动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量．P=mv, 动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比

源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM
2011届高三一轮复习全案：第1章 动量守恒定律（选修3-5）
【考纲知识梳理】
一、动量
1、动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量．P=mv
是矢量，方向与速度方向相同；动量的合成与分解，按平行四边形法则、三角形法则．是状态量；
通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量(状态量)，计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。
是相对量；物体的动量亦与参照物的选取有关，常情况下，指相对地面的动量。单位是kg•m/s；
2、动量和动能的区别和联系
  ① 动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。即动量相同而质量不同的物体，
其动能不同；动能相同而质量不同的物体其动量不同。
  ② 动量是矢量，而动能是标量。因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量一定变化。
  ③ 因动量是矢量，故引起动量变化的原因也是矢量，即物体受到外力的冲量；动能是标量，
引起动能变化的原因亦是标量，即外力对物体做功。
  ④ 动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关系式：P2＝2mEk
3、动量的变化及其计算方法
  动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量，是矢量，对应于某一过程（或某一段时间），是一个非常重要的物理量，其计算方法：
（1）ΔP=Pt一P0，主要计算P0、Pt在一条直线上的情况。
（2）利用动量定理  ΔP=F•t，通常用来解决P0、Pt；不在一条直线上或F为恒力的情况。
二、冲量
1、冲量：力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量．
是矢量，如果在力的作用时间内，力的方向不变，则力的方向就是冲量的方向；冲量的合成与分解，按平行四边形法则与三角形法则．冲量不仅由力的决定，还由力的作用时间决定。而力和时间都跟参照物的选择无关，所以力的冲量也与参照物的选择无关。单位是N•s；
2、冲量的计算方法
（1）I= F•t．采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。I=Ft
（2）利用动量定理 Ft=ΔP．主要解决变力的冲量计算问题，但要注意上式中F为合外力（或某一方向上的合外力）。
三、动量定理
1、动量定理：物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化．Ft=mv/一mv或 Ft＝p/－p；
该定理由牛顿第二定律推导出来：（质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt；质点的初、未动量是 mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ（mv）=mvt－mv0．根据动量定理得：F合=Δ（mv）/Δt）
2．单位：N•S与kgm／s统一：lkgm／s=1kgm／s2•s=N•s；
3．理解：（1）上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
 （2）动量定理中的冲量和动量都是矢量。定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把矢量运算转化为代数运算。
  （3）动量定理的研究对象一般是单个质点。求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式．
四、动量守恒定律
内容：相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。即作用前的总动量与作用后的总动量相等．（研究对象：相互作用的两个物体或多个物体所组成的系统）
动量守恒定律适用的条件   
守恒条件：①系统不受外力作用。 (理想化条件)
②系统受外力作用，但合外力为零。
③系统受外力作用，合外力也不为零，但合外力远小于物体间的 相互作用力。
④系统在某一个方向的合外力为零，在这个方向的动量守恒。
⑤全过程的某一阶段系统受合外力为零，该阶段系统动量守恒，
即：原来连在一起的系统匀速或静止(受合外力为零)，分开后整体在某阶段受合外力仍为零,可用动量守恒。
例：火车在某一恒定牵引力作用下拖着拖车匀速前进，拖车在脱勾后至停止运动前的过程中(受合外力为零)动量守恒
常见的表达式
不同的表达式及含义(各种表达式的中文含义)：
P＝P′   或  P1＋P2＝P1′＋P2′ 或  m1V1＋m2V2＝m1V1′＋m2V2′
(其中p/、p分别表示系统的末动量和初动量，系统相互作用前的总动量P等于相互作用后的总动量P′)
ΔP＝0    (系统总动量变化为0，或系统总动量的增量等于零。)
Δp1=－Δp2，(其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、 方向相反)。

如果相互作用的系统由两个物体构成，动量守恒的实际应用中具体来说有以下几种形式
A、m1vl＋m2v2＝m1v/l＋m2v/2，各个动量必须相对同一个参照物，适用于作用前后都运动的两个物体组成的系统。
B、0= m1vl＋m2v2，适用于原来静止的两个物体组成的系统。
C、m1vl＋m2v2=（m1＋m2）v，适用于两物体作用后结合在一起或具有共同的速度。
原来以动量(P)运动的物体，若其获得大小相等、方向相反的动量(－P)，是导致物体静止或反向运动的临界条件。即：P+(－P)=0
【要点名师精解】
类型一 动量守恒定律的实际应用
【例1】如图1所示，质量为 的小车在光滑的水平面上以速度 向右做匀速直线运动，一个质量为 的小球从高 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度为仍为 。设 ≫ ，发生碰撞时弹力 ≫ ，小球与车之间的动摩擦因数为 ，则小球弹起时的水平速度可能是
 . 
解析：小球的水平速度是由于小车对它的摩擦力作用引起的，若小球在离开小车之前水平方向上就已经达到了 ，则摩擦力消失，小球在水平方向上的速度不再加速；反之，小球在离开小车之前在水平方向上就是一直被加速的。故分以下两种情况进行分析：
小球离开小车之前已经与小车达到共同速度 ，则水平方向上动量守恒，有
        
由于 ≫
所以    
若小球离开小车之前始终未与小车达到共同速度，则对小球应用动量定理得
水平方向上有
 
    竖直方向上有
        
又      
解以上三式，得
        
故，正确的选项为  。
类型二 动量守恒定律的综合应用
【例2】 如图所示，一辆质量是m=2kg的平板车左端放有质量M=3kg的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数 =0.4，开始时平板车和滑块共同以v0=2m/s的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平 板车速度大小保持不变，但方向与原来相反．平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端．（取g=10m/s2）求：
（1）平板车每一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离．
（2）平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度v．
（3）为使滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长？
【解析】：（1）设第一次碰墙壁后，平板车向左移动s，速度为0．由于体系总动量向右，平板车速度为零时，滑块还在向右滑行．
动能定理     ①
             ②
代入数据得       ③
（3）假如平板车在第二次碰撞前还未和滑块相对静止，那么其速度的大小肯定还是2m/s，滑块的速度则大于2m/s，方向均向右．这样就违反动量守恒．所以平板车在第二次碰撞前肯定已和滑块具有共同速度v．此即平板车碰墙前瞬间的速度．
      ④
∴       ⑤
代入数据得     ⑥
（3）平板车与墙壁发生多次碰撞，最后停在墙边．设滑块相对平板车总位移为l，则有     ⑦
         ⑧
代入数据得       ⑨
l即为平板车的最短长度．
【感悟高考真题】
1. （2010•福建•29（2））如图所示，一个木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个小木块。木箱和小木块都具有一定的质量。现使木箱获得一个向右的初速度 ，则   。（填选项前的字母）
 
 A． 小木块和木箱最终都将静止
 B． 小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动
 C． 小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动
 D． 如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动
答案：B
2．（2010•北京•20）如图，若x轴表示时间，y轴表示位置，则该图像反映了某质点做匀速直线运动时，位置与时间的关系。若令x轴和y轴分别表示其它的物理量，则该图像又可以反映在某种情 况下，相应的物理量之间的关系。下列说法中正确的是
 
A.若x轴表示时间,y轴表示动能，则该图像可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中，物体动能与时间的关系
B.若x轴表示频率，y轴表示动能，则该图像可以反映光电效应中，光电子最大初动能与入射光频率之间的关系
C.若x轴表示时间，y轴表示动量，则该图像可以反映某物在沿运动方向的恒定合外力作用下，物体动量与时间的关系
D.若x轴表示时间，y轴表示感应电动势，则该图像可以反映静置于磁场中的某闭合回路，当磁感应强度随时间均匀增大时，增长合回路的感应电动势与时间的关系
【答案】C
【解析】根据动量定理 ， 说明动量和时间是线性关系，纵截距为初动量，C正确。结合 得 ，说明动能和时间的图像是抛物线，A错误。根据光电效应方程 ，说明最大初动能和时间是线性关系，但纵截距为负值，B错误。当磁感应强度随时间均匀增大时，增长合回路内的磁通量均匀增大，根据法拉第电磁感应定律增长合回路的感应电动势等于磁通量的变化率，是一个定值不 随时间变化，D错误。
3.（ 2010•天津•10）如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h。物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点的正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离 为 。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t。
 
解析：设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为 ，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有
       ①
得   
设碰撞后小球反弹的速度大小为 ，同理有
          ②
得   
设碰撞后物块的速度大小为 ，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有
          ③
得            ④
物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小
            ⑤
设物块在水平面上滑行的时间为 ，根据动量定理，有
           ⑥
得            ⑦
4. （2010•新课标•34(2)）(10分)如图所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一竖直的墙.重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为 .使木板与重物以共同的速度 向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短.求木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间.设木板足够长，重物始终在木板上.重力加速度为g.
    
解析：木板第一次与墙碰撞后，向左匀减速直线运动，直到静止，再反向向右匀加速直线运动直到与重物有共同速度，再往后是匀速直线运动，直到第二次撞墙。
    木板第一次与墙碰撞后，重物与木板相互作用直到有共同速度，动量守恒，有：
     ，解得：
    木板在第一个过程中，用动量定理，有：
    用动能定理，有：
    木板在第二个过程中，匀速直线运动，有：
    木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间t=t1+t2= + =
5. （2010•全国卷Ⅱ•25）小球A和B的质量分别为mA  和 mB  且mA＞＞mB    在某高度处将A和B先后从静止释放。小球A与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放出距离为 H的地方恰好与正在下落的小球B发生正幢，设所有碰撞都是弹性的，碰撞事件极短。求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。
 
   连立①④⑤化简得
                                        ⑥
6．（2010•北京•24）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为 ，初速度为 ，下降距离 后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为 。此后每经过同样的距离 后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次 为 、 ．．．．．． ．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
若不计重力，求第 次碰撞后雨滴的速度 ；
若考虑重力的影响，
ａ．求第１次碰撞前、后雨滴的速度 和 ；
ｂ．求第ｎ次碰撞后雨滴的动能 。
解析：（1）不计重力，全过程中动量守恒，m0v0=mnv′n
   得                
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒
      a． 第1次碰撞前    
          第1次碰撞后  
                        
      b. 第2次碰撞前  
        利用○1式化简得            ○2
        第2次碰撞后，利用○2式得
                          
        同理，第3次碰撞后   
                     …………
第n次碰撞后   
        动能           
＃2009年高考题＃
一、选择题
1.（09•全国卷Ⅰ•21）质量为M的物块以速度V运动，与质量为m的静止物块发生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比M/m可能为                                                         （  AB   ）
A.2                       B.3                  C.4                 D. 5
解析：本题考查动量守恒.根据动量守恒和能量守恒得设碰撞后两者的动量都为P,则总动量为2P,根据 ,以及能量的关系得  ,所以AB正确。
2.（09•上海•44）自行车的设计蕴含了许多物理知识，利用所学知识完成下表
自行车的设计 目的（从物理知识角度）
车架用铝合金、钛合金代替钢架 减轻车重
车胎变宽
自行车后轮外胎上的花纹
答案：减小压强（提高稳定性）；增大摩擦（防止打滑；排水）
3.（09•上海•46）与普通自行车相比，电动自行车骑行更省力。下表为某一品牌电动自行车的部分技术参数。
在额定输出功率不变的情况下，质量为60Kg的人骑着此自行车沿平直公路行驶，所受阻力恒为车和人总重的0.04倍。当此电动车达到最大速度时，牵引力为        N,当车速为2s/m时，其加速度为          m/s2(g=10m m/s2)
规格 后轮驱动直流永磁铁电机
车型 14电动自行车 额定输出功率 200W
整车质量 40Kg 额定电压 48V
最大载重 120 Kg 额定电流 4.5A

答案：40：0.6
4.（09•天津•4）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于                        （  A  ）
A.棒的机械能增加量
B.棒的动能增加量
C.棒的重力势能增加量
D.电阻R上放出的热量
解析：棒受重力G、拉力F和安培力FA的作用。由动能定理：  得 即力F做的功与安培力做功的代数和等于机械能的增加量。选A。
5.（09•海南物理•7）一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向 不变，大小随时间的变化如 图所示。设该物体在 和 时刻相对于出发点的位移分别是 和 ，速度分别是 和 ，合外力从开始至 时刻做的功是 ，从 至 时刻做的功是 ,则                 （  AC  ）
A．              B．
C．       D．
6.（09•广东理科基础•9）物体在合外力作用下做直线运动的v一t图象如图所示。下列表述正确的是  （  A  ）
   A．在0—1s内，合外力做正功
   B．在0—2s内，合外力总是做负功
   C．在1—2s内，合外力不做功
   D．在0—3s内，合外力总是做正功
解析：根据物体的速度图象可知，物体0-1s内做匀加速合外力做正功，A正确；1-3s内做匀减速合外力做负功。根据动能定理0到3s内，1—2s内合外力做功为零。
7.（09•宁夏•17） 质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则              （  BD  ）
A． 时刻的瞬时功率为
B． 时刻的瞬时功率为
C．在 到 这段时间内，水平力的平均功率为
D. 在 到 这段时间内，水平力的平均功率为
8.（09•安徽•18）在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形的abcd，顶点a、c处分别 固定一个正点电荷，电荷量相等，如图所示。若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动。粒子从b点运动到d点的过程中                                    （  D  ）
A. 先作匀加速运动，后作匀减速运动
B. 先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C. 电势能与机械能之和先增大，后减小
D. 电势能先减小，后增大
解析：由于负电荷受到的电场力是变力，加速度是变化的。所以A错；由等量正电荷的电场分布知道，在两电荷连线的中垂线O点的电势最高，所以从b到a，电势是先增大后减小，故B错；由于只有电场力做功，所以只有电势能与动能的相互转化，故电势能与机械能的和守恒，C错；由b到O电场力做正功，电势能减小，由O到d电场力做负功，电势能增加，D对。
9.（09•福建•18）如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值
为R的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量为m（质量分布均匀）的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为u。现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。则此过程           （  BD  ）
A.杆的速度最大值为
B.流过电阻R的电量为
C.恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D.恒力F做的功与安倍力做的功之和大于杆动能的变化量
解析：当杆达到最大速度vm时， 得 ，A错；由公式 ，B对；在棒从开始到达到最大速度的过程中由动能定理有： ，其中 ， ，恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量与回路产生的焦耳热之和，C错；恒力F做的功与安倍力做的功之和等于于杆动能的变化量与克服摩擦力做的功之和，D对。
10.（09•浙江自选模块•13）“物理1-2”模块（1）（本小题共3分，在给出的四个选项中，可能只有一个选项正确，也可能有多个选项正确，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分）
二氧化碳是引起地球温室效应的原因之一，减少二氧化碳的排放是人类追求的目标。下列能源利用时均不会引起二氧化碳排放的是                                                              （  AB  ）
A.氢能、 核能、太阳能     B.风能、潮汐能、核能
C.生物质能、风能、氢能     D.太阳能、生物质能、地热能
二、非选择题
11.（09•北京•24）才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2

 

（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为 的小球从高位 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为 的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球 的速度大小 ；
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为、 ……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能 ，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第 个球经过依次碰撞后获得的动能 与 之比为第1个球对第 个球的动能传递系数  。
a.求
b.若 为确定的已知量。求 为何值时， 值最大
解析：
（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律
           ①
设碰撞后m1与m2的速度分别为v1和v2，根据动量守恒定律
           ②
由于碰撞过程中无机械能损失
       ③
②、③式联立解得
                ④
   将①代入得④
   
（2）a由④式，考虑到 得
根据动能传递系数的定义，对于1、2两球
     ⑤
同理可得，球m2和球m3碰撞后，动能传递系数k13应为
        ⑥
依次类推，动能传递系数k1n应为
 
解得
 
b.将m1=4m0,m3=mo代入⑥式可得
 
为使k13最大，只需使
由
 
12.（09•天津•10） 如图所示，质量m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上，车长L=15 m,现有质量m2=0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2 m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数 =0.5,取g=10 m/s2，求
（1）物块在车面上滑行的时间t;
（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v′0不超过多少。
答案：（1）0.24s  (2)5m/s
解析：本题考查摩擦拖动类的动量和能量问题。涉及动量守恒定律、动量定理和功能关系这些物理规律的运用。
（1）设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有
                                           ①
设物块与车面间的滑动摩擦力为F，对物块应用动量定理有
                                            ②
其中                                               ③
解得
 
代入数据得                                                  ④
（2）要使物块恰好不从车厢滑出，须物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，则
                                                   ⑤
由功能关系有
                                      ⑥
代入数据解得         =5m/s
故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车的速度v0′不能超过5m/s。
13.（09•山东•38）（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A、B、C，质量分别为mB=mc=2m,mA=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。
解析：（2）设共同速度为v，球A和B分开后，B的速度为 ,由动量守恒定律有
 , ,联立这两式得B和C碰撞前B的速度为 。
考点：动量守恒定律

14.（09•安徽•23）如图所示，匀强电场方向沿 轴的正方向，场强为 。在 点有一个静止的中性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为 的带电微粒，其中电荷量为 的微粒1沿 轴负方向运动，经过一段时间到达 点。不计重力和分裂后两微粒间的作用。试求
  （1）分裂时两个微粒各自的速度；
（2）当微粒1到达（ 点时，电场力对微粒1做功的瞬间功率；
  （3）当微粒1到达（ 点时，两微粒间的距离。
答案：（1） ， 方向沿y正方向（2） （3）2
解析：（1）微粒1在y方向不受力，做匀速直线运动；在x方向由于受恒定的电场力，做匀加速直线运动。所以微粒1做的是类平抛运动。设微粒1分裂时的速度为v1，微粒2的速度为v2则有：
在y方向上有
-                                    
在x方向上有
 
-
 
根号外的负号表示沿y轴的负方向。
中性微粒分裂成两微粒时，遵守动量守恒定律，有
 
 
方向沿y正方向。
（2）设微粒1到达（0，-d）点时的速度为v，则电场力做功的瞬时功率为
 
其中由运动学公式
所以
（3）两微粒的运动具有对称性，如图所示，当微粒1到达（0，-d）点时发生的位移
 
则当微粒1到达（0，-d）点时，两微粒间的距离为
15.（09•安徽•24）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径 、 。一个质量为 kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以 的初速度沿轨道向右运动，A、B间距 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数 ，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 ，计算结果保留小数点后一位数字。试求
   （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
   （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距 应是多少；
   （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 应满足的条件；小球最终停留点与起点 的距离。
 

答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当 时，  ；当 时， 
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理
                     ①
   小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
                                                            ②
由①②得                                                        ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
                                                                ④
                               ⑤
由④⑤得                                                     ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
                                                            ⑦
                                 ⑧
由⑥⑦⑧得            
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
                 
解得                   
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
                
解得               R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
                
或               
当 时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
                
                  
当 时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
                 
16.（09•福建•21）如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。


（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程）
答案：（1） ; （2） ;
(3) 
解析：本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。
（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
    qE+mgsin =ma                    ①
                             ②
联立①②可得
                     ③
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为 ，则有
                       ④
    从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
            ⑤
联立④⑤可得
     s
（3）如图
    
17.

文
章 来源莲山课件 ww w.
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莲山课件  原文地址：http://www.5ykj.com/Health/gaoshan/77149.htm