抛物线01卫星01 在低轨道上运动时,由对应关系得,卫星的速度更大,动能更大

来源: 于 2011-07-31 05:56:47 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次
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主题：高中-综合-动力+功能（向心力）
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小球沿粗糙曲面时克服摩擦阻力的功
jlzxcwg
一个质量为m的物体从四分之一圆的顶端沿曲面从静止开始滑下，已知物体和曲面的动摩擦因数是μ，圆的半径是R，沿斜面下滑的过程中克服摩擦力做的功是多大？
multiple1902
对于每个时刻，重力是确定的，角度是确定的，那么可以求出摩擦力。把摩擦力对路程积分即可，但是要注意有的角度物体可能会离开斜面。
shaoyx
还有个向心加速度的麻烦！
dadadadashaz
dW/dθ+2μW=3μmgRsinθ，W(θ=0)=0。解之，求W(θ=π/2)即可。
jlzxcwg
谢谢，对于凹形的曲面，这个方程能否更细致些？能告诉我具体的解答结果吗？最好能有具体的过程，请教了！
dadadadashaz
图片点击可在新窗口打开查看
(1/2)mv^2=mgRsinθ-W(θ)，W(θ)是到位置θ时候摩擦力做的功；f=μN=μ(mgsinθ+mv^2/R)=dW/Rdθ；这样一整理就得到我写的方程。解之常用的是常数变异法，如果不喜欢动手，mathematica等软件可以代劳。
图片点击可在新窗口打开查看
mathematica得到的解，与我的方程对比不难看出各变量分别代表什么。常数依据初始条件W(0)=0，容易定出常数。本来这个还涉及分类讨论：是否能飞出去。如果摩擦系数太大是飞不出去的，我就不去进行了。那部分涉及超越方程，徒手解不出来的。
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经典习题·方法与科普·待解问题

 
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环管内摩擦力做功
融化の冰
有一个圆形的管子上端开了一孔,要把球从圆的最低点以匀速率V弄到最高点,两壁那个圆半径都视为R,大圆内侧摩擦因数为u,小圆的外侧是光滑的.求F至少要做多少功?
若V^2>gR,答案是很简单就可以求出来的;那么V^2<gR,怎么求?这样的话最上面有一段圆弧摩擦力是不做功的.
图片点击可在新窗口打开查看
把球用力F从最低点弄到最高点,内外壁半径都是R.若V^2>gR,那整个过程外壁都对球有弹力,即整个过程摩擦力都做功,对称性易求功.若V^2<gR,那最后小球经过的圆弧外壁无弹力而内壁有支持力,摩擦力有一段不做功,怎么处理?
w=2mgR+πμmv^2，w=2mgR+mμ(√(g^2R^2-v^4)+v^2arccos(-v^2/(gR))。
shaoyx
对F的要求是：1）能使小球保持匀速率，2）把小球从底弄到顶所做的功最小，是吗？这样的话，让F把小球总是紧压在内壁上，这样摩擦力不就总是无功可做了吗？
融化の冰
我错了老大！看来我的思维很不严密，是用绳子去拉小球的，即F和速度的方向始终相同。
shaoyx
哦，那样的话，用一个简单的积分就能算出来了。
融化の冰
积什么分?对角度进行积分?
shaoyx
对呀，位移元ds=Rdθ．
融化の冰
第一段积分有一个π/2，第二段有个arccosA，但不是应该是π-arccosA=arccos(-A)吗？
我算出来不是那答案，我积了两段。
shaoyx
不要积两段，统一积分。以在最低点时对应的角度为0度，最高点时对应180度，来积分，上限就是脱离点对应的90至180之间的那个角A。摩擦力都用um(vv/R+gcosa)，而在临界点vv/R+gcosA=0。
融化の冰
我晕，我分两段是因为我把SIN和COS的性质混淆了！老大终于把它给弄对了！
shaoyx
是小冰终于把它给弄对了吧？
我觉得小冰须反省一下——发言不仅要使自己明白，还应注意让别人也明白，否则误解不断，对人对己都是一种折磨。
融化の冰
嗯，有道理，我知错就改！
fire7
题目中没角A?
shaoyx
临界点vv/R+gcosA=0！

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卫星变轨时的速度
凭雨听风
人造卫星在近地轨道作匀速圆周运动，在A点加速运动到椭圆轨道，后来又在B处调整运行姿态在正圆C轨道上运行。那么，如果AB是两个轨道的交接点，比较人造卫星在A、B、C三点的速度大小。
sm19871121
a>c>b。我觉得是这样的，首先在椭圆轨道上b点重力势能增大，速度减小，a>b；c点能在外轨道上维持住，mv2/r=mg'，c>b，g'<g，a>c。
shaoyx
b>a>c。
sm19871121
斑竹理解错了，椭圆应该和两个圆都相切，所以b的速度最小。
shaoyx
是我弄错了，做的时候，不知怎么搞的，把B点当成是近地点了。
我是汉子
Vb>Va>Vc
nomoney
在变轨时，不是调整什么，是要点火的，即加速。先在低轨道上运行，加速到过渡轨道（椭圆）再加速到预定轨道上。
图片点击可在新窗口打开查看
shaoyx
楼上的题与图使问题清楚多了！
changhai_jz
nomoney的解释是很全面的，不过我觉得还要注意的是：因为A、B是两个轨道的交接点，所以在AB均有两个速度。尽管nomoney的解释中已经强调了va、vb的意义了，但是还没有能够强调这个方面。实际上只能说，椭圆轨道上A点的速度>小圆轨道上A点的速度>大圆轨道C上的速度=大圆轨道上B点的速度>椭圆轨道上B点的速度。

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卫星的轨道和动能的改变
wow8
某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆,由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1和Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则( )
A r1<r2,Ek1<Ek2　　　B r1>r2,Ek1<Ek2　　　C r1<r2,Ek1>Ek2　　　D r1>r2,Ek1>Ek2
答案为B,为什么啊?
shaoyx
高空中也有空阻力，因此卫星缓慢下落，但下落过程中，引力做的正功比阻力的负功在数值上更多，所以动能反而是增加的。
天人不寂寞
如果动能是减小的，速度就减小了，根据公式，速度减小，环绕半径应该是增大的，而现在环绕半径是减小。所以动能是增大的。
wow8
我们一般研究卫星绕地球运动的时候,一般是匀速圆周运动,且没空气阻力.按shaoyx说法"高空中也有空阻力,因此卫星缓慢下落",好象无法解释半径变小.
dhm0912
因为速度减小后，提供的向心力大于需要的向心力，也就是GMm/RR>mvv/R，卫星做向心运动，所以半径肯定变小！
sunjingquan
楼上说的对,速度变化的原因是由于力对物体做了功.
qqgl220
由于卫星只受万有引力,在这个过程中,卫星在万有引力的方向发生了位移,万有引力对卫星做了正功,并且这个正功大于克服摩擦阻力做的功,所以卫星的速度增大.
这样的解释真让人看不懂啊！
1、只受万有引力，又说摩擦力！2、什么叫：“卫星在万有引力的方向发生了位移”？万有引力的方向一直在变化，应该指“径向”吧？3、这个正功大于克服摩擦阻力做的功，什么理由？
sunjingquan
前面的一些说法不合理，删除，在本楼给楼上解释。
1、只受万有引力不正确，还有摩擦力。2、是径向发生了位移。但在很小的一段，可以看作力的方向是不变的。所以原来的说法也不错。3、因为卫星在运动过程中速度和半径变化是非常的慢，可以近似看做是围绕地球做圆周运动，所以根据万有引力提供向心力可以得出轨道半径小时的线速度大，再根据动能定理，只有万有引力和摩擦力做功，所以万有引力做的正功大于克服摩擦力所做的功。
shaoyx
空气阻力先使卫星速度变小，然后此时的万有引力就大于卫星在原来轨道上运行所需的向心力，万有引力就要把它往下拉，下拉的过程中卫星的速度更大了。
lvxiesen
由于要克服阻力做功的原因，卫星的机械能减小，即动能减小，速度减小，由于引力作用，轨道半径必减小，即高度下降，此过程引力做正功，引力势能转化为动能。在新的轨道（半径小）上卫星又做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，此时速度大于原来轨道时的速度。该过程与我们卫星回收过程相似！
好凡64
1. 首先要明确的是:卫星是由万有引力提供向心力做圆周运动的,轨道半径与速度有一定的对应关系,轨道半径越大,速度越小,动能越小.反之半径越小,速度越大,动能越大.
2. 卫星在高轨道上运动时,由于运动阻力与运动方向相反,使速度减小.导致万有引力大于卫星所需要的向心力,使卫星向低轨道运动,半径减小.
3. 在低轨道上运动时,由对应关系得,卫星的速度更大,动能更大.
4. 卫星由高轨道向低轨道运动的过程中,万有引力做正功,运动阻力做负功,正功的量值大于负功的量值,使卫星的动能增大.
sadwater
这个问题很简单.你之所以有疑问,是因为你考虑能量的时候只考虑了动能,重力势能呢?或者说卫星和地球之间的引力势能呢?你考虑了么?引力势能公式可以通过引力公式积分求得.引力势能=-GMm/R,取无穷远处势能为零.如果你仔细计算你会发现一个很有趣的结论,引力势能的绝对值是动能的两倍.这个结论对你做题很有帮助的.
shaoyx
“引力势能的绝对值是动能的两倍”——这只对圆周运动才有效。
清风箭客
这实际上是一个势能转化为动能的问题，就机械能来讲，还是轨道半径大的时候机械能大。

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卫星变轨时作何运动？
babysor
今天在做题的时候发现有一道天体运动的选择题，由于不算重点，故老师和班里那个高手都直接用“没听说过制动变轨么”略过……题目是讲卫星在星体引力作用下从椭圆轨道变到圆形轨道，在接轨处卫星做什么运动。选择有减速和加速，答案说减速。但是我发的第三个图片那种运动可能发生么？可能的话就说明卫星可能加速，请高手赐教呀！
图片点击可在新窗口打开查看
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sunjingquan
第三个图还从来没有看过，也没有想到过，应该说不能存在，理由还没有想清楚。
shaoyx
理论上可能，实际上应该没人那么做吧。
babysor
也就是此题只能选减速了？
shaoyx
你题目也不明确，一般都在近地点和远地点变轨，前者减速后者加速。
babysor
是呀，我在书上一般都是只有以上两种情况。但是这次考试是专人出题，图案也是另外弄的，偏偏他要画成我第三个那个图缺少变轨后的圆形，所以我就选了加速，这个我是直接根据万有引力刚开始大于向心力，故若不变轨就是图中的近心运动，加速后当向心力等于万有引力时就圆周运动了。
我在纸上画图发现只要在椭圆某一点曲率半径小于变轨后的圆形轨道半径时就是加速，以上根据万有引力。椭圆曲率半径有可能小于该点连接星体的长度么？
shaoyx
当然可能啦。想象一个很扁的椭圆，在远地点……
babysor
也是！对了，我还去请教过我们学校一个物理成绩最好的学生，他讲从能量方面去研究，可是列一个万有引力公式之后由于有事情就离开了，这点我想有可能有突破口……
cheng1969030
第一和第三个图都不可能，因为速度不可能发生突变，因此速度方向必是两个轨道的切线，即只可能在椭圆的最远点或最近点变轨。对于是加速还是减速，要看怎么变轨，若是从高轨道变到较低的圆轨道，则在近地点减速，若从低轨道变到较高的圆轨道，则在远地点加速。
babysor
这个可能就是我要的答案吧。出题人的无知，貌似是一个别的高中学校老师出的题，主要是图误导了我，不过我去问别人就那么多人没有头绪……
能量方面我研究过了，应该是要对比变轨前后的机械能：椭圆轨道上的机械能=动能+引力势能=一定量，圆形轨道上的机械能=……这两个估计不能比较。那个同学的着思点错了吧。
shaoyx
速度方向不能突变？那速度的大小能突变吗？最近点或最远点上的变轨，在理想状况下不就是速度大小的突变吗？现实中自然不是，但速度方向在现实中也可以不突变哪！
能比较啊，不是有个引力势能的公式Ep=-GMm/r吗？问题是你的问题似乎与此无关。
我是一名教师
近地点变轨是减速，远地点变轨是加速。至于在其他地方变轨。也有可以的。我是联想导弹变轨想的。
cysjq
真正的变轨都是在近地点和远地点,楼主的第一个图和第三个图的情况没有见过.

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绕月时的速度与距离
xca64143266
嫦娥一号轨道的近月点到月球球心的距离193km，远月点到月球的距离194km，两位同学利用不同的方法分别计算出卫星经过近月点时的速度、近月点到月球球心的距离和经过远月点时的速度、远月点到月球球心的距离之间的关系。
张明的方法：
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王玉的方法：
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请分别对这两位同学的计算方法作一评价，并估算从远月点到近月点卫星动能的增量。（卫星质量为1650kg）
在这个题目中，张明同学的算法，利用万有引力等于向心力列方程时圆周运动的半径有误；王玉同学的算法答案说是正确的，可我觉得近地点和远地点重力加速度g不等，所以王玉同学的算法也有问题。大家看一下是这样么？
答案上提示有两种做法，一种是利用动能定理，一种是应用引力势能来算，动能定理的做法也就是王玉同学的做法吧？那利用引力势能怎么做呢？需要用到积分么？大家帮忙做一下，最好过程详细些，先谢了。
zhi_qu
张明同学算法的错误之处在于本题中既然已经提到了“近月点”和“远月点”所以轨道不应该是圆周，此时的“圆周运动”的半径应该是此处的曲率半径。王玉同学的算法是正确的，在计算重力做功时，g的取值就是按照在地面上的g值来计算的，和高度没有关系。
另外所谓利用“引力势能”的方法来计算，我想其实就是我们所说的机械能守恒定律，只不过在这里把重力势能更加严格、科学地称之为“引力势能”了。
shaoyx
“可我觉得近地点和远地点重力加速度g不等，所以王玉同学的算法也有问题。大家看一下是这样么？”
——你说的对，两点的重力加速度是不等，但因两点只差1千米，所以实际上这两个重力加速度十分接近。王玉同学的方法可以算是正确的。
引力势能有个公式：-GMm/r。它由积分得来，但现在只要记住它就行了。
sunjingquan
shaoyx版主说的对，由于距离相差不大，所以可以忽略，并不是一定相等。
xca64143266
这个题是估算题，近地点和远地点的g值可以认为近似相等，这个g值可以认为和地面上的g值近似相等么？再者提到曲率半径，我还想问个问题，近地点到月球的距离和该处的曲率半径数值上差别很大么？若遇到这类似椭圆的问题有什么好的解决方法么？
sunjingquan
月球的半径大约是1600km,194km可以认为在月球的表面,但不要说成是"地面".
曲率半径是非常小的一小段圆弧所对应的圆半径.因为任一小段曲线都可以看做一个圆弧对应一个圆心.曲率半径就是这个圆的半径.在近地点和远地点的曲率半径是相同的,因为轨道是椭圆.但曲率半径都不等于嫦娥一号到月球球心的距离.近月点时曲率半径大于距离,远月点时小于距离.向心力都是mvv/r,只不过r是曲率半径而不是月球到地球的距离.这时提供的向心力不等,近月点时提供的向心力小于需要的向心力,所以做离心运动,在远月点时提供的向心力大于需要的向心力,所以做向心运动.
在这类问题中,关键是对向心力公式的理解.一定要明确是对圆周运动才成立,而对于椭圆,则不成立.每一个运动都有对应的力的规律.如果是椭圆轨道,则是开普勒第二定律.
shaoyx
嗯，我看孙斑竹说得基本正确。关键不是曲率半径有不同，而是到月心的距离不同，从而提供向心力的引力不同。
在此很接近正圆的椭圆中利用向心力公式也是可以的：设近月远月两点的速度分别为V和v，到月心的距离分别为r和R，两点的曲率半径都是r'。GMm/RR=mvv/r'，GMm/rr=mVV/r'，所以，mVV-mvv=GMmr'(1/rr-1/RR)=(GMmr'/RRrr)(RR-rr)=(GMmr'/RRrr)(R-r)(R+r)，因为R≈r'≈r，所以，mVV-mvv≈(GMmr/rrrr)(r+r)(R-r)=2GMm(R-r)/rr≈2mg(R-r)，跟王玉的结果是一样的。
babysor
不是直接有公式“v近*r近=v远*r远”么？这个不叫关系式么？
shaoyx
别人从另一个角度思考问题就不可以吗？
babysor
主要记得椭圆的天体运动的向心力公式里的r是曲率半径就得了……

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半球与滑块
白痴
半径为R，质量为M的表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在与水平面垂直的线成α角时开始脱离半球，已知cosα=0.7，求M/m。
dadadadashaz
关键是脱离对应压力为0。另外题目叙述不太清楚，漏点什么。
xuzhaojin123
设滑块的横向速度（绝对速度）为vx，半球的速度为V，则由动量守恒可得m*vx=MV；以半球为参照系，滑块的相对速度设为v（方向自然沿着切线方向），牵连速度为V，则有几个关系式：vx=v*cosu-V；vy=vsinu。式中u为角度，vy为滑块纵向速度（绝对速度）。于是由动量守恒结果可得：M/m=vx/V=(v/V)cosu-1 （或1+M/m = 0.7 (v/V) ）。
由向心力公式可得：v^2/R=gcosu，即：Rg=v^2/0.7。由能量守恒可得：MV^2+mvx^2+mvy^2=2mgR(1-cosu)=0.6mRg=6mv^2/7，简化可得：MV^2+m(v^2+V^2-2vV)=6mv^2/7。对上式左右两边同时除以mv^2，可得：(M/m+1)(V/v)^2+1-2(V/v)=6/7，即：0.7(V/v)-2(V/v)+1/7=0。进一步化简可得：(14-4.9)(V/v)=1，解得：v/V=9.1。
已知：1+M/m=0.7(v/V)=6.37，从而得：M/m=5.37，所求的m/M=0.186。
wmeili
说明：1）刚分离时，物体与球面间无压力，重力分力充当向心力；2）向心力方程中的速度v是相对于圆心的速度，所以楼上选取半球为参考系；3）动量守恒方程是以地面为参考系的，且为水平方向；4）系统仅势能和动能之间的转化，所以机械能守恒。
shaoyx
“由向心力公式可得：v^2/R=gcosu”
补充说明：分离的瞬间，半球参照系正好已变成惯性系，所以，向心力中没有惯性力的贡献。这与未分离前向心力的成分是不同的，幸而不需计算那时的向心力。
白痴
MV^2+m(v^2+V^2-2vV)=6mv^2/7的计算好象错了，最后结果也不对，应该是M/m=2.43。
shaoyx
楼上说的对！他那里漏掉了cosα。xuzhaojin123的列式是对的，我按其列式算了一下，确实得到了M/m=2.43。

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半圆柱坡面上的圆周运动
namejiang
小车（可看成质点）在光滑水平面上匀速运动，右边有一半径为R的光滑坡面（与水平面交接处圆滑），问：小车能在坡面上作圆周运动吗？如果能，V有什么条件？
图片点击可在新窗口打开查看
dhm0912
机械能守恒——mgR+mv1v1/2=mvv/2，最高点v1<(gR)^0.5，所以v<(3gR)^0.5。
namejiang
假如在最高点刚好作圆周运动，那么在比最高点低的位置速度一定比最高点大，而能提供的向心力却比最高点小。那么命题就不成立了。所以我觉得问题没有2楼说的那样简单！
shaoyx
楼上说得对，在滑下半圆的某点上，物体总会脱离圆面而做斜下抛运动。
changhai_jz
很有道理的质疑！我也感觉题目本身有点问题！
seaworld
首先，车一定要能上到最高点，在最高点的速度等于零时，这是个临界条件，能过最高点的条件是：V＞V临界．临界条件是：V临界＝根号gr，因此V＞根号gr，这是能使车冲上坡的条件。而冲上坡上后，车将脱离轨道作平抛运动。
ltm_502
要使车能在坡面上做圆周运动，过最高点的速度需大于零，但太大了会离开坡面，在最高点的速度必须小于根号gR。能不能这样解：
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我解答的结果是：小车在水平面上的速度须大于根号2gR，小于或等于根号5gR/2。
shaoyx
哪来的R=gtt/2？
namejiang
好像算错了，该为：小车在水平面上的速度须大于根号2gR，小于或等于根号3gR。但即使满足这一条件的速度也无法保证全过程作圆周运动的！
总觉得在爬坡过程要作圆周运动都是不可能。因为只要V确定，在任一位置速度的大小由机械能守恒可知都是定的。而重力分力和弹力提供的向心力在每个位置都要和所需向心力相等好像也不一定办得到。在任意一位置必须满足（由机械能守恒，牛二定律得）：3mgrSinα－Nr=mVV，好像V没有定值啊！
zangyan_0001
在平面与球面相交处光滑，只说明没有能量损失，但当物体刚运动到球面上时，其速度几乎竖直向上，做竖直上抛运动，而不做圆周运动。
shaoyx
嗯，楼上说得很有道理！
ltm_502
按你的说法，那么可能有人要说：“小车被反向弹回”。
shaoyx
这就有些勉强了。那个光滑的拐角把水平方向的速度变为竖直方向，只要把车视为质点；“小车被反向弹回”当然在实际中更为可能，但那样一来，题目中特别指出的这个光滑拐角就变得毫无意义了——“小车被反向弹回”与题意肯定不符合。
zznzgz
无论小车的速度多大均不能做成功圆周运动. 2006-6-12 22:56:57举报帖子
liuzgzgbq
小车是不可能在斜面上做圆周远动的！
nomoney
下来时一定会脱轨的。
ltm_502
设想在最高点水平抛出，落到水平面上时，水平位移等于半径R，这样是否能保证在滑下坡面时不离开坡面？至于能否滑上坡面的问题，如果在上坡处加一光滑曲面，让小车在两曲面之间滑动，就可保证小车滑上坡面。
shaoyx
那样的抛物线是包在半圆里面的，小车显然不能钻到坡面以下。
ltm_502
我的意思是：小车在最高点的速度如果不超过平抛到达坡底的这样的速度，能否保证小车在坡面下滑时不离开坡面。
shaoyx
其实，即便在最高点时速度为0，它也一定会在下坡的某点脱离坡面。从机械能守恒与重力的法向分量提供向心力，不就可以得出结论了吗？注意，坡面是半圆！
ltm_502
看来这题是没法解的。
twilight1212
其实要使车在坡面上运动，只需满足f(支)>=0即可，由于坡面为圆形，根据对称性现只需考虑上滑过程，假设任意时刻小车与水平面夹角为a，速度为v1，初速度为v，而根据牛二定律和机械能守恒，有mgRsina-f(支)=mv^2/R…①；1/2*mv^2+mgRsina=1/2*mv1^2…②；由①②得f(1支)=3mgRsina-mv^2/R>=0，解得v<=根号3gRsina<根号3gR。
shaoyx
这题是有问题的，它不论初速如何，其实根本就上不了半圆坡道，要么与坡的开始部分对它来说是竖直的前缘相撞而弹回，要么水平的初速被一个假想的小弯道转变为竖直向上的速度，从而竖直上抛运动。

经典习题·方法与科普·待解问题

 
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帅哥哟，离线，有人找我吗？
shaoyx
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天梯的长度
dadadadashaz
科学家欲制造一根通往太空的天梯，它下面在地面，上面竖直指向天空，假设天梯仅受地球引力作用，且与地面相对静止，求它的长度。已知g=9.80m/ss，R=6370km，T=24.0h。
wqw1978
这里有解法：http://www.teach.ustc.edu.cn/jpkc/xiaoji/lx/qtzy/2006/JSC.doc
dadadadashaz
1.44*10^8m,谁有问题?
dadadadashaz
楼上链接很慢，复制下来了——由“天梯”问题引发的思考（05少年班　季思聪）
一．前言
自古以来，人们就一直怀有上天的梦想，古人大体有两个设想：
1．凭借自己或工具飞上天空，于是产生了大量的神话故事，如嫦娥奔月；现今的武侠小说也大量借用这一思想，大侠们个个靠苦练数十载终于可以达到飞檐走壁甚至“水上漂，草上飞”；之后横行江湖，这可以说是上天思想在文学上贡献。它对科学的贡献也是巨大的，人类从早期发明的纸鸢，热气球，滑翔机，进而到现在我们熟悉的各式飞机，再到可以冲出大气层，进入宇宙的火箭，宇航飞机，卫星和各种探测器，我们一步步地实现我们的最终梦想：探索全宇宙。而这个思想也是我们的必由之路。可以说它已经成为了人类的宠儿。那另一个呢？
2．古人很早就学会了造梯子，在古人眼里，梯子可以上树、可以上房、可以上城，甚至可以上山，自然也应该可以上天吧，这我们看起来有些荒谬，可古人却很固执的这样认为，不是李白有句脍炙人口的名句“地崩山摧壮士死，然后天梯石栈相钩连”吗？不止东方人，西方人也有同样的想法呢！这个看过童话《杰克和魔豆》（把我们的梯子换成了豆芽，可能那时他们还没学会造梯子吧，呵呵）的人应该很清楚了吧。可是这个同样很具潜力的设想却迟迟不得实现。于是这引发了我的思考，到底存在“天梯”吗？我们可不可以制造“天梯”呢？如果我们真的能制出天梯，人类与太空就真正做到了零距离，那时我们进太空就如同坐电梯上高层一样简单，多爽呀！人类一定会迈入一个新的纪元。
二．讨论
下面我们来仔细讨论一下“天梯”，天梯应起始于地面固定一点，终止于太空中某点，相对地面应该是静止的（如果动的话必定由于空气阻力作用使天梯最后倒下，再者谁也不愿意乘坐一架乱动的天梯呀！）。显然，如果这个天梯是竖直的，则此现象一定发生在赤道上（不在赤道时必然天梯受到与天梯垂直的力，使天梯倒向赤道方向。），我们所要做的就是判断在何种条件下天梯可以以地球的角速度转动且不受地球的拉力或支持力。
图片点击可在新窗口打开查看
四．分析
我们下面来分析一下我们所得到的结果，目的在于讨论天梯材料与制造问题。
由万有引力公式，对其求微分，我们很容易得到天梯上最大张力F在L=R处取得（其中R即为地球同步卫星轨道半径42000千米），它满足F=4.8 10 N m。这个张力与线密度之比的数值远大于我们熟知的材料（例如钢为2.6 10，碳为1.7 10）。由此看出，制造天梯从原理上是完全可行的，但我们需要找到合适的材料才可以保证天梯状态稳定且不形变。
五．进展与希望
虽然天梯的材料极其难觅，建造天梯也是一极其浩大的工程，但科学家们从来没停止过对天梯的研究与探索。下面是一篇关于美国阿拉莫斯国家实验室研究天梯的成果与进展的文章。
美实验室计划制造一能通向62000英里高空的天梯（选自南方都市报）
美国洛斯阿拉莫斯(Los Alamos)国家实验室的科学家们正在设想制造一个能通向62000英里高空的天梯，在那里可以更加容易发射飞行器，还可以节省大笔的开支。
“拥有天梯拥有太空”“第一个拥有天梯的国家将拥有整个太空。”洛斯阿拉莫斯实验室的科学布赖恩·劳斯切尔表示：“我认为洛斯阿拉莫斯实验室应该投入研制，使天梯成为现实。”
很多洛斯阿拉莫斯实验室的科学家都相信，天梯将变成现实，事实上，他们投入了大量时间考虑制造天梯的技术细节。更有洛斯阿拉莫斯科学家一有时间就一起分析如何让天梯运作以及天梯对使用者可能造成的健康危害。劳斯切尔希望，他们付出的这些努力将为美国的天梯研制计划铺路，最终让美国能源部立项进行研制。
科学家们设想的天梯其实是一条垂直长度达3200万层楼高的缆绳，它由一种高强度、薄而轻的纳米碳管制成，将由传统的太空飞船运到太空轨道上，然后慢慢垂到地球表面，最后连接到一个类似海上石油钻井台的平台上。
人类乘坐以太阳能为动力交通工具顺着这条缆绳上下太空，向地球轨道或外太空的卫星或探测器输送物资。设想中的天梯还连接有一些分支电缆，这些电缆将构成新的天梯。
“比起现在的航天发射，天梯投入运作后将节省大笔的开支！”对这个项目感兴趣的科学家摩根称，“从天梯的顶上，我们能更方便地向火星或者太阳系发射飞行器，而我们传统的火箭发射耗资太过巨大。”
事实上，现在人们还只能制造出几米长的纳米碳管，但劳斯切尔表示，科技发展日新月异，在不久的将来，人类就能制造出足够长的碳管。
在通常航天飞机飞行的高度之上是地球的磁气圈，虽然那里存在着致命的放射线，但科学家称，那并不意味着那里不能发射飞行器或者在更低一些的轨道进行太空旅游。
另一名对此计划感兴趣的科学家安德斯称：“在如何穿过那些辐射带的问题上，我们没有太多的经验，‘阿波罗’号上的宇航员是惟一曾经穿过磁气圈的人，他们穿过磁气圈的速度比天梯快得多。”
航天飞机上每增加一公斤的负荷，就要多花15000美元，而一个重150磅的人重68公斤。劳斯切尔说，天梯在首次启用时，上面每公斤负荷的成本仅为1000美元，以后会逐渐减少到50美元。
“太空还没有真正被开发，因为太空开发的成本太巨大了。天梯计划是惟一能真正实现低成本开发太空的途径。”劳斯切尔说，“而且每多用一次，成本都会降低，因为它完好无损，不需要更换部件。”
支持天梯计划的科学家们认为，他们花在研究天梯上的时间是值得的。“我们谁也无法想像未来的天梯将如何改变我们的生活，”摩根说，“我想再在这(洛斯阿拉莫斯实验室)呆10年，看看第一个天梯是如何改变世界的。我想，它将改变一切！”
六．总结
探索天空是人类永远的梦想，自古以来，有千万个难题都被人类所攻克。对于天梯——堪比上青天的难题，就应由我们这代来解决。为了这个足以改变全世界的奇迹的降临，让我们共同努力吧。
参考书目：《200道物理学难题》 北京理工大学2000年出版
shaoyx
初等解法简洁美妙！
zhitianshi
这种难度的题似乎不是中学生能接受的吧，竞赛也不要搞的跟天书一样吧，如此解法在竞赛中能在短时间内想出来吗？怀疑。
shaoyx
你可能是没遇到过能参加这种竞赛的孩子们有多厉害。曾活跃本版的dadadadashaz就是这样一位同学，你不妨关注一下有他参与的帖子。
融化の冰
"我们所要做的就是判断在何种条件下天梯可以以地球的角速度转动且不受地球的拉力或支持力"——为什么要不受拉力和支持力啊(不论题目)？还有,为什么要在赤道？"不在赤道时必然天梯受到与天梯垂直的力，使天梯倒向赤道方向"——不太懂，不过好象对解题没什么影响.
shaoyx
本题就是要使引力等于离心力，所以，弹力性质的拉力或支持力为0。离心力平行于赤道面，引力指向地心，笔直的天梯不在赤道面内，力矩就不可能为0。
融化の冰
看来我真的是疯了！向心力的方向想成指向地心！
shaoyx
向心力是指向地心，但离心力相反。
融化の冰
向心力指向地心？不是应该指向所围绕的圆的圆心么？
shaoyx
你说的对，是我想错了。
银河战舰
科技的进步在于想象！异想天开才能推动科学的进步！希望中华民族能再创辉煌！

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shaoyx
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游乐列车
shaoyx
如图1，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长L，圆形轨道半径为R（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度，才能防止列车开上圆轨道时车厢脱离轨道？（假定轨道光滑）
图片点击可在新窗口打开查看
分析：
列车开上圆轨道上时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值v，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道。一节车厢（m=M*l/L）在圆轨道上最危险的位置当然在圆的最高点（如图2），临界情况下最高点的车厢对轨道压力恰为零，此时车厢的向心力应是2T*sin(θ/2)+mg=m*v^2/R。
如图3所示，T为圆轨道上挤满车厢后最高点相邻两节车厢之间的拉力。由于圆轨道上挤满车厢后，圆轨道上所有车厢都作匀速圆周运动——此后的一段时间内，车厢的动能保持不变，所以向左的拉力T做的功应等于最高点右侧所有车厢重力势能的增加，由此可得拉力T，从而求出列车的初速度。
解：
1）设最高点车厢拉着右半圆上的车厢移动了Δx，使车厢整体重力势能增加了Δm*g*2R，Δm是长Δx的车厢对应的质量，Δm=(M/L)*Δx，车厢间的T做功使车厢重力势能增加，故拉力功W=T*Δx=Δm*g*2R=(M/L)*Δx*g*2R，得：T=2MgR/L。
2）设每节车厢质量为m，长为l，则m=(l/L)*M。当最高点车厢对轨道压力为零时，2T*sin(θ/2)+mg=m*v^2/R，由于l<<R，所以sin(θ/2) =θ/2=l/2R，于是得车厢在最高点的速度：v=(3*g*R)^0.5。
3）设整个列车质量为M，圆轨道上所有车厢质量应为(2πR*M)/L，根据机械能量守恒定律：M*v0^2/2=M*v^2/2+2π*R^2*M*g/L，故列车最小初速度v0=[g*R*(3+4π*R/L)]^0.5。
点评：
临界位置的确定（当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值）是第一要点。而在建立的向心力算式中，相邻两节车厢之间的张力T的获得为第二要点，应选用“微元分析法”与近似处理。本题要求的不是不计质量细绳间的张力，而是有质量物体间的张力。问题中若已知不同位置的速度，一般选用动能定理或机械能守恒定律来处理。
Verandah
这道题我也做过。不过方法不一样，注意到圆轨道上挤满车厢后一段时间内V不再变化，此时车的机械能为动能+势能。势能：可以把车分成两段，挤满轨道的一段和还在地上的一段，以地为零势能参照点，则只需计算挤满轨道的那堆车厢的势能，此时可看成重心在圆心，这样易得出势能。再根据圆周运动临界状况求动能（此时注意把在地上的那堆车厢的动能也计算在内）。最后，全过程机械能守恒，求初速度。老师说这样做也可以。
不过现在看了楼主做的想问一下，拉力能不能看成内力，把整个问题看成是变质量问题（就是“从地上拉起一条铁链求做功”那类问题）？因为微元的难度实在很大。
shaoyx
拉力是必须要考虑的，关键就是微元法的应用。

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