为引力就是黎曼曲率，但黎曼曲率中真正反映物质的自由度 的是里奇张量，而反映引力自由度的是Weyl张量。总之，现在需要知道：(1)二分量旋量正好是类光矢量的平方根；(2)可以把所有的曲率张量写成简洁优 美的二分量旋量形式。

 

henryharry2 2011-03-27 11:54 克尔解与对电磁场和引力场(Weyl张量)的代数分类使得经典广义相对论在旋量语言下显得生机勃勃，数学也变得简单。钱德 拉塞卡在他后半辈子做的重要贡献，是在克尔时空中解出了Dirac方程。钱德拉塞卡相当于在天空中引进了超对称，这一切全可以用二分量语言重新描述或者证 明。1984年，彭罗斯和林德勒出版了《旋量和时空》的上册的第一本书，主要讲解二分量旋量，基本上奠定了经典广义相对论的格局。 二分量 旋量不是一个直观的概念，它不像矢量，矢量是既有大小又有方向的物理量。在量子力学里，描述一个电子的自旋态，就是一个二分量旋量。一个二分量旋量就是两 个复数(a,b)，可以写成一个列矢量。这里a和b全是复数，所以一个二分量旋量其实是四个实数。所有的二分量旋量就构成了一个矢量空间，这个矢量空间就 是旋量空间。 在这个矢量空间里，两个矢量之间依赖SL(2,C)群联系起来。或者说，给定一个固定的矢量和SL(2,C)群，通过这个群 的作用可以得到矢量空间。在这个矢量空间上还可以引进一个反对称的度量，或者叫辛度量，引进这个度量后，每一个矢量——也就是每一个二分量旋量的长度可以 算出来，全是0。如果从狭义相对论的角度推导出旋量，需要知道，光子所处的空间是一个仿射空间，只有当引入了(相对)坐标系后，才可以将一个仿射空间演变 成一个矢量空间。

 

henryharry2 2011-03-27 11:56 因为黎曼曲率可以被分解。彭罗斯把这分解写成科普的形式，让大家很容易记住：黎曼=里奇+Weyl。电梯里的一个气球，会 被引力的潮汐力(Weyl张量)拉成一个椭球面，原因是引力场不是完全均匀的。里奇张量在引力场中的效果是使得物体朝引力源下落，而Weyl张量使得物体 被拉伸，或者扭曲——这个就是潮汐力，它不是牛顿引力那样的平方反比的，而立方反比。 当然这是在四维时空中的情景，假如在二维或者三维时 空中(当爱因斯坦方程成立)，Weyl张量是不存在的。Weyl张量相当于真空爱因斯坦方程里出现的非线性引力子。爱因斯坦引力子是自旋为2的粒子，如果 按照彭罗斯的旋量写法，弯曲时空上的Weyl张量的旋量形式满足自旋为2的运动方程，所以Weyl张量可以被认为是爱因斯坦引力子。这是非微扰的看法，因 此，在共形平坦的时空，比如闵氏时空和(反)德西特时空就没有爱因斯坦引力子，原因是共形平坦的时空中的Weyl张量是退化的。 在平坦时空上讨论的引力子其实就是线性化的Weyl张量，这个张量与Weyl张量具有相同的对称性。因此，大致的说法总是对的：“Weyl张量几乎是表示引力子的最好的张量。”

 

henryharry2 2011-03-27 11:56 所谓Petrov分类，就是根据Weyl张量的代数性质对黎曼时空(引力场)进行的分类。要确定曲率张量的所有代数性质， 只讨论共形Weyl张量是不够的。由引力场方程可知，所要了解的曲率张量的性质由Ricci张量或能量-动量张量给出。但是在真空场的情况下，Weyl张 量便与曲率张量完全一致。因此，Petrov分类实际上是根据曲率张量的代数性质对真空引力场的分类。 什么是Weyl张量的代数分类呢？ Petrov用的是线性代数的方法，因为Weyl张量的下指标ab和cd是对称的，所以它可以被看成一个对称矩阵。一个矩阵无论怎么复杂，总可以讨论它的 本征矢量。Petrov只考虑它的类光本征矢量。当然，这四个类光本征矢量也有可能是重复的，或者找不到这样的类光本征矢量。以下的数字i表示i次重复的 本征矢量：(1,1,1,1); (2,1,1); (3,1); (2,2), (4); (退化)。(1,1,1,1)表示四个类光本征矢量互不相同，(4)表示四个类光本征矢量全都相同，依此类推，(3,1)表示四个类光本征矢量有3个重 合，另有1个与前面3个不一样。 以上五种情景就是Weyl张量的分类。对组合数学熟悉的人也许会惊讶，这不正是整数4的无序分拆吗？4= 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4。这些型号分别是：第一类，I型；最后一类，O型——Weyl平坦；(2,2)型叫做D型。史瓦西时空和 克尔时空全是D型时空。

 

henryharry2 2011-03-27 11:58 有了对Weyl张量的分类数学，人们才能很好地处理引力辐射问题。塞司得到了无质量场的剥皮(peeling off)定理，后来彭罗斯则用旋量语言很简单地重新得到了Petrov分类。Weyl张量其实对应一个自旋为2的旋量场。任何一个自旋为n的无质量场都可 以用2n个二分量旋量的对称直积来表示。在每一个时空点，这2n个二分量旋量——如果你还记得“旋量是类光矢量开根号”——对应2n个类光矢量，这些类光 矢量被称为这个自旋为n的无质量场的“主类光方向”。这些类光矢量在任一时空点的光锥之上。如果这些主类光方向全部重合，那么这个场就是类光的。 对 于Weyl张量，是自旋为2的场，它有四个主类光方向，Petrov分类说明了这四个主类光方向的重合情况。如果时空是Ricci平坦的，那么它可能是代 数特殊的。一个真空引力场称为代数特殊的，即Weyl张量不是I型或O型的，或者说Weyl张量的主类光方向有重合，那就是代数特殊的。Goldberg -Sachs定理从类光测地线汇可以推论出Weyl张量的代数性质。 Goldberg-Sachs定理是一个代数定理，它涉及Weyl张 量的代数性质。因为Weyl张量是一个具有四个指标的张量，比较复杂。Goldberg-Sachs定理说的是，非O型真空引力场是代数特殊的充要条件 为，它的主类光方向所定出的类光测地线是无剪切(shear-free)的。剪切是矢量场的畸变的对称无迹部分。扭转是矢量场的畸变的反对称部分。一个扭 转的但没有剪切的类光测线线汇被称为“罗宾逊线汇”，罗宾逊也到达了发现扭量的边缘。

 

henryharry2 2011-03-27 11:59 扭量理论差不多正好可以作为我们的量子引力的基础；当然，彭罗斯的观点和我们的观点在某些方面稍微有些出入。其中一点是配 对的问题，扭量理论是左右不对称的，而我们的理论是左右配对的；这一点不是大问题，因为扭量空间既然已经扭了，再多扭一步变成左右配对型的不是大问题；并 且将扭量理论从左右不对称变成左右配对型更有利于与广义相对论兼容，因为广义相对论就是左右对称的。 扭量理论的一个较大的问题是非线性和 非定域问题，这个问题已经解决，就是通过吸收体理论以及对合原理——也就是John克雷默的量子化方法——将广义相对论的绝对时空观改造成一种关系网络， 对此，圈量子引力在这方面已经做了很多工作了；只是圈量子引力是一种局域化的关系网络，而通过John克雷默的量子化方法我们将绝对背景时空改造成了一种 广域的关系网络。因此，非定域问题也不算是一个太大的问题。 扭量理论的最大问题是无法以自然的方式重新导出爱因斯坦方程，这一点也需要通 过对合原理解决。这个问题有一半的责任要归结于广义相对论的绝对时空观；出发点应该是Klein和Cartan的几何，好在扭量已经是生活在射影空间了， 这就为从Klein的观点融入引力打下了良好的基础。事实上，利用点线对偶性，从仿射变换来看，共形平坦的扭量是一种无穷远直线，相当于Cartan引入 的广义切空间中的一个切矢量。从广义相对论我们知道，如果流形上的每一点定义了一个切矢量，我们就可以定义一个流形上的切空间。

 

henryharry2 2011-03-27 12:00 我们真正要解完整的爱因斯坦方程（而上面的构造只解决了减缩的问题，由于魏尔张量的一半为零），但是这问题显然是困难的， 在过去的20年间许多尝试都失败了。然而，彭罗斯在前几年尝试一种新的方法（参阅彭罗斯1992）。虽然彭罗斯还没有解决这个问题，但是看起来是迄今最有 希望的方法。人们发现在扭量和爱因斯坦方程之中确有深刻的关系。 从下面的两个观察中可以看到这一点：1. 爱因斯坦真空方程Rab=0也是具有螺旋度s =3/2的零质量场的和谐条件（当该场按照势给出时）。2. 在平坦时空中s=3/2场的荷的空间刚好是扭量空间。大体上可以如下实现这个规划：给定一个里奇平坦时空（也就是Rab=0），人们必须去找在它上面的s 的场的荷空间（这不是轻而易举的事情）。这就是该里奇平坦时空的扭量空间。第二步是利用自由解析函数去建造这样的扭量空间。 最 后，在每种情形下从这个扭量空间重建原先的时空流形。彭罗斯预料到这个扭量空间不是线性的，因为当我们重建时空时，它必定域的，所以这种构造必然是以一种 微妙的方式高度地非定域的。可以预料到这有助于解释诸如在我上一次讲演（量子理论和时空）中讨论的爱因斯坦-帕多尔斯基-罗逊实验的非定域物理。这些实验 表明，在时空中距离遥远的物体可以某种方式相互“纠缠”在一起(我们通过庞加莱原理解决了这个问题)。

 

henryharry2 2011-03-27 12:07 四维空间——时间的曲率必须描写在任何地方在任何可能方向运动的粒子的潮汐效应。它的完整数学表达式由被称为黎曼曲率张量的量所给出。这个东西是有点复杂，在每一点具有二十个称作分量的数。不同的分量是在空间——时间中在不同方向上的不同曲率。黎曼曲率通常写作Rijkl。但是因为我不想在这里解释这些小指标的意义（事实上也不想解释张量的意义），我就简单地将它写作黎曼。 存在一种将此张量分解成两部分的方法，第一部分是魏尔张量，第二部分是里奇张量（各有十个分量）。此分解可表达如下：黎曼=魏尔+里奇。 （其 具体表达式在目前并不特别有用。）魏尔张量魏尔是测量我们自由下落的球面的潮汐畸变（亦即形状的初始变形，而非尺度的变化），而里奇张量里奇测量其初始体 积改变22。我们记得，牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量和这初始体积的减小成正比。粗略地讲，它告诉我们，物体的质量密度，或等效地能量密度（因为 E=mc平方）——应该和里奇张量相等。

 

henryharry2 2011-03-27 12:10 利用时间方向的反演，我们又类似地发现相应的初始的空间——时间奇性的不可避免性。这奇点在任何（适当的）膨胀宇宙中代表 大爆炸。此处奇点不代表所有物质和空间——时间最终的毁灭，它代表空间——时间以及物质的创生。在这两种奇点之间也许存在一个准确的时间对称：初始奇点， 空间——时间以及物质在该处创生；和终极奇点，空间——时间以及物质在该处消灭。在两者之间的确存在着一个重要的相似，但是在我们仔细考察之后，就会发现 它们并非准确的时间反演。它们的几何差异对于我们的理解意义重大，因为它们包含热力学第二定律起源的关键！ 让我们回到自我牺牲的太空人B 的经验上来。他遭遇到了很快就要增强到无限大的潮汐力。由于他是在空虚的空间中旅行，所以经历了体积守恒和畸变效应，后者是我早先表达成魏尔（见第五章） 的空间——时间曲率张量所提供的。空间——时间曲率张量中代表整体的压缩，并称作里奇的余下的部分在空虚空间中为零。也可能在某一阶段，B在事实上遭遇到 物质，但是甚至在发生这种情形时（毕竟他自身是由物质所构成的），我们仍然普遍地发现魏尔的测度比里奇大得多。我们预料，接近于最终奇点时的曲率完全是由 魏尔张量所主宰。一般地讲，此张量趋近于无穷大：魏尔→∞，（虽然它会以振荡的形态出现）。这是空间——时间奇点的一般情形。这种行为和高熵的奇点有关 联。 上面是彭罗斯的观点，广义相对论带来的病态的结论真是很多，庞加莱原理能够拯救广义相对论。事实上，利用线性量子场论，我们知道，Weyl曲率代表引力磁效应，最多也只能达到与里奇曲率(代表引力电效应)一样的程度，绝不会趋近于无穷大。

 

henryharry2 2011-03-27 12:14 把这个结果推广到一般维数的空间，当维数为6时，SO(2,4)的旋量表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，那么 扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？对应的关键在于把四个泡利矩阵写出来，然后把四矢量的第i个分量和第i个泡利矩阵相乘，求得得到一个4×4的矩 阵。现在，时空中的点由四个实数给出，而投影扭量空间以四个复数的比为坐标。 如果在扭量空间中由（Z0，Z1，Z2，Z3）代表的一 根光线通过时空中的点（r0，r1，r2，r3），那么它们必须满足投射关系，投射关系提供了扭量对应的基础。在这个对应方程里, Z0, Z1, Z2, Z3全是复数，所以一个扭量就是四个复数，扭量空间就是四维复平面，但考虑到等价类，就可以得到射影扭量空间，这与前面讲的电子自旋和黎曼球面是类似的。 对应方程，顾名思义是把一个时空点对应成为一个扭量，一个时空点在射影空间中被对应为一个黎曼球面，一条光线在射影扭量空间中被对应为一 个点。如果将扭量的波函数x+iy、x-iy改成p+ia、p-ia，其中p为极矢量、a为轴矢量，那么容易看出扭量支持极矢量和轴矢量的对偶性，一方面 波函数p+ia、p-ia遵守狭义相对论，并且是共轭波函数，同时符合相对论和量子力学。

 

henryharry2 2011-03-27 12:17 我们希望得到扭量的量子理论，为此我们必需定义扭量波函数，在扭量空间上的复值函数f(U)。由于U包含有涉及位置变量和 所有动量变量的分量，而我们在一个波函数中同时使用所有这一些，所以任意函数f(U)不能先验地作为一个波函数。位置和动量不对易。在扭量空间中其对易关 系是[U,Ū]=ħδ, [U,U]=0, [Ū,Ū]=0。螺旋度可表为s=UŪ/2。 现在我们必须检查前述的表达式如何依赖于算符顺 序。人们发现动量和角动量的表达式和次序无关，因而是正则地确定的。另一方面，螺旋度的表达式和次序有关，我们必须采用正确的定义。为此我们必须取对称的 积，也就是s=(UŪ+ŪU)/4。它在U空间表象中，可以重新表达成s=ħ(-2-U的齐次度)/2；我们能把波函数分解成s的本征态。 这 儿扭量U的复共轭为对偶扭量Ū；注意复共轭把带分号和不带分号的旋量指标相互交换，而且它把扭量和它们的对偶相互交换。这儿，s>0对应于右手粒 子，也就是我们当作扭量空间的上半部分，而s<0对应于左手粒子，即扭量空间的下半部分。正是在s=0的情形我们得到实际的光线，因而PN也即光线 的方程为UŪ=0。这样U和Ū为共轭变量，而波函数必须是其中的一个而不是两个变量的函数，这表明波函数必须是U的解析(或反解析)函数。

 

henryharry2 2011-03-27 12:19 这刚好是确定的齐次性的波函数。例如，零自旋并具有零螺旋度粒子是齐次性为-2的扭量波函数。一个左手自旋1/2粒子具有 螺旋度s=-ħ/2，因而其扭量波函数具有齐次性-1，而这种粒子的右手版本(螺旋度s= ħ/2)具有齐次性-3的扭量波函数。对于自旋2的右手和左手扭量波函数，其相应的齐次性为-6和+2。 这也许显得有些向一方倾斜，因为广义相对论毕竟是左右对称的。但是自然本身是左右不对称，所以这也不见得有那么坏。此外，在广义相对论中的一个非常强有力的工具，即阿什特卡的“新变量”也是左右不对称的。有趣的是，这些不同的方式都会导致这种左右不对称性。 人们也许认为，我们只要改变U↔Ū就能恢复对称性，填倒齐次性的表，然后对一种螺旋度用U，另一种用Ū。然而，正如在通常的量子力学中，我们不能同时混合位置和动量空间表象，类似地，我们不能混合U和Ū表象。我们必须二者择一。究竟哪一个更基本尚未知。

 

henryharry2 2011-03-27 12:22 下一步我们要得到f(U)的时空描述，为了方便，现在开始标记为f(Z)。这可由围道积分来实现此处积分是沿着投射到r 的Z 空间的围道进行(记住Z 有ω和π两部分)，而π或者α/αω的数目依场的自旋（以及手征）而定。这一方程定义了一个时空场φ|(r)，它自动满足零质量粒子的场方程。这样，扭量 场的解析性限制，至少对于平坦空间中的线性场，或者爱因斯坦场的弱能极限载有所有的零质量粒子的繁琐的场方程的密码。 时空中点r 在几何学上是一根扭量空间中的CP1 线（它是一个黎曼球）。这根线必须穿过f（Z）定义的区域。一般来说f（Z）不是处处定义的，而且具有奇性的地方（我们正是围绕着这些奇性区域对围道积分 求值）。在数学上更精密地讲，一个扭量波函数是一个上同调元。为了理解它，考虑我们感兴趣的扭量空间区域的开邻域的族。扭量函数应在这些开集对的交上被定 义。这表明，它是第一束上同调的一个元素。我不想仔细讨论这些，但是“束上同调”听起来怪吓人的。回想起我们真正需要的，是和量子场论相类似，找出一种从 场幅度分离正频和负频的方法。如果一个定义在PN 上的扭量函数（作为第一上同调元）延拓到扭量空间的上一半PT+，它就具有正频。如果它开拓到下一半PT-上，它便具有负频。这样，扭量空间就抓住了正频 和负频的概念。也可以划分成极矢量P±iA(轴矢量)的形式。 这种分解允许我们在扭量空间中开展量子物理。安德鲁•霍奇斯（1982， 1985，1990）利用扭量图发展了一种量子场论的手段，该图类似于时空中的费因曼图。利用这些，他得到某种非常不同寻常的使量子场论正规化的方法。这 是一些在正常时空方法中人们不想采用的方案，但在扭量表象中则非常自然。另一进展是，原先起源于迈克•辛格的一个新观点（霍奇斯•彭罗斯和辛格1989） 也受到共形场论（CFT）的刺激。史蒂芬在他第一次讲演中对弦理论进行了一些非常贬意的评论，但是我认为CFT，作为弦理论在世界片上的场论是非常漂亮的 （虽然不全部是物理的）理论。它是被定义在任意的黎曼面上（黎曼球是其中最简单的例子，但是其中包括所有一复数维的诸如圆环和“扭结麻花”的流形）。对于 扭量我们需要把CFT 推广到具有三复数维的流形，其边界为许多片PN（也就是时空中的光线空间）。这个领域的研究正在进行之中，但是还进展得不快。

 

henryharry2 2011-03-27 12:23 我们迄今所做的一切只和平坦时空相关，但是我们知道时空是弯曲的；我们需要一种扭量理论，它可适用于弯曲时空，并以自然的方式重新导出爱因斯坦方程。 如 果时空流形是共形平坦的(或者换句话说，如果它的魏尔张量为零)，则用扭量来描写这个空间没有任何问题，因为扭量理论基本上是共形不变的。还存在一些适用 于各种共形不平坦时空的扭量观念，譬如准定域质量的定义(彭罗斯1982；参阅托德1990)，以及伍德豪斯-梅森(1988；还可参见弗莱彻和伍德豪斯 1990)对稳态轴对称真空的构造(这是基于沃德1977 年的在平坦时空上反自对偶杨-米尔斯场的构造；还可参阅沃德1983)；这是应用在可积分系统的非常一般的扭量方法的一部分(参阅梅森和伍德豪斯的书 1996)。 然而，我们希望能够对付更一般的时空。对于一个具有反自对偶魏尔张量(也就是魏尔张量的自对偶一半为零)的复化(或欧氏化) 的时空M，存在一个构造——所谓的非线性引力子构造——能充分地讨论这个问题(彭罗斯1976)。让我们看这是怎么进行的。取一根线的管状领域，或者类似 的某些东西(例如上一半或正频部分PT+)组成的扭量空间的一部分，而且把它切成二个或更多个小块，然后把它们粘在一块，只不过相对之间移动一些。一般来 说，在原先空间P 中的直线在新空间p 中断开。然而我们能寻找新的解析曲线去取代原先(现在断的)直线，假定这些曲线光滑地接在一起。假定从P 到p 的变形不是太大，用这种办法得到的解析曲线和原先的线——属于同样的拓扑的族——形成一个四维的族。代表这些解析曲线的点的空间是我们反自对偶(复的) “时空”M。现在我们能把爱因斯坦真空方程(里奇平坦性)编码成p 必须是在投影线cp1 上的一个解析纤维化的条件(以及其他一些缓和条件)。只要把p 的P 变形表达成自由解析函数就可以达到这一切，而在原则上弯曲时空M 的所有信息都被编码在这些函数之中(虽然在p 中找到所需要的解析曲线可能是很困难的)。

 

henryharry2 2011-04-09 13:31 重正化群这一术语首先出现在1953年的论文中，虽然在重正化程序中引入的相反项的无穷大部分，是由消除发散的要求决定 的，但是有限的部分是可以改变的，它依赖于相减点的任意选择。然而，这种任意性在物理上是不相关的，因为不同的选择只是导致理论的不同参量化。1954 年，盖尔曼和Low在对量子电动力学短程行为的研究中，更富有成果地开拓了重正化不变性；我们就借用这一成果讨论量子细胞场论的标度行为。 被 测电荷是量子电动力学动量非常低时行为的一个特征，并且被测电荷能被参量族e(z)中的任何一个成员取代，它与齐次坐标z上的量子电动力学行为相关联。当 z→∞时，e(z)变为被测电荷，这里的无穷大只是一个表示并没有奇异性，当发生相互作用，也就是对合关系成立时，无穷大将被一个有限值取代。当z→0 时，e(z)变为“裸”电荷，也就是无穷远点。参量的标度依赖特征和不同重正化标度上的参量之间的联系，按照重正化群变换详加描述，并且此物理学的标度独 立特征在重正化群方程中得以具体化。 根据Wilson，量子场论中的不动点只是对量子电动力学中“裸”电荷条件的一个推广。在不动点 上，标度律或者是在Bjorken意义上保持有效，并且这个理论是渐近标度不变的。显然，如果一个给定场论的重正化群方程拥有一个稳定的紫外不动点解，那 么这个理论的高能行为还会造成任何麻烦；根据温伯格，这个理论可以叫做“渐近安全理论”。如果一个渐近安全理论拥有的不动点是高斯不动点，那它可能是一个 可重正化理论。量子细胞场论用“磁荷”代替了质量项，这另外一个无穷远点可以使量子细胞场论变成“渐近安全”的。温伯格指出，“渐近安全”的概念比可重正 化性的概念更为普遍，因此能用“渐近安全”的概念解释甚至取代可重正化性的概念；并且我们可以用加入了齐次坐标轴的量子细胞场论来支持他的观点；可见只要 能证明量子细胞引力论是“渐近安全”的，量子细胞场论就是完备的。

 

henryharry2 2011-04-18 11:08 在反演变换中，欧几里得平面上只有反演圆的圆心O没有反演点。为了避免这种例外，使得反演是整个平面上从点到点的变换，我 们可以扩充欧几里得平面，而假定存在一个单独的想象的点作为O的反演点。这个点叫做无穷远点，这样扩充的平面叫做反演平面。在配极变换中，欧几里得平面上 只有配极圆的圆心没有极线。为了避免这种例外，使得反演是整个平面上从点到直线的变换，以及直线到点的变换，我们可以扩充欧几里得平面，假定有一个单独的 想象的直线作用点O的极线。这条直线叫做无穷远直线，这样扩充的平面叫做射影平面。 于是，欧几里得平面有两种不同的，然而同样是合理的扩充方式。这个要紧的看法似乎远没有为大家广泛地了解。我们可以通过在空间中的考虑以及比较两种从球面到平面的最简单的映射，即球极投影和球心投影，进一步阐明这两种扩充的方式。 我 们知道，静电场中已经有了无穷大的困难，就是点电荷的无限大自能困难。要消除这个经典无限大，需要采取两个措施：(1)将点电荷作为无穷远点，将空间变为 增广欧几里得空间；(2)采用双重求和规则，也就是用双荷代替单荷。这样我们就得到一个逻辑上完备的经典电磁场理论。从上面我们对静电势能的分析上看，双 重求和不仅适用于双荷，也适用于很多个电荷的情况；双重求和尤其适用于轴矢量的情况，因为轴矢量中没有电荷正负极性的差别，因此总势能公式的形式更加对 称。

 

henryharry2 2011-04-22 13:41 我们从非平凡纤维丛的概念可以推导出牛顿引力。那么什么是纤维丛的概念?正确的讲法应该是：普遍的规范场等同于纤维丛上的 联络。给物理工作者介绍纤维丛概念的一个最简单办法是通过磁单极的概念。磁单极在物理上当然是很容易想象的，因为高斯定律跟库仑定律是多么相似。所以，在 18世纪，有人想到电的单极的时候就联想到磁的单极。到19世纪，通过安培定律和法拉第定律，知道电和磁是密切相关的。最后了解到一块磁铁有南北极，并不 是真有一个磁单极在那里，而是因为在磁铁内有电子在运动。从那时开始，物理学家一致认为世界上没有磁单极。到了1931年磁单极又被Dirac重新引入物 理学。 Dirac有一个非常巧妙的想法。他觉得如果世界上有一个磁单极，当然磁单极是很少的，但只要有一个的话，就可以解释为什么世界上 所有的电荷都是量子化的。就是说，电的单位要么是e、要么是2e、要么是3e,4e……没有一个在e和2e或2e和3e之间的电荷。他的这个想法很简单。 我们在这里介绍的方法跟Dirac当时想的方法不一样，因为我们要通过它来引进纤维丛的概念。而这个想法事实上比Dirac当时的想法反而来得更简单。如 果存在磁单极，要研究它附近的电的作用，例如电子的运动，就必须写出磁单极的量子力学的运动方程。 即薛定谔方程；这个p – eA中取e=1的单位。因此很重要的一点，就是有了磁单极。要想了解它周围电子的运动，就必须先了解这个A是什么。A就是它的电磁势。A的定义是A的旋度 等于磁场，这个磁场(强度)当然是知道的。所以现在第一步要把这方程解出来，然后可以根据这个方程研究电子在磁极附近的运动。Dirac做了一下，发现A 不可能在每个地方都没有奇点，A要有一系列的奇点，这一系列的奇点是一连串的，所以那时叫奇点线。这是Dirac在1931年引进来的概念。如果我们对这 个概念分析一下，就会接近于纤维丛的概念。

 

henryharry2 2011-04-22 13:51 现在先来证明磁单极附近为什么必定有奇点线。证明是很简单的，在磁单极g旁边画一个球。如果能找到一个电磁势A，这个A是没有奇点的，那随便画一个纬度，把上面的一块叫做α帽子，下面的一块叫做β帽子。在α帽子上，A没有奇点，所以可以用Stokes定理算出磁通量Ωα；同样在β帽子上也没有奇点，也可以用Stokes定理算出磁通量Ωβ。把两式相减，当然左边等于零。右边就是α的磁通量减去β的磁通量。β的磁通量是向上的，负的β的磁通量是向下的，所以两个一减就是整个向外的磁通量，刚好等于4πg，不等于零，所以我们得到了零等于一个不为零的东西。这是不可能的，这就证明刚才的假设是不对的。 [attachment=2238] 换句话说，A必须有个奇点。A在这个两个帽子加起来的球面上必须有个奇点，而球的大小可以随便取，每个球面上都有一个奇点，所有奇点连起来就有一条奇点线。关于这个问题的分析，吴大峻和杨振宁在《物理评论》D16,1018(1977)上有一个讨论。

 

henryharry2 2011-04-22 13:59 可是，磁单极附近是没有奇点的，因为磁单极附近是球对称的，所有方向都一样，所以，这个奇点是人为的，也可以说是庸人自 扰。事实上，这问题是大家在中学念书时就很了解的。假如这个球面是地球的表面，要在地球面上取一个坐标系，譬如说经度和纬度。经度和纬度是个很好的坐标系 统，只是有个缺点，就是它有奇点，因为北极和南极在此坐标系中显得非常特别。有一个拓扑学的定理，就是在球面上不可能有一个二维的坐标系统，其中每一点都 不是奇点。地球表面是没有奇点的，所以北极和南极也是人为的奇点；问题出在你只要一个坐标系。如果只要一个坐标系，那就要出奇点；如果你有两个坐标系，就 不一定出奇点。 [attachment=2239] 如果你有两个坐标系，就不一定出奇点。譬如说，你把上面的橡皮膜画上坐标，把 它拉开，覆盖在上半球，比上半球还大一些。另外拿一个薄膜也画上坐标，拉开覆盖在下半球，这样就有个双坐标系。在北半球有个很好的坐标系，在南半球也有个 很好的坐标系，在赤道附近有两个坐标系；一点有两个坐标系，并不是一个困难的问题，只要这两个坐标系之间的变换是清楚的。这样就把奇点问题解决掉了。怎么 解决牛顿引力和磁单极问题呢?

 

henryharry2 2011-04-22 14:00 这也可以如法炮制，我们不要找一组电磁势A，而是找两组电磁势，只找一组就必然出现奇点线。这两组电磁势，如何找呢？必须分成两块，分成两个圆锥，一个向上，一个向下。向上的圆锥的上部区域叫做a区域，向下的圆锥的下部区域叫做b区域。在a区域中取矢势Aa，在b区域中取矢势Ab。 矢势在a区域中没有奇点，如果延伸到b区域就要出现奇点。既然有两个电磁势，在中间赤道附近就要重叠。在重叠区这两个都是正确的矢势，它们的旋度是同一个 磁场；因而两个矢势的旋度之差为零，亦即两个矢势之差是无旋度的。根据一个简单的数学原理，无旋度的量一定是个梯度。具体计算一下，发现α=2gφ，φ是 方位角。 现在把薛定谔方程写出来，a、b两个区域里的电磁势是不一样的，所以这两个区域里的薛定谔方程也不一样，你把两个方程式一写出来 以后，就立刻发现一件事情，这就是两个方程的差是一个梯度。这是因为刚才讲过的，这两个矢势的差是一个梯度。这个概念就是当初Weyl在1922年所讨论 的。在此情形之下，立刻就发现，如果两个方程的差是一个梯度，则两个波函数差一个相位因子，即两个区域的波函数之间的关系就是相位因子的关系。 截面的定义→ψa=Sψb, S=exp(ieα) 这 组方程式就是规范原理。最早写这个规范的就是Weyl。这里的α就是刚才的α，所以指数上就是i2egφ，φ是方位角。这里得到一个基本观念，就是围绕在 一个电子周围，波函数不能写成一个，只写一个就要出奇点。要当成两个波函数，一个在下面的b区域，一个在上面的a区域，而在重叠的区域内是通过一个相位因 子把它们连在一起的，就是这个S。

 

henryharry2 2011-04-22 14:02 两个不同的波函数在重叠区域用一个相位因子把它们联系起来，这个观念就是纤维丛的观念，数学家叫它截面。如果我们绕赤道走 一圈的话，由于赤道完全在a里面(也完全在b里面)波函数又回到原来的值，即S绕一圈也要回到原来的值。S=exp(i2egφ)，绕一圈方位角要增加 2π，即φ增加2π就必须回到原来的值，这个充分条件是2eg=整数，这就是Dirac当时的一个基本公式。由此公式可知e必须是1/2g的整数倍，这样 就得到Dirac的基本想法：假如有一个磁单极，则所有电荷都是一个最小电荷的整数倍。这个想法再发展下去，就可以建立一个不是波函数的Hilbert空 间，而是一个波截面的Hilbert空间。纤维丛跟磁单极有什么关系呢？ 这关系是很清楚的。在通常波函数的情况里，比如说氢原子里的波函数，是个普通的波函数。如果把它看成是上面一个和下面一个波函数接起来的话，那在接触的地方，它的ψa和ψb是一样的。可是如果有磁单极的话，那这个磁单极不仅是个波函数，而且是波截面，在接榫的地方不是ψa=ψb，而是ψa=Sψb，S与磁单极的强度有关，S不能是1，所以，这两种情况是不一样的。 通 过这样的想法，就可以知道为什么从数学的观点讲起来，磁单极的问题和电磁场的问题都是纤维丛。在没有磁单极时，是个平凡的纤维丛，因为它的接榫是1。在磁 单极时，因为它的接榫S不等于1，所以是不平凡的纤维丛。不平凡的纤维丛这几年在物理学中有很重要的发展，因为大家引进了广义规范场以后，就发现虽然普通 的电磁学是一个平凡的纤维丛。而在一个比较广义的、比较广泛的规范场里不可避免要产生不平凡的纤维丛。

 

henryharry2 2011-04-22 14:04 我们要再谈一下磁单极，我们的“薛定谔蛋”理论来自于费曼关于电子的一个模型，费曼的电子模型中假设在一电荷附近有一个磁 单极；费曼的电子理论与Dirac理论是兼容的，但费曼的理论要通俗易懂得多。至今尚无人见到过磁单极，于是我们将费曼的磁单极换成了磁双极，也就是“薛 定谔蛋”；其实只要取一根普通的条形磁铁，那么它的两端就有点像磁双极。 事实上，“薛定谔蛋”理论不仅适用于解释电子的自旋，还可以 解释质子的自旋，夸克和胶子不停地转换，没有所谓的“质子自旋危机”；另外“薛定谔蛋”理论还消除了爱因斯坦的EPR佯谬。这也从另一方面说明了爱因斯坦 绝对时空观的问题，如果微弦就是胶子，那么，它不可能是胶子场的横向极化分量(很明显方向不对)，只可能是胶子场的纵向极化分量。 我 们现在关心的是另外一个问题，作为一个科普读物来说，“薛定谔蛋”是最恰当的名称了，但作为一个科学的概念来说，不知道能不能登上大雅之堂，但本人也想不 出更科学的名称；好在现在的量子场论里已经有“蝌蚪图”和“企鹅图”了，不在乎再多一种动物进而变成“动物世界”。假如我们的“薛定谔蛋”理论是正确的 (事实上它肯定是正确的)，并且没有人换成更科学的名称的话，可以预计十年后被写进所有的量子场论教科书中，到时候岂不是“薛定谔蛋”满天飞，用白云大妈 的话说：“怎么叫特别壮观呢？那场面是相当地壮观。”

 

henryharry2 2011-04-22 14:07 我们描述了Dirac最初的磁单极思想，Dirac磁单极思想是一个“部分正确”的思想，却催生了Weyl的规范场论以及 杨振宁的纤维丛上的联络规范理论；再进一步催生了我们包含了引力的统一规范场论。总的说起来，规范场的观念是从电磁学来的。而电磁学是由4个主要实验总结 出来的，是通过实验，得出4个定律。这4个定律由Maxwell把它数学化。 把这个数学化的观念再去想一下，就发现它是个相位因子的想 法。通过相位因子的想法，得到了普遍的规范场的想法。这些想法的每一步，都是因为想把物理现象用数学语言描述出来这个基本要求促使我们这样做的。数学家研 究纤维丛已经有40年了，他们想法的起源与实际的物理现象是一点关系也没有的。但目前绝大多数物理学家都认为把规范场和纤维丛的观念引入到物理中来是一个 大家都已经接受的事实。这一点是常常使杨振宁反省或者惊讶的。 如果只使用一个坐标系统，牛顿引力场是无法直接量子化的；考虑地球和月亮之 间的引力，假如对地球和月亮分别使用一个坐标系统，就像Dirac磁单极理论一样，就得出两个螺旋度相反的牛顿引力场，那么在两个坐标系的波函数接榫的地 方就有一个转换函数，此时，两个螺旋度恰好抵消，得到一个经典的牛顿(梯度)场，再将波函数量子化，就得到牛顿引力子。可见，牛顿引力场是一个非平凡纤维 丛；这样，我们就将牛顿引力也纳入到规范理论中来。注意，电磁场是横向极化的；而牛顿引力子是自旋为0的纵向极化的粒子。顺便说一句，纤维丛规范理论和同 位自旋都是首先由杨振宁提出来的，我们继承和发展了杨振宁的这些想法。希望从此以后，有千千万万个中国物理学家能像杨振宁、陈省身一样成为世界著名的一代 宗师，站到理论物理学的最前沿，引领世界科学发展的潮流。

 

henryharry2 2011-05-01 06:01 庞加莱联系自守函数的研究，独立地给出双曲几何的一个模型；双曲平面几何的这种庞加莱模型能够表达的一种形式是把圆取作绝 对形；在绝对形之间几何的直线是与绝对形成正交的圆弧和通过绝对形中心的直线；模型中两相交直线间的角就是两弧间的通常Euclid角，在绝对形处相切的 圆弧是平行直线。一种线元表达式叫做一个度量g，在区域σ中采用度量g所得到的几何，记为(σ,g)。在普通的欧几里德平面上，用极坐标表示点的位置。为 了方便，允许极半径取负值，这样就使某一角度能够表示一条通过极点的直线，而不只是从原点引出的射线。把平面区域σ取为单位圆的内部，在区域σ中采用双曲 度量；于是得到一种几何(σ,g)，称称为g-几何；在g-几何中的概念，都在前面加上“g-”的记号，例如g-点、g-弧长、g-测地线等，以区别于欧 氏几何意义下的对应概念；g-测地线是g-直线的同义语。因此，g-点就是单位圆内部的点，g-平面就是单位圆内部的圆域。 在普通的 欧氏几何中，全平面中每个点都不比其它点特殊，但在圆域内原心是唯一的特殊点，因此需要考虑g-等距变换，即把区域σ仍变到σ，并且保持度规g不变的点变 换。在这里，利用复数表示形式特别方便。利用g-等距可将σ中任一点变到原点位置，也可以利用g-等距将原点变到σ中任意点；就这样，以原点为桥梁，可将 σ中任一点用g-等距变到σ中任一其它点。又把g-方向看成普通方向，那么由于原点处可利用旋转将任一方向变为其它任一方面，绕原点的旋转是等距，所以在 σ中任一其它点处也可以通过g-等距将任一方向变到该点处任一其它方向。在g-几何中，可以象普通的欧氏几何那样利用重合法，把图形从一个位置移动到另外 一个指定位置；在g-平面中，每个g-点都不比其它g-点特殊；这意谓着在任何两个g-点处的高斯曲率都应该相等；高斯曲率K是负常数，因此这里的g-几 何是双曲几何。σ中任意两条相交曲线按度量g算出的交角大小与按欧氏度量算出的结果相同；这表明两条曲线的g-交角等于它们在普通意义下的交角；所以可将 g-交角简称为交角。 不通过原点的圆，它的圆心Q在单位圆的外面，并且半径等于Q点到单位圆的切线长；通过原点的g-直线是单位圆的 直径，不通过原点的g-直线是与单位圆正交的圆弧。两个g-点A、B之间的g-距离用记号d(A,B)表示；d(A,B)就是过A和B的g-直线在A与B 之间的曲线弧的g-弧长。如果点A与单位圆的圆心O重合，设g-直线OB交单位圆于M、N，则距离可用四点M、N、O、B的交比取对数表示。可以证明，如 果两点A、B都不在圆心的位置，g-直线AB交单位圆于M和N，则距离仍然可以用四点M、N、A、B的交比取对数表示。这些g-几何的概念与普通欧氏几何 概念之间的关系，提供了一部辞典，可以用来把双曲几何学的概念和命题翻译成欧氏几何学的普通语言。另外还有一种利用半平面解释双曲平面几何学的方法，其中 把平面区域σ取成上半平面；利用圆域或半平面作出的双曲几何学的解释，与复变函数论中的自守函数有关，这类函数是周期函数的一种推广。如果把单位圆内部换 成单位球面内部，二维负常曲率度量换成三维负常曲率度量，那么所得到的三维黎曼几何将是双曲空间的立体几何学和微分几何学。

 

henryharry2 2011-05-09 09:07 我们来考虑自旋1/2粒子的单个自旋态的非常精确——甚至奇妙的——几何性质。这种性质也一般地理解为二态量子系统的性 质。这种系统可用复二维Hilbert空间来描述，自旋1/2表示其几何。对于自旋1/2粒子，我们只关心它在粒子静止参照系下的自旋自由度。说得更清楚 点儿，我们可以把粒子想象成处于其零动量本征态意义上的“静止”状态，因此这个态在变量x空间内是常量。我们把态写成|w,z>。我们可用“自旋向 上”|↑>指自旋|1,0>，“自旋向下”|↓>指自旋态|0,1>。这两个基态是正交的：<↑|↓>=0。我们还 可归一化。 一般的自旋1/2态|w,z|是这两个基态的线性叠加：|w,z|=w|↑>+z|↓>。可以证明，每个自旋 1/2态必为纯粹的关于某个空间方向的右旋自旋态，这使我们能将投影空间和空间方向几何很好地等同起来，这些方向被认为是自旋方向。物理上不同的自旋 1/2态都可由这个投影空间来提供，投影空间上不同的点可用不同的比值z:w来标识。 换句话说，投影空间正是黎曼球面。球面上的每一点代 表一个不同的自旋1/2态，它是在该点上自球心沿半径指向外的方向上测得的自旋“m=1/2”的本征态。如果我们利用球极平面投影，从南极点将球面投影到 其赤道面，我们就能更清楚地看出这种几何关系。我们可以将这个赤道面看成是比值u=z/w的复平面，这里z和w都是量子力学幅度。

 

henryharry2 2011-05-09 09:07 球极平面投影将球面上的特定点直接与比值z/w联系起来。我们用投影算符表示对“自旋在某方向上吗？”这一问题所进行的测 量，如果发现自旋态为(或被投影到)某方向，则本征值为1；如果自旋被投影到与前者正交的自旋态(空间方向相反，对应于黎曼球面上的对径点)，则本征值为 0。注意：在本例中，Hilbert空间的正交不对应于空间上的直角，而是相反。 如果我们由态|↑>出发，然后对其进行测量，得到 YES结果的概率为(1+cosθ)/2。我们还可以根据球面几何直接得到这个概率。我们垂直地将B投影到过A的直径上的C点。如果A’是A的对径点，那 么YES的概率就是长A’B除以球面直径AA’。注意，这里的黎曼球面要比普通黎曼球面和黎曼天球有更多的结构，因此这里“对径点”的概念是这种球面结构 的一部分，目的是为了能够看出哪一种态在Hilbert空间上是“正交的”。 这个球面是“度规球面”而不是“共形球面”，因此，其对称性 由通常意义下的转动给出，我们无法得到那种表示天球上光行差效应的共形运动。但不管怎样，这里黎曼球面的应用毕竟清楚地显示了量子力学的复数比与通常的空 间方向之间的关系。我们看到，量子态形式体系下的复数不完全是一种抽象概念；它们内在地与几何和动力学行为相关联。

 

henryharry2 2011-05-09 09:08 应当指出，与投影空间关联的量子测量所产生的概率几何并不仅限于自旋情形，而是二态系统的普遍特性。自旋1/2情形的特殊 性在于，它可以立即将普通的空间方向与黎曼投影球面上的点联系起来。在二态系统情形，只要存在经典物理量的“量子对应物”，黎曼球面总是存在的。然而，在 许多物理场合，这种球面以及基本量子力学复数(概率幅)的几何角色并不是如此直接可看出的，物理学家们倾向于把它们看成是纯粹的“形式”量。 这 种态度部分是源于这样一个事实：对一个完整的物理系统，态矢的总相位是不可观察的，这样人们经常就不去了解其内在复系数可能具有的潜在的几何意义。一部分 与另一部分之间的相对相位一定是可观察的。有一种方法可以表示这一点，那就是系统的整个投影性质的Hilbert空间PH的复几何具有物理意义。虽然总相 位完全取决于PH的定义，但所有的相对相位则刻划了系统的几何特性。事实上存在各种处理PH的复投影几何的量子力学方法。 对于黎曼球面几 何将量子力学复数与自旋的空间性质直接联系起来这一点，还存在其他情形。最重要的是，它可以用到具有更高自旋值的有质量粒子的一般自旋态。作为展示量子力 学里抽象复数与空间几何紧密关系的又一例证，我们来考虑自旋j=n/2的有质量粒子——或原子——的自旋态。如前所述，它可以用对称的n指标自旋张量来描 述。

 

henryharry2 2011-05-09 09:09 作为本节的结束，我们还是回到光子偏振上来。我们知道，光子的一般偏振态是正螺旋态|+>和负螺旋态|->的 复线性叠加：|φ>=w|+> + z|->。这种态的物理解释的依据是所谓椭圆偏振，它是平面偏振和圆偏振这两种特殊情形的一般化。这里我不打算对此作详细描述，但如果我们按经典平 面电磁波来考虑，就能得到足够好的图像。 这里“平面”是指垂直于波的运动方向的波前。空间每一点上都存在电矢量E和磁矢量B，对平面波而 言，它们总是正交的，并和于波前。如果我们从某个固定空间点上看，当波通过时，它的电矢量不断摆动，其矢量箭头在波前平面上画出一个椭圆，磁矢量紧跟其 后，也画出同样的椭圆，只是方向转过一个直角。在特定情形下，椭圆被压扁成一条线段：即平面偏振情形。当椭圆变成圆时，出现的则是圆偏振。如果我们迎着波 的传播方向，则矢量的摆动是按逆时针为正螺旋、顺时针为负螺旋方向进行的。我们来看看黎曼球面是如何与此相联系的。 为此，取北极方向代表 正螺旋态|+>，南极方向代表负螺旋态|->，并假定光子沿|+>方向向上运动。现在，我们不是看黎曼球面上的z/w，而是看它的平方 根q，不在乎看哪个。所以相应的q=0,∞,给定|+>,|->。我们来考虑q点的球面半径(Stokes矢量)，在球面上垂直于这个半径画 一个大圆。该圆所在平面的法矢量方向按右手法则指向q。然后将这个圆垂直投影到球面的赤道面。我们就得到了所需的极化椭圆及其正确的取向。

 

henryharry2 2011-05-20 10:11 采用这种方式，闵可夫斯基把物理定律的洛伦兹不变性约化为四维流形中的编时几何学问题。闵可夫斯基的编时几何学是由定义为 闵可夫斯基间隔的洛伦兹不变性来表征的，而这种不变性整体上把度规固定为diag(1,-1,-1,-1)。欧几里得距离总是负的，而对应的闵可夫斯基间 隔对于非零的距离能够是正的、负的甚至是零，这一事实隐含着由洛伦兹(或庞加莱)群表征的编时几何学实质上是非欧几何学。 在闵可夫斯基的 解释中，狭义相对论是由一个在闵可夫斯基四维时空流形中定义的运动学群(即庞加莱群)表征的时空理论，这一点变得更清楚了。庞加莱群及其不变性决定了编时 几何学的结构，接着这又决定了闵可夫斯基时空的惯性结构。不过，只有不存在引力时，这最后一点才是真实的。但是，在爱因斯坦的狭义相对论工作完成之后，引 力很快就成了爱因斯坦关注的焦点(1905c)。 我们认为，庞加莱群正是导致量子场论和引力二元化的真正原因，不应当单独地设立一个平移 不变量，这导致自旋与轨道变成了两个变量；实际上，应当通过射影空间中的转动与平移之间的对偶性将平移引入，这相当于不区分自旋和轨道部分，原子核物理给 了实验上的暗示，原子核壳层模型假设了一个很强的自旋-轨道耦合。这意味着我们提出的庞加莱原理实际上是要革庞加莱他老人家的命，不过，与流血的或不流血 的政治革命不同，大多数顶级科学家似乎都非常喜欢革自己命的人。

 

henryharry2 2011-05-23 11:06 当我们讨论Riemann流形上的旋量场时，必须采用标架场的表述。在Riemann流形上可以选取正交标架场，它们在局 域正交转动下仍是正交标架。在正交标架丛上的Riemann联络就是自旋联络。利用标架场可以将任意坐标系换为局域正交活动标架，用广义相对论语言来说， 即可以将非惯性坐标系的自然基矢转换为局域惯性系基矢。另一方面，在局域惯性系之间还可进行依赖时空位置的局域正交转动。 不同惯性系 之间的变换即Lorentz变换，当变换矩阵是不依赖于时空位置的常矩阵时，可称为整体Lorentz变换，物理规律相对整体Lorentz变换不变，此 即狭义相对论的光速不变原理。Einstein和Cartan指出，必须也考虑依赖时空位置的局域Lorentz变换，正如通常的杨-Mills规范理论 一样，当要求物理规律在局域Lorentz变换下不变时，应将方程中的普通导数换成含有联络的协变导数，相应的联络称为自旋联络；自旋联络系数称为自旋联 络1形式。 在Einstein-Cartan引力论中为保证局域Lorentz变换的不变性，需引入自旋联络方阵ω，自旋联络方阵相 当于O(n)规范场势，而相应的曲率形式方阵Ω相当于O(n)规范场强。微分形式是分析许多物理问题的有效武器；以电磁场为例，外微分运算d相当于取向量 A的旋度，余微分相当于取向量A的散度；外微分d相当于取向量B的散度，而余微分相当于取向量B的旋度。

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