相对论认为时空是交织在一起的，超距作用是不存在的,Lorentz协变性意味着必须按下列方式构造出与之相应的四维力矢量;,引力不再

相对论力学中粒子的动量、能量及力
杨焕雄
（浙江大学物理系, 西溪校区，310028）
摘   要
    国内几种流行的电动力学教材在讲授“相对论力学”时，先验地修
改牛顿力学中质点动量、动能的定义使之成为四维Minkowski空间中的
矢量。这一讲法是令人疑惑的，不利于初学者掌握相对论的物理思想。
本文通过证明带电粒子在电磁场中运动规律的 Lorentz协变性，展现了
相对论力学中粒子动量、能量形成四维矢量的必要性。文章对相对论力
学中“力”的概念和条件也作了分析。
　
§1. 引 言
    动量和动能是质点动力学理论中的两个重要概念，即使在以狭义相
论为基础的相对论力学中也不例外。质点的动量是作用于其上的合外力
的冲量，而其动能则量度着外力对该质点作功的本领。在牛顿力学中，
质点的动量、动能分别定义为 和，在相对论力学中这两个物理量分别
修正为：
， 。 （1）
    狭义相对论理论为什么要如此地重新定义质点的动量、动能呢？在
相对论力学中  为什么失效了呢？国内几种流行的电动力学教材[1，2
]避重就轻地验证了质点动量、动能的上述两种定义在非相对论极限下
的一致性，但都未涉及对这两个问题的正面回答。
    笔者认为，回答这两个问题是学习相对论动力学的要点。正确分析
和深刻思考这两个问题将有助于读者真正掌握相对论理论的物理思想，
克服在相对论力学中“力”的概念上可能产生的模糊认识，准确地理解
相对论力学与牛顿力学的过渡关系并把握广义相对论本质上是作为相对
论引力理论的意义。笔者在教学活动中，针对学生们提出的这两个问题
做了力所能及的调研。本文就是笔者对上述两问题所作的解答。坦率地
讲，国内外许多相对论文献[3－7]对这两个问题已有精辟的论述。笔者
所能做的，只是把这种回答局限在电动力学范围内。
§2. 为什么在相对论力学中质点的动量定义为？
    考虑一个在电磁场中运动的带电粒子。设粒子的电荷为，运动速度
为，则实验表明：电磁场施加给此带电粒子的电磁力是下列Lorentz力
，
 （2）
按牛顿第二定律，此带电粒子的运动方程为：
 （3）
（3）式中的就是粒子的动量。该如何定义呢？旧有的定义是否继续
可行呢？
（2）、（3）两式在概念上存在着重要差别：（2）不过是电磁力的定
义式，而（3）却是带电粒子在外电磁场中的运动规律。因此，按照狭
义相对论的相对性原理，若（3）式能作为一条为狭义相对论所承认的
物理规律，则它必须适用于任意惯性系。
就是说：（3）式在本质上必须是Lorentz协变的。
    笔者认为，粒子动量的一个合乎逻辑的定义应该从证明（3）式的
Lorentz协变性入手。
    在某个Cartesian直角坐标系中，可以将（2）、（3）写成分量形
式：
 （2＇）
 （3＇）
，这里我们约定各物理量所携带的指标均是四维Minkowski空间M4中的
协变、逆变指标，是四秩全反对称的Levi-Civita张量。但必须说明：
这一“指标约定”并不意味着（2＇）、（3＇）中携带这些指标的物理
量一定是M4中的张量。不能因为这一指标约定而先验地认为是四维矢量
的空间分量。确是M4中的协变量，但它们并不构成四维矢量的空间分量
。Maxwell方程组的Lorentz协变性要求形成电磁场张量（M4中的一个二
秩反对称张量）[6]，
 （4）
在（2＇）式中，粒子速度中下标是M4中协变指标，但本身并不是四维
协变速度的空间分量。根据相对论运动学可知：
。 （5）
结合（2＇）、（4＇）及（5）式得：
 （6）
因此，Lorentz力本身不构成某个四维协变量的空间分量。但则构成了
下列四维逆变矢量的空间分量，
 （7）
称为四维Lorentz力矢量。不难看出，＝0。
将（6）、（7）和（3＇）综合起来，可以把电磁场中带电粒子的牛顿
第二定律表为：
此式应是Lorentz协变的。因为和原时（是一个著名的Lorentz标量）有
关系，上式又可等价地表为，
 （i=1,2,3） （8）
    至此很明显，（8）式的Lorentz协变性要求粒子的动量必须构成M
4中某个四维逆变矢量的空间分量。
    因此，若假定质点的质点的质量是Lorentz标量，牛顿力学中质点
动量的定义在相对论力学中就不再有效。只能作为质点相对论动量的低
速近似。同时考虑到运动方程的协变性要求及动量的低速极限，质点的
相对论动量就获得了唯一的定义：
 （9）即， （10）
　
§3． 的物理意义
   （9）式定义的称为质点的逆变动量四矢，其空间分量解释为质点的
相对论动量。其时间分量又有何物理意义呢？值得注意的是，带电粒子
在电磁场中的运动规律 (i=1,2,3) （8）的Lorentz协变性不仅要求粒
子的动量构成逆变动量四矢的空间分量，同时亦要求有 （11）成立。

注意到， （12）
（11）式又可等价地表为： （13）
由于表示Lorentz力对带电粒子作功的功率，（13）式可以解释为相对
论力学中的动能定理。因此，与带电粒子之动能最多差一常数。
考虑到的低速近似为，质点的相对论动能定义为，
 （14）
在相对论质点力学中，（14）式的第一项称为质点以速度自由运
动时的总能量，第二项称为其静止能量。
　
§4．相对论意义下的力
    前面两节通过证明带电粒子在电磁场中运动方程的Lorentz协变性
，给出了相对
论力学中带电粒子动量、能量的定义式。带电粒子的动量、能量结合在
一起构成了M4中的逆变动量四矢。粒子物理学领域内大量的实验证实了
这种定义的普适性。
    从动力学的意义上讲，承认上述能量、动量的定义具有普遍意义（
例如认为中性粒子的相对论动量、动能也由（10）及（14）给出）意味
着相对论力学中可以有非Lorentz力的相互作用。在宏观尺度内这样的
相互作用力若存在，则牛顿第二定律
 （15）
的Lorentz协变性意味着必须按下列方式构造出与之相应的四维力矢量
，
 （16）
或者等价地说，四维力矢量只有同时满足了下列两个条件，
是M4中的某个逆变四矢；
； （16＇）
粒子的动力学方程才能表述为明显Lorentz协变的形式： （15＇）
相对论力学中力的条件（16）或（16＇）是非常苛刻的，它对二十世纪
物理学的发展产生了深刻的影响。在相对论的质点力学框架内，除了L
orentz力以外
    我们还提不出另一种符合上述力条件的力。显然，要把 (牛顿万有
引力定律) （17）
  （库仑定律） （18）
或 （胡克定律） （19）
    扩展为四维形式并使之满足（16＇）的要求，毫无希望。相对论认
为时空是交织在一起的，超距作用是不存在的。然而，（17）－（19）
所列举的几种（牛顿力学中典型的）唯象力无一例外都是超距作用力。

    由于难以建立起满足（16）或（16＇）式力条件的万有引力定律，
相对论的引力理论另辟蹊径，发展为广义相对论。按照广义相对论的观
点，引力不再是一种相互作用，而是反映着质量所引起的周围时空的弯
曲程度。
    由于难以建立起满足（16）或（16＇）式力条件的库仑定律，而只
有 Lorentz力能够写为四维形式，所以以狭义相对论为基础的动力学理
论不承认自然界存在着纯粹的电作用（和磁作用），只承认存在着电磁
作用。在宏观尺度内，相对论力学实际上就是关于电磁相互作用的动力
学理论， 只适用于描写带电粒子在电磁场中的运动（这里）。
    从物理起源上讲，弹性力、摩擦力、化学力等归根结底都属于电磁
相互作用。由于难以建立起满足（16）或（16＇）式力条件的胡克定律
，相对论意义下的弹性难象理论必须在 Lorentz力的基础上重新构造，
详情可以参考W.泡利和P.G.柏格曼的著作[4，5]。
    众所周知，自然界中目前所已知的基本力共有四种。除了电磁力和
引力之外，在亚原子世界中（米）还存在着强力及弱力。能否将强力、
弱力纳入到以狭义相对论为基础的相对论力学中来呢？
    实验表明，在微观尺度（米）上，粒子和场表现显著的波粒二象性
，质
点的概念不再有效。这样，或即使对微观尺度上的电磁作用也无能为力
。人们目前建立起来的描写微观电磁作用的相对论力学称为量子电动力
学（QED），其中一个“电子”被解释为量子化电子场（Dirac旋量场）
的一个能量为、动量为的状态，电子与电磁场之间的相互作用则用电子
场与电磁场之间的耦合来描写。在QED中，四维力的概念不再有用，相
对论性的力条件（16＇）分别由加在体系拉格朗日密度上的下列条件取
代：
1．必须是Lorentz标量；
2．必须具有定域的规范变换下的不变性。 （20）
随着杨－Mills非阿贝尔规范场理论的建立和Higgs对称性自发破缺机制
的发现，人们在七十年代相继成功地建立起了描写弱力及强力的相对论
力学，它们采取的也是量子场论的形式，分别称为QFD 和QCD。在QFD中
，相对论性的力条件（16＇）代换为：
1．必须是Lorentz标量；
2．必须具有定域的规范对称性。 （21）
在QCD中，相对论性的力条件（16＇）进一步代换为：
1．必须是Lorentz标量；
2．必须具有定域的规范对称性。 （22）
　
    笔者感谢与盛正卯等同志以及浙江大学物理系（西溪校区）99届同
学们就四维力概念进行的讨论。