势流理论01
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第一章 绪论
不可压缩流体的连续性方程：. 2πrVr ＝Q. ∴ Vr＝Q/2πr （6-6） ... 无限靠近，当间距δx→0时，流. 量Q→∞，使得两者之积趋于一 ..... 若物体运动有六个自由度，λ有36个分量例如船舶靠离码头，波浪作用引起横摇，纵摇等考虑附加质量、附加转动惯量
第六章 势流理论
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。
像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。
１.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩；
求解势流问题的思路如下：
２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，
要求出ｐ，必须先求出速度V
４. 对于势流，存在速度φ，满足：
（６-１）
(６-２)
５.φ满足拉普拉斯方程：
（６-３）
若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉
斯方程可以解出φ。
解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于
固体的力和力矩。
求解思路可简述为：
求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍
一个简单的方法： “迭加法”
迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。
本章主要研究内容：
1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流）
2.几种最简单的势流（几个调和函数）
3.绕园柱体的无环流流动
4.绕园柱体的有环流流动
5.附加惯性力与附加质量
6.作用于流体上的力和力矩
明确两点重要结论：
１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻
力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作
用，即著名的麦格鲁斯效应。
本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。
§６-1 几种简单的平面势流
平面流动（或称二元流动）应满足的条件：
- 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
在平面，无垂直于该平面的分量；
- 与该平面相平行的所有其
它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比
宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓
慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平
面内流动。
图 6－2
一、均匀流?
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo，
Vｘ＝Vo， Vy＝０
现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：
积分常数不起作用，可省去。
积分得势函数： （６-4）
流函数的全微分：
积分得流函数：ψ＝Voｙ （６-5）?
由（６-4） 和（６-5）有：
ｘ＝const，等势线
ｙ=const，流函数等值
线（流线）
两组等值线相互正交
图6－3
例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流
动或薄平板的均匀纵向绕流。
图6－4
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。?
设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ
Vr=f(r)， V = 0
不可压缩流体的连续性方程：
2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr （６-6）
在直角坐标系下：
在极坐标下：
（6－7）
图6－5
采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：
流线为θ＝const，为原点
引出的 一组射线
等势线为ｒ＝const，流
线为同心圆,相互正交。
图6－6
（６-8）
对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
图6-7
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。
三、偶极子
无界流场中等流量的源和汇
无限靠近，当间距δx→０时，流
量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一
个有限数值，即：
Ｑδx→Ｍ （δx→０） (6-9)
用迭加法求φ和ψ
这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。
图6－8(a)
r１≈r2＋δx cosθ１
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
场点Ａ离源和汇的距离
是个小量，利用泰劳展开得:
利用泰劳展开:
展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
令
极坐标下：
（６-１0）
（６-11）
直角坐标下：
对于流函数：
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
代入上式得:
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
（６-12）
流函数为：
直角坐标系下：
令ψ＝C即得流线族：
或
即
配方后得:
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
轴线：源和汇所在的直线
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
注意：
偶极子的轴线和方向
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点
诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
（６－15）
图 6-9
涡索旋涡强
度的两倍
所求速度的点到
点涡的距离
采用极坐标来求φ和ψ
积分得速度势函数:
（６－16）
流函数
积分得流函数：
（６－17）
图 6-9
流线：ψ＝const
同心圆
Γ＞０对应于反时针的转动
Γ＜０对应于顺时针的涡旋
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理
绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶
极子迭加形成的流动。
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
- 无穷远条件:
圆柱绕流的边界条件：
圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０，
或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件:
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
（ｂ）物面条件：
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
（ ６－18）
（ ６－19 ）
ｒ ∞
或
令（6－19）式为零：
若Sinθ＝０，有θ＝０或π
因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
若 ，即
令 , 就有r = r0，
圆周r = r0 也是ψ＝０流线的一部分
现在验证边界条件（ａ）
当ｒ→∞，从上式可得:
当ｒ=ｒ０ 时，Vｒ＝0, 满足不可穿透条件。
(6 – 21)
将 代入φ，有：
(6-20)
验证边界条件（b）
上述结果表明：
1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势，
完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的
边界条件。
2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在
ｒ≥ｒ０区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动
情况完全一样。
迭加后将ｒ＜ｒ０的部分去掉，用ｒ＝ｒ０的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。
圆柱表面的速度分布:
由（６-21）式，当ｒ＝ｒ０时：
（６－22）
与s坐标方向相反
对Ａ，Ｃ两点：
θ＝π或０，
ｖ＝０
驻点：速度为零的点
速度达到最大值，圆柱体半径无关。
在流线ψ＝０ 上（包括ｘ轴和圆柱表面）：
- 流体从∞以流速V０流向圆柱，接近圆柱速逐
渐减小，到达Ａ点时速度降至零。然后分为二
支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B，D
点时速度增至2V０达最大值。
Ｂ，Ｄ两点：
（6－23）
2.经过Ｂ，Ｄ后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时速度
又降至零。离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方
的无限远处时再恢复为ｖ０。
柱面上的压力分布:
定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:
将（６-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:
（６－24）
无穷远均匀流中压力
（６-2６）
圆柱体上：
（６－25）
压力系数:
压力分布既对称于ｘ轴
也对称于ｙ轴。
在Ａ，Ｃ两点压力最大
在Ｂ，Ｄ两点压力最小
-处： Cｐ=０，压力渐大Ａ点达极大Cｐ＝１
Ａ分两支分别流向Ｂ，Ｄ点。
沿ψ＝０这条流线的压力变化为：
Ｂ，Ｄ点：压力为极小值
Cｐ＝－３
Ｃ点：恢复到极大值，
Cｐ＝１，Ｃ点 +
压力再次减小至p0，Cｐ＝０
理想流体对圆柱体的作用力:
升力L：
合力在ｙ轴上的分量
阻力R：
合力在x轴上的分量
绕圆柱的无环量流动：
升力Ｌ＝０ 压力分布对称于ｘ轴?
阻力 Ｒ＝０ 压力分布对称于 y轴
结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。
破坏了压力分布对ｙ轴的对称性
负压
正压
达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：?
１. 理想流体?
２. 物体周围的流场无界
３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点
４. 物体作等速直线运动
５. 物体表面流动没有分离
若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。
由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
环量为Γ顺时针平面点涡
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
边界条件仍成立：
1.圆柱是一条流线
2.无穷远处的边界条件
将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加：
（6-29）
顺射针转动取负
当ｒ=ｒo (圆周仍为流线)
流场中速度分布为:
(6-30)
r=ｒ0 即圆柱表面上速度分布：
由环流引起
圆柱上表面：
顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速
度方向相同，故速度增加。
圆柱下表面：
方向相反，因而速度减少。
（6－31）
驻点位置与Γ的大小有关：
驻点处ｖｓ=０，由（6-31）有
解出驻点位置 ：
（6－32）
两驻点在圆柱面上 ,并对称
位于三、四象限。
Γ增加，则 A,B两驻点下移，并互相靠拢。
1）Γ 4πr0V0
2）Γ＝4πr0V0
两个驻点重合成一点。
3）Γ＞ 4πr0V0
驻脱离圆柱面沿ｙ轴向下。
令式（6-30）中 Vｒ= Vθ =０，
解出两个驻点：一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。
实际只有一个在圆柱体外的
自由驻点。
结论：
1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力
2. 合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力
升力大小的计算：
将圆柱表面上速度分布得：
Vｓ＝－2V０sinθ－Γ２πr０代入柏努利方程
（6－33）
得：
单位长圆柱所受到的升力为：
将（６-33）代入上式，并考虑到
于是得到升力的大小：
（6－34）
上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：
即升力的大小准确地和环量Γ成正比，此
外还和流体密度ρ及来流速度V０成正比。
称为库塔——儒可夫斯基升力定理
升力的方向:
右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°
该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅
对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。
真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除
升力外还会有阻力，但升力仍可用（６-3４）
式计算。?
麦格鲁斯效应：
绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。
如乒乓球、排球中的弧圈球、飞行而又旋
转的炮弹等受到横向力的作用，都是这一原理
的应用。
德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用麦
格鲁斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅
垂的旋转圆柱以代替风帆，即旋筒推进器。
旋转圆筒
合速度V
升力Ｌ V
推力: L在船前进方向的分力
L的分力
例6.2 已知速度势φ=x３-３x y2 ，求流函数ψ
解:
积分得:
式中f(x)为与y无关的函数。将ψ对x求导:?
即f(x)=C。则流函数为:
求：叠加后的速度势
解:
而
积分得：
(a)
对θ求导得:
另外
所以
即
代入(a)得势函数:
例6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流
函数分别为 和
例6.6 已知流函数
求: １）驻点位置；
２）绕物体的环量；
３）无穷远处的速度；
４）作用在物体上的力。
解 : １）求驻点位置(先求速度场)
令ψ＝０，则零流线为r=5的圆柱即为物面。
在物面上，ｒ＝５时，Vｒ＝０，所以
令ｖθ＝０，有
即驻点位置为
２）求环量
３）求速度
在物面上
所以
即为无穷远的来流速度。
４）求合力
若ρ＝１０００kg／ｍ３
则Ｌ＝V0 ＝ 6.28×10７Ｎ／ｍ
例6.７ 在x＞0的右半平面(y轴为固壁)内,处于x轴上距壁面为a处有一强度为Q的点源。
求: 流函数、势函数及壁面上的速度分布
解： 用镜像法,在x=a的对称位置x=-a处虚设
一个等强度的点源,则可形成y轴处固壁。
叠加后的势函数为：
在x=0处即固壁上
流函数为：
满足不可穿透条件
?
§６－4 附加惯性力与附加质量
物体在无界流体内的运动可分为两大类:
1.匀速直线运动
2.非匀速运动:
坐标系固结于物体上仍为惯性系，
为均匀来流绕物体的定常流动。
由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等
坐标系固结于物体上为非惯性系，
为非定常流动问题。
不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等
本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动
无界流场中的非定常运动物体质量为Ｍ,物面为。
取半径Ｒ非常大的球面Σ
物体运动使周围流体微团亦产生了
大小和方向不同的加速度。
Σ内流体以加速度a运动
V(t)
M
s
推动物体的作用力Ｆ：
1. 必须为增加物体的动能而作功
2. 还要为增加流体的动能而作功
因此，外力力Ｆ将大于Ｍａ
设 Ｆ＝（Ｍ＋λ）ａ （6－35）
λ称为附加质量，Ｍ＋λ称为虚质量。
令 ＦI＝－λａ （6－36）
则： Ｆ＋ＦI ＝ Ｍａ （6－37）
附加惯性力
附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周
围流体质点的作用力
由（6－36）知ＦI的方向与加速度方向相反。
当ａ＞0时ＦI＜０，即物体加速度运动时，
ＦＩ为阻力；
当ａ＜0时，ＦI＞0，即物体减速时，
ＦI为推力。
附加质量的计算
式中
所以
（6 - 39）
τ内流体动能：
（6 - 38）
V(t)
M
s
对于在区域τ及外边界Σ和内边界Ｓ上所
定义的单值连续函数P, Q, R , 高斯定理：
将上式用于流体动能表达式可得:
由方向导数定义知：
因此
可略去不计
例如当圆柱体在静止流体中运动时，其绝
对速度势为：
注：绕圆柱的相对速度势为
比较速度势及其微分的量阶：
当Σ取足够大时，ｒ→∞，则
动能计算式简化为
（6-40）
设速度势为
（6- 41）
单位速度所对应的速度势
式中
动能可写成
（6-42）
即
相当于质量
令附加质量为
（6－43）
结论：
附加质量仅与物体的形状和运动形式有关，
而与物体的速度或加速度无关。
物体沿x向作变速直线运动的附加质量,
若物体运动有六个自由度，λ有36个分量例如船舶靠离码头，波浪作用引起横摇，纵摇等考虑附加质量、附加转动惯量。
λ的个数随物体具有的对称面而减少
船舶6个自由度非定常运动附加质量
λ66 ≈ λ55
绕ｚ轴转动
首摇Yow
λ55 ≈ １－２Iyy
绕ｙ轴转动
纵摇Pitch
λ44 ≈ 0.05～0.15Ixx
绕ｘ轴转动
横摇Roll
λ33 ≈ 0.9～ 1.2ｍ
垂 向
升沉Heave
λ22 ≈ 0.9～ 1.2ｍ
横 向
横荡sway
λ11 ≈ 0.0５～0.5ｍ
纵 向
纵荡surge
附加质量
形 式
运动名称
注：m为排水量， Ixx为m绕x轴的转动惯量， Iyy为m
绕ｙ轴的转动惯量.
其附加质量为其排开的流体质量
例如半径为r0的无限长圆柱沿垂直本身轴
线的方向在密度为ρ的流体中直线平移,其单
位长度上的附加质量为：?
§６-7 作用在物体上的流体动力和力矩
作用力:
物体周线上微弧长dS, 作用力为pdS在ｘ和ｙ方向的投影分别为:
图６-19
（6－62）
因为
θ为ds的切线方向与ｘ方向的夹角。
得ｘ和ｙ方向的总力：
(6-63)
作用力Ｐ和共轭作用力定义为：
（６-64）
（６-65）
（６-66）
由伯努利方程式
（6－６3）代入（６－６５）得共轭作用力：
在物体周线上
因此
所以
（６-6７）
所以
即
（６-6８）
故
（６－６７）和（６－６８）即为计算作用在
物体上流体动力的卜拉休斯（Blasius）公式。
若绕任意形状柱体流动的复势W(z)=f(x+iy)
已知，就可由Blasius公式求出作用在单位长度
柱体上的共轭作用力，取实部即得Ｘ，取虚部
加负号就是Ｙ。
作用在任意形状柱体上对坐标原点的力
矩，由（６-6２）式得?
由于
所以
将方程
代入（６-69）式积分
因
所以
（６-6９）
所以
因
而｜V｜２是实数，上式可写成：
即
（６-70）
上式即为计算作用在物体上的流体动力力矩
的Blasius公式。
若绕任意形状柱体流动的复势Ｗ(z)已知，
积分(6-70)再取其实部，便得单位长度柱体上
作用力对原点的力矩。
即
（６-70）
任意形状剖面物体上的流体动力：
如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面
等，本定理求这些剖面上的流体动力，有重
要的理论与实际意义。
设理想不可压缩流体,无限远来流速度V０
绕流一任意形状的柱体，流动为定常势流
求:物体的升力和阻力。
坐标原点位于物体剖面上，设物体周线Ｌ
以外无奇点。作一个任意半径的圆周Ｃ将物体
周线Ｌ包围在内，则复速度在圆外处处解析,
（可展开为罗朗级数）在无限远处流体的流速
为V0，则有:
（a）
x
C
L
y
0
即复速度在无限远点解析。函数在无限远点
解析时其罗朗级数只有负整数幂的项，故复
速度可展开为：
（b）
A0 和 A1 的确定:
（ c）
由（ａ）式可得?
因流体不可压缩，通过包围物体的任意周线Ｃ的体积流量为零。由（６-5３）式有：
绕Ｃ逆时针方向的积分
将（ｂ）式代入上式，并根据留数定理：
所以
（ｄ）
将（ｃ）和（ｄ）代入（ｂ），得:
（６-71）
将上式代入Blasius公式（６-6７），便可计
算出共轭作用力:
根据留数定理其积分结果为:?
(６-7２)
其实部和虚部分别为：
阻力 R＝X＝０?
升力 L＝Y＝－ρV0Γｃ （6-73）
库塔—儒可夫斯基定理
第二式即为
结论：
2.升力的大小为－ρV0Γｃ，方向垂直于V0
1.物体只受到升力，不受阻力。
3. Γｃ＞０（逆时针）时，方向朝下，
Γｃ＜０（顺时针）时，方向朝上。
升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转90o
与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致
讨论：
1. 已知环量c，求圆柱体的旋转角速度
环量c＝ 2πr0 Vs ＝ 2πr20
圆柱表面的切向速度 Vs = r
所以＝ 0 / 2πr20
2.圆柱体长10m，直径1m，在静止流体中绕自身
轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然
风u与V垂直。
求: 圆柱体受力
解：由上题结果
环量 c＝ 2πr0 Vs ＝ 2πr20 ＝37.1 m2/s
所以
V=40m/s
u=30m/s
n=225/s
3.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇， 他们的强度为Q，若平行直线流动和这一对强度相等的源和汇叠加，
试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程
解：
叠加后的流函数为:
Q
－Q
x
y
叠加后的流场：
令 ，求流线即物面方程得:
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