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第三章重构曲线曲面间的连续性分析
【摘 要】本章明确了重构曲线曲面边界的连续性分析的重要性及其内容.讨论了工程中对边界连续性的要求.论述了目前主流分析方法的原理及其具体的在程序实现中的流程，列出了相应的运行分析实例.逆向 工 程 曲线曲面NURBS重构过程中，将物体表面点云区域分割和分片重建，直接导致了重建的相邻曲线曲面连续性分析的必要.如果这些曲线曲面间的连续性不好，会直接降低重构CAD模型的整体质量，及其可加工性。
在理论方面，曲线曲面的连续性〔13〕通常分为两种形式:参数连续性和几何连续性。
对于曲线而言，曲线在连接点处具有相等的n阶连续导矢，则称之为具有n阶参数连续性，简称Cn连续.
曲线的几何连续性去掉了参数连续、参数选取以及具体的参数化对曲线结合部本身光滑度不准确反映，定义为:当且仅当两曲线段相应的弧长参数化条件下，在公共点处具有n阶连续导矢，则称它们在该点处的连续性为Cn。实际工程用到的主要是二阶以下的几何连续性，其几何含义分别为:
G0同C0，表示两个曲线公共点位置连续。
G1表示两曲线段在公共点处切矢方向相同，但大小不一定相同。
G2表示在满足G1的前提下，具有公共的曲率矢(即关于弧长的二阶导矢)。
对于曲面而言，如果两曲面具有公共连接线，则称为位置连续或是C0连续，即具有0阶参数连续性。
当且仅当两曲面P(s,t) 与q(u,v)沿 它们的公共连接线p(r)=q(r)处处具有直到n阶的连续偏导矢，则称它们沿该连线具有n阶参数连续性(即Cn连续性)〔14〕。即
而两参数曲面的零阶几何连接性即G0连续性是与G0连续性一致，即位置连续。
两参数曲面的G1连续性又称为切平面连续性，当且仅当两曲面公共连接线处处具有
公共的切平面或公共的曲面法线。
G2连续性又称为曲率连续性。G2连续性要求沿公共连接线处在所有方向都具有公共的法曲率〔18〕
与参数连续性相比较，几何连续性不考虑参数连续性或参数化，但不影响曲线曲面的光滑度。推广到 n >2的Gn连续性，没有明显几何意义的或根本用不上，实际意义不明显。
3.1重构曲线曲面间公共边界的连续性工程需求分析
实际 工 程 方面的应用对曲线曲面连续性要求随着使用场合的不同而不同。
例如 : 在 汽车外覆件开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙(位置连续性)在0.005nim以下，有些汽车厂甚至要求到0.001mm，切
平面变化在0.16度以下，曲率改变在0.005以下，并认为符合这样的标准才能确保
饭件的环境反射不会在相邻部位出现问题而影响美观。再如 :啤酒生产线曲线对连续性的要求为d，否则酒瓶在运输过程中将摇摆晃动，发生碰撞。
在实际的逆向工程环境下，参考国际同类先进软件模块，结合目前的技术条件，满足绝大多数情况要求，重构曲线曲面间连续性分析，限于G0，G1, G2连续性分析〔8〕
G0: 检 测 曲线曲面的位置是否连续;
G1: 检 测 曲线的切线是否连续，检测曲面的法线(切平面)是否连续;
G2: 检 测 曲线曲面的曲率连续情况。
对于G0连续，对应的分析方法有:直接计算法。
对于G1连续，对应的分析方法有:直接计算法(曲线，曲面)，基于光线的分析法(曲面)。
对于G2连续，对应的分析方法有:直接计算法，基于光线的分析法(曲面)，基于曲率的分析法(曲面)。
3.2重构曲线曲面的连续性直接分析
3.2.1重构曲线间连续性的直接计算分析
该方法用于直接判断相邻二曲线间的位置或切线间的连续情况实际应用中，位置连续精度满足0.001mm，切线连续精度满足0.5°〔8〕其为判断是否连续的默认值。
具体程序实现的流程图如图3.1所示:
图3.2是该功能模块应用的一个实例:在额定切矢误差为0.5的条件下，判断结果
为这两个相邻曲线切矢连续。
3.2.2 ，构曲面间连续性的直接计算分析
该方法用于直接判断相邻二曲面间的位置、切线、曲率(高斯/平均/绝对曲率)的连续情况.通过比较相邻边的公共对应部分的离散对应点之间(离散密度按需要预先设定)的位置/切线/曲率值是否在设定的误差范围内，来实现对二者连续性的判断。由于在大多数实际应用中，位置连续精度满足0.001mm，切线连续精度满足0.5°即可，所以设定其为判断是否连续的默认值。在判断相邻曲面的位置/切线连续之后，为进一步知晓是否G2连续，需要判断曲率误差是否在误差范围内，如各离散对应点的相应曲率值最大误差小于设定误差。但高斯/平均/绝对曲率取决于曲面的尺寸大小，如:半径为1的球高斯曲率为1，半径为10的球，高斯曲率为0.01。故没有唯一的默认值适合于所有的模型，为确定一个有效额定误差，生成一个曲率分布图，检验边界处的曲率值，然后使用中间值的一个小的比例较为合适，如1%作为设置的额定误差〔8〕
具体程序实现的流程图如图3.3所示:
图3.4是该分析方法应用的一个实例:判断结果为这两个相邻曲面在额定误差内，位置/切矢/高斯/平均/绝对曲率连续。
3.3基于曲率分布的重构曲面连续性分析
通过显示拾取的相邻曲面的等曲率(高斯，平均，绝对)线，和彩色分级显示分布图，观察相邻公共边界处的曲率等同情况，有助于判断曲面片间的宁连续情况〔18、19〕
曲面上一点的高斯、平均、绝对曲率计算原理如下:
已知曲面 PP (u,v)， 若在uv参数平面的定义域内定义一条参数曲线P(t )=[u(t),v(t)]或直接令u=u(t),v=v(t)，代入曲面方程，则P=P [u (t) ,v(t)]就成了单参数t的矢函数，表示曲面上的一条曲线。对参数t求导，得该曲线的切矢
由弧长微分公式可得:
上式在古典微分几何中称为曲面的第一基本公式。E,FG称为第一基本量。
曲面 的 曲 率由曲面上的曲线的曲率引入。以弧长s为参数，则曲面上曲线P=
p[u(s),v(s)]的切矢为
该曲率矢在曲面曲线P点处的曲面法矢n上的投影p″n称为曲面在该点沿切矢
P′方向的法曲率。
法曲率可正可负，其符号取决于曲面上曲线的曲率矢在曲面单位法矢上的投影分量是否与曲面单位法矢同向。
将法曲率kn对表示方向的比值dv/du 或者du/dv 求导，令其等于零，可得到法曲率的最小值k1和最大值k2的方程
具体 程 序 实现的流程图见图3.5，图中的曲面品质分析的可视化后置处理技术将
在第六章有详细介绍。
图 3.6 给 出了一个运用该工具进行分析的一个实例，可以明显看出中间和左边的两
个曲面之间高斯曲率连续性较好，而中间和右边的曲面高斯曲率之间连续性较差。
3.4重构曲线曲面的连续性基于光照的分析
基于光照的方法通常包括等照度线、反射线和高亮度线。所得的结果一般比较直观.三者都能够将曲面间的连续性程度，降低一度显示〔4、5、5、7、20〕，即若曲面间为二阶连续，则等照度线、反射线和高亮度线切线连续，否则，切线不连续，表现为明显的打折。若曲面间为一阶连续，则等照度线、反射线和高亮度线位置连续，否则表现为明显的断开。其中等照度线尤其在检侧曲面间连续性方面使用方便，反映灵敏。
3.4.1反射跳分析曲面间的连续性
汽车制造工业中，人们用平行日光灯照射在车身上来检查车身曲面是否光顺，反射线法是对这一过程的模仿，比较直观，和工程人员的习惯做法相同。该方法也可用于检验曲面间的连续性情况。
图37汽车工业中使用平行光反射线检脸曲面品质实圈
反射线是一组平行光线在曲面上的投影，是一组曲面曲线。一般利用反射线的不规则扭曲反映曲面的细徽缺陷(该功能使用详见下一章)。如图3.8, 是曲面法矢，L3是平行光线 的上的一点，E是视点。利用入射角等于反射角可以定义反射线[18],点P为反射点的条件为 ，反射线是满足这一条件的反射点的连线。或用下面的公式统一表示:
当 FR为0时，P1点组成的线为等反射线.
该公式可作为可视化处理时使用的场t值计算公式。
FR的几何意义为:由线段 为边的六面体体积为0，或三线段共平面，等价于视点E的对应点L3应必定在光源线上，即与经P，反射必定到达视点E0
可以证明反射线的存在与视点有关，必须合理地选择视点光线才能投影到曲面上，得到反射线。实际流程如图3.9:
图3.10是运用实现的功能模块进行具体分析的一个实例。从图中可以看出，反射线在公共边界处发生断裂，即位置不连续，说明三曲面间切平面不连续。
3.4.2高亮度线分析曲面间的连续性
该方法是一种简化的反射线法，取消了视点。高亮度线是曲面上一些点的集合，这些点处曲面法矢的延长线和直线性光源的垂直距离等于零，即高亮度线上每一点处的曲面法矢通过光源线。如图3.11:
直线光源 ，对于曲面上的点P2, 代表曲面在该点的法矢相对应的方向矢量。在P2点曲面法矢 的延长线通过直线光源，则为曲面高亮线上的点〔6〕。等价于下面的计算公式:
当FH为0时，P2点组成的线为高亮线。
该公式可作为可视化处理时使用的场量值计算公式。
FH的几何意义为， 三矢量线段组成的六面体体积为零，三线段共面，矢量线和光源线相交。
其实现的流程图如下:
图 3.13是运用实现的功能模块进行具体分析的一个实例。从图中可以看出，高亮
线在车尾车顶部的曲面位于最上方的标注圆环1内)相邻处，保持切矢连续，说明该处曲率连续，在车侧窗部(位于中间的标注圆环2内)，高亮线出现弯折，说明该处切矢连续，但曲率不连续;在车侧下部(位于最下方的标注圆环3内)发生断裂，说明该处位置不连续。
3.4.3等照度线分析曲面间的连续性
此法由Poeschl〔5〕提出. 等照度线是由曲面上具有相同光照度的点的集合所形成
的曲线。
参见图3.14， 是曲面上一点对应的法矢，L是平行光线的方向矢，则等照度线
上点的条件是
其几何意义为上述两矢t夹角的余弦。
该公式可作为可视化处理时使用的场t值计算公式。
图3.16是运用实现的功能模块具体分析手枪子弹头曲面设计质的一个典型实例。
从图中可以看出，左边的两相邻曲面位置连续，切平面不连续，其彩色分级映射图的分级线，断开，位置不连续.中间的两相邻曲面位置连续，切平面连续，曲率不连续，其彩色分级映射图的分级线，位置连续，切矢不连续;右边的两相邻曲面位置连续，切平面连续，曲率连续，其彩色分级映射图的分级线，位置和切矢连续.鲜明地反映了等照度线发将曲面间的连续性程度，降低一度显示的功能。
3.5其它方法
除上述主流曲线曲面分析方法外，下面的一些实用工具也能够从一定的侧面反映重构曲线曲面间的连续状况，曲面控制顶点图，曲面法矢图。曲面控制顶点图:通过显示相邻曲面的控制网格，观察控制顶点之间的吻合程度，反映曲面间连续情况。其程序流程图的实现如下:
图3.18是运用实现的功能模块进行具体分析的一例。可以看出，左右曲面间控制
顶点吻合比上下控制顶点吻合程度好，因此左右相邻曲面间的连续性比上下间好。
曲面 法 线 图:通过可视化显示设定密度的相邻曲面的法线，直观的观测边界处的法矢及其夹角。反映曲面间的法矢/切平面连续(GI连续)信息。其程序流程图的实现如下:
图3.20是运用实现的功能模块进行具体分析的一例。在计算机三维环境中，通过旋转，放大，移动等即时操作，可以更清晰观察相邻部位法矢角度变化情况。
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